Урок-узагальнення знань "Застосування визначеного інтегралу"

Про матеріал

Урок-узагальнення вивченого матеріалу за темою: "Застосування визначеного інтегралу". Наводяться задачі на знаходження площ криволінійних трапецій, а також на рух. Учні систиматизовують свої знання та удосконалюють навички застосування визначеного інтегралу до розв'язування прикладних задач.

Перегляд файлу

Тема: Інтеграл та його застосування

Мета: Навчальна: закріпити знання з теми «Інтеграл», «Використання інтеграла», вчити застосовувати інтеграл до розв’язування прикладних задач, розвивальна: розвивати навички використання отриманих знань до розв’язування задач із застосуванням інтеграла, виховна: виховувати працьовитість, самостійність культуру спілкування, зібраність, організованість, увагу, відповідальність та вимогливість до себе, вміння об’єктивно оцінювати результати колективної і своєї роботи, раціонально використовувати робочий час, сприяти підвищенню інтересу до вивчення предмету.

Предмет математики є на стільки серйозним, що

корисно не втрачати випадку зробити його цікавішим

Блез Паскаль

ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап

Перевірка наявності учнів та їх готовності до уроку

ІІ. Перевірка домашнього завдання

З метою перевірки вашої підготовки до уроку, - напишемо диктант. Два учні (за бажанням) йдуть до дошки і працюють на відкидних полях, а решта – в зошитах.

Математичний диктант

;
;
;
;
;
.

Час вийшов. А тепер обміняйтесь своїми зошитами і перевірте роботу свого сусіда по парті, звіряючись із записами на екрані. Учні біля дошки виконують самоперевірку.

ВІДПОВІДЬ: ; 1; 20; 1; ; .

ІІІ. Актуалізація опорних знань і вмінь

Фронтальне опитування:
Як називають операцію, обернену до диференціювання?
Що називають первісною даної функції?
Будь-яку первісну функції f(x) на проміжку І можна подати у вигляді …
Як називають сукупність усіх первісних функції f(x) на проміжку І?
Як називається рівність dx= F(в) – F(а) ?
Де використовується формула Ньютона-Лейбніца?
Знайти загальний вигляд первісних для функції f(x) = cos x – x²

Бліц - опитування
Установіть відповідність між фізичними величинами та формулами, які їх пов’язують:

1 q = I(t) t	А Швидкість руху та переміщення
2 s = v(t)t	Б Кількість теплоти і теплоємність
3 Q = c(t)t	В Робота і потужність
4 A = N(t)t	Г Сила струму та електричний заряд
	Д Лінійна густина і маса стрижня

ВІДПОВІДЬ: 1 – Г; 2 – А; 3 – Б; 4 – В.

ІV. Формулювання теми, мети й завдань уроку

Мотивація навчальної діяльності

При вивченні даної теми мені неодноразово доводилося чути від вас висловлювання, типу: «Навіщо нам потрібні ці інтеграли?», «Де їх взагалі використовують?», «Ми ж майбутні продавці! Хіба нам в професійній діяльності знадобиться уміння обчислювати інтеграли?» та інші. Поняття інтеграла та інтегральне числення виникло також через необхідність обчислювати площі поверхонь та об'єми довільних тіл. Своє практичне застосування інтеграл знайшов не тільки в геометрії, а й у фізиці й техніці, хімії та біології, економіці.

На попередніх уроках ми вивчили формулу Ньютона – Лейбніца, але необхідно відзначити, що ні у Ньютона, ні у Лейбніца не було формули:

яку зараз називають формулою Ньютона – Лейбніца, вони просто знали правило . Їх заслуга полягала у відшуканні виникнення диференціального числення, що й спричинило виникнення інтегрального числення, яким займалася велика група математиків XVІІ ст. Відкриття Ньютона і Лейбніца зробило переворот в математиці.

Основні задачі, які розв’язуються за допомогою інтеграла:

обчислення площ плоских фігур;
обчислення площі криволінійної трапеції;
обчислення об’ємів тіл;
обчислення переміщення точки, якщо відомо закон, за яким змінюється швидкість точки;
обчислення роботи, яку необхідно виконати для переміщення точки тіла з точки А в точку В;
знаходження центру маси тіла;
обчислення відстані за відомим законом зміни швидкості;
обчислення роботи змінної сили та потужності;
обчислення кількості електрики та кількості теплоти;
застосування в економіці й техніці.

На сьогоднішньому уроці ми будемо продовжувати розвивати навички розв’язування прикладних задач із застосуванням інтегралу та його властивостей ; деякі вправи ми виконаємо, скориставшись мережею Internet.

Ніхто не народжується вченим

Латинський вислів

V. Колективне ров’язування задач

Виконання вправ

1. Побудуйте схематично фігури, площі яких виражаються такими інтегралами:

a) ; б) ; в) ; r) .

Відповідь: рис.

2. Запишіть за допомогою інтеграла площі фігур, зображених на рисунку

Відповіді: а); б) ; в) ; г)

На партах у вас лежать опорні конспекти. Відкрийте, будь ласка, таблицю 1, за допомогою якої ми зможемо розв’язувати прикладні задачі фізичного змісту

Таблиця 1

№ з/п	Фізична величина	Співвідношення між величинами	Знаходження величини за допомогою інтеграла
1	s – переміщення, v – швидкість	s=v t
2	q – електричний заряд, I – сила струму	q= I t
3	φ - кут повороту шківа, ω – кутова швидкість

ЗАДАЧА 1

Тіло рухається прямолінійно. Залежність швидкості його руху від часу задається формулою y = 6 + 3t²(м/с). Знайти шлях, пройдений тілом за перші 4 секунди.

Розв’язування:
1. За допомогою якої формули будемо розв’язувати задачу?
2. Запишіть вираз для обчислення шляху.
3. Знайдіть первісну.

4. Обчисліть значення визначеного інтегралу та запишіть відповідь.

ВІДПОВІДЬ: 88 м.

ЗАДАЧА 2

Визначити електричний заряд, що проходить через поперечний переріз провідника за 7 с, якщо сила струму змінюється за законом I(t) = (4t + 1) (A).

Учні самостійно записують необхідну формулу та складають алгебраїчний вираз. Після цього один із учнів записує на дошці обчислення та відповідь.

Розв’язування:

ВІДПОВІДЬ: 105 Кл.

Робота в мережі Internet

Розв’язування задач на обчислення площ фігур, обмежених заданими лініями, з побудовою їх графіків онлайн із використанням мережі Internet.

ВПРАВА 1

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:

Розв’язування :

1.Для обчислення площі фігури спочатку побудуємо графіки функцій:
.

1. Пригадаємо як онлайн ми будували графіки тригонометричних функцій. Зараз я з вашою допомогою побудую їх. ( Учні називають послідовність дій, які необхідно виконати викладачу).

Графіки побудовані.

2.Межі інтегрування нам дані:

3.Шукана фігура обмежена на заданому проміжку згори графіком функції

y = sinx, а знизу – y = 3cosx.

4. Обчислимо площу, застосовуючи формулу Ньютона-Лейбніца:

Запис на дошці робить учень.

VІ. Підбиття підсумків уроку

Сьогодні на уроці ви багато працювали самостійно. Дізналися про інтеграл та його застосування; розв’язували прикладні задачі, будували графіки функцій онлайн, знаходили площі фігур, обмежених лініями.

       Чи досягли ми мети нашого уроку?
       Що нового сьогодні ви дізналися?
       Наведіть, будь ласка, приклади застосування інтеграла до розв’язування задач.