Урок "Застосування інтеграла в фізиці й техніці"

УРОК 8. (Алгебра 11 клас)

 

Застосування інтеграла в фізиці й техніці.

Мета уроку: сформувати уявлення учнів про застосування визначеного інтеграла до розв’язування прикладних задач,

розглянути приклади застосування визначеного інтеграла до

розв’язування прикладних задач, а саме: знаходження переміщення точки за поданий проміжок часу; обчислення роботи, яку треба виконати для переміщення тіла із однієї точки в другу; обчислення маси неоднорідного стержня, якщо відомо, як змінюється його лінійна густина; обчислення величини заряду, що переноситься за певний проміжок через переріз провідника, працювати над формуванням умінь учнів застосовувати визначений інтеграл до розв’язування прикладних задач; розвивати вміння узагальнювати, реалізувати практичні зв’язки курсів математика та фізики; виховувати культуру розумової праці, інтерес до математики.

Тип уроку: комбінований.

 

Перевірка домашнього завдання.

На дошці подано розв’язок завдань, учні взаємоперевіркою виправляють помилки. Троє учнів відновлюють розв’язання вибіркових завдань.          

Тестові завдання. (Кожне завдання - 1 б.)

Варіант 1

1. Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити об’єм V тіла, утвореного під час обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції, зображеної на рисунку.

 

 

 

                                                                                                                          

 

 

                                                               

 

 2. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = , y = 0, x = 1, x = 4.

    

               А) 1,5;    Б) 7,5;    В) 7,5;    Г) 5.

 

 

3. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox фігури, обмеженої лініями y=x − x² і y=0.

             

     А) ;       Б) ;       В) ;      Г) .

 

 

 

 

Варіант 2

 1. Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити об’єм V тіла, утвореного під час обертання навколо осі Ox криволінійної трапеції, зображеної на рисунку.

 

 

 

 

 

 

 

2. Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої лініями

y = x⁴, y = 0, x = 1, x = 2.

 

        А) 6,2;    Б) 6,5;    В) 6,2;    Г) 5,8.

 

 3.  Обчисліть об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ox

фігури, обмеженої лініями y = x² + x і y = 0.

            

        А) ;     Б) ;     В) ;     Г) .

 

Актуалізація опорних знань.

 

Математичне лото                                (Кожне завдання – 0,25 б.)

 Установіть відповідність між формулою і фізичними величинами,

які вона пов’язує.                                           

 

     1. s = v(t)∙t А   Робота і потужність

 2. A = N(t)∙t Б   Сила струму і електричний заряд

 3. q = I (t)∙t В   Швидкість руху і переміщення

 4. Q = c(t)∙t Г   Лінійна густина і маса стрижня

  Д   Кількість теплоти і теплоємність

№	А	Б	В	Г	Д
1
2
3
4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулювання мети і завдань уроку.

 

З метою свідомого засвоєння нового матеріалу проводимо бесіду.

Питання:

1. Як за допомогою інтеграла обчислюють площі плоских фігур?

    Наведіть приклади.

2. Як за допомогою інтеграла визначити об’єм тіла обертання?

    Наведіть приклади

У цих випадках величини, які знаходять, можна розглядати як функції відрізка. Повідомляємо, що існують фізичні величини, які також можна розглядати як функції відрізка. Наприклад, переміщення обчислюють залежно від відрізка часу руху, робота сили під час руху тіла по прямій залежить від пройденого відрізка шляху, електричний заряд, що проходить через поперечний переріз провідника, залежить від відрізка часу, за який проводять вимірювання тощо. Ці та інші величини можна обчислити за допомогою визначеного інтеграла.

Отже, завдання уроку — розглянути приклади застосування визначеного інтеграла до обчислення величин.

 

Засвоєння нових знань.

 

Опорний конспект №8

 

Застосування визначеного інтеграла до розв’язування прикладних задач

1. Знаходження переміщення точки за поданий проміжок часу. Припустимо, що точка рухається по прямій (по осі Ox ) і відома швидкість цієї точки. Знайдемо переміщення s точки за проміжок часу [t1;t2 ]. Розглянемо відрізок часу [t; t+Δt] і будемо вважати швидкість на цьому відрізку сталою. Тоді одержимо: Δs(t) = v(t)Δt, звідки                                       (1)

2. Обчислення роботи, яку треба виконати для переміщення тіла із однієї точки в другу. Нехай тіло рухається по осі Ox , у кожній точці якої прикладено деяку силу F = F(x). Обчислимо роботу A, яку необхідно виконати під час переміщення із точки x1 у точку x2 . На малому відрізку шляху від точки x до точки x + Δx можна вважати силу сталою, яка дорівнює F(x). Тоді ΔA(x) = F(x)Δx. Звідси одержуємо, що всю роботу на відрізку [x1;x2] можна записати у вигляді інтеграла:                                  (2)

3. Обчислення маси неоднорідного стержня. Обчислимо масу m неоднорідного стержня, якщо відомо, як змінюється його густина ρ(x). Розглянемо відрізок [x;x + Δx]. Вважаючи, що на цьому відрізку густина стала, маємо: Δm(x) = ρ(x)Δx , звідси                                         (3)

4. Обчислення величини заряду, що переноситься за певний проміжок часу через переріз провідника. Обчислимо величину q заряду, що переноситься за проміжок часу [t1 ; t2] через переріз провідника. Нехай задано закон зміни струму I = I(t) залежно від часу. Тоді на малому проміжку часу [t;t + Δt] можна вважати силу струму сталою, яка дорівнює I(t), а Δq = I(t)Δt . Отже,                  (4)

5. Економічний зміст інтеграла. Якщо f(t) – продуктивність праці в момент часу t, то обсяг виробленої продукції за проміжок [0;Т] можна обчислити за формулою:                                                  (5)

 

Удосконалення вмінь і навичок.

Розв’язуємо разом

Задача 1. Для кращого обслуговування заїзду гонок серії «Формула-1» майстри визначили найкращий закон зміни швидкості руху автомобіля прямою трасою:    Який шлях:

а) проїде пілот цієї гонки за 7 с. від початку руху;

б) він проїде за сьому секунду?

 

Розв’язання:   Знаходимо шлях за формулою (1)

                         

                      а)

 

                     

                      б)

 

 

 

Задача 2. Яку потрібно виконати роботу, щоб розтягнути пружину на 3 см, якщо сила в 10 Н розтягує пружину на 1 см?

 

Розв’язання:  Згідно з законом Гука, сила F, що розтягує пружину, пропорційна переміщенню х вільного кінця пружини, тобто F=kx.

Для знаходження коефіцієнта k скористаємось тим, що сила в 10Н розтягує пружину на 0,01 м: 10=0,01∙ k, k=1000. Тоді F=1000х і роботу

знаходимо за формулою (2):

 

 

Задача 3. Обчисліть масу ділянки стрижня від х₁=1 до х₂=2, якщо його лінійна щільність задається формулою  ρ(х)=4х³+5х+2 (г/см).

 

Розв’язання:  Знаходимо масу ділянки за

формулою (3)

 

 

Задача 4. Протягом  7 с. величина струму в провіднику змінювалась за законом I(t)=3t²+2t (A). Знайдіть кількість електрики, що пройшла через провідник за цей час.

 

Розв’язання:  За формулою (4) маємо

 

 

Задача 5. Продуктивність праці робітничої бригади визначається в залежності від часу t функцією f(t)=4t³+1. Знайдемо обсяг продукції за другу і третю годину робочого дня.

 

Розв’язання:  За формулою (5) дістаємо:

  

 

 

 

 

Практичний тренінг

Учні працюють над задачами й звіряють відповіді із відповідями,

заздалегідь підготовленими вчителем на дошці.

1. Яку роботу треба виконати для стискання пружини на 4 см,

якщо відомо, що сила 2 Н стискає цю пружину на 1 см?                        (2 б.)

2. Обчисліть величину заряду, що переноситься через поперечний

переріз провідника за 20 с, якщо сила струму змінюється за законом

I(t) = 2t +1 (А).                                                                                            (2 б.)

3. Швидкість руху тіла в момент часу t (с) задано формулою

v = 15 − 3t (м/с). Який шлях подолає тіло від початку руху до

повної зупинки?                                                                                        (2 б.)

4. Знайдіть масу неоднорідного стержня завдовжки 40 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом ρ(l)=2l²+1 (кг/м).                         (2 б.)

 

Додаткові вправи:

1. Обчислити роботу, виконану при викачуванні води з резервуара циліндричної форми (R=2 м, H=1м), вщент наповненого водою (вага води об’ємом 1 м³ наближено дорівнює 9807 Н).                             (3 б.)

2. Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно під дією сили

F(t) = 12t − 8 (Н). Знайдіть закон його руху, якщо в момент часу

t = 3 с. швидкість тіла дорівнює 10 м/с, а координата 21 м.          (3 б.)

 

Підбиття підсумків уроку.

Контрольне запитання

Наведіть приклади застосування визначеного інтеграла до

розв’язування прикладних задач. Перелічіть відомі вам типи задач з фізики й техніки, які були розв’язані за допомогою інтеграла на уроці.

  Домашнє завдання.

Вивчити теоретичний матеріал (опорний конспект №8),

Задача 1. Точка здійснює гармонічне коливання зі швидкістю ʋ=3sint, де ʋ - швидкість, м/с; t – час, с. Знайдіть: 1) переміщення точки за проміжок часу [0; 16]; 2) шлях, пройдений точкою за проміжок часу [0; 16].   

Задача 2.  Два одиничні електричні заряди розташовані на відстані

5 см один від одного. Потім один із зарядів звільняється і віддаляється від іншого під дією сили відштовхування, яка, за законом Кулона, має вигляд F=, де k – коефіцієнт пропорційності. Яку роботу здійснить сила, якщо заряд віддалиться на відстань: 1) 10 см; 2) 15 см?

Рефлексія

Що нового дізналися на уроці?
Чи потрібні ці знання в подальшому?
Яке практичне застосування цього матеріалу?