Урок "Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач фізичного та економічного змісту"

Урок 11 клас

Тема уроку:Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач  фізичного та економічного змісту.

                Мета: Поглибити й розширити знання учнів про визначений інтеграл; показати його місце і значення при розв’язуванні задач фізичного та економічного змісту; учити бачити єдину математичну модель у різних ситуаціях, складати її в нестандартних умовах; вчити учнів досліджувати й оцінювати соціальні явища засобами математики; допомогти сформувати особисте ставлення до діяльності, яка вимагає  математичних знань. Розвивати логічне мислення, інтелектуальні здібності учнів; сприяти розширенню їх кругозору.Виховуватиінтерес донаукишляхом звернення до історичних джерел, вміння раціонально використовувати робочий час.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації навчального матеріалу.

Обладнання:таблиці,    комп’ютер.

Епіграф: „Наш досвід переконує нас, що природа – це реалізація найпростіших математичних ідей”. Альберт Ейнштейн

Хід уроку

І. Організаційний момент

В житті бувають різні ситуації: щось ми запам’ятовуємо на все життя, а інше бажаємо забути якнайшвидше. Але я вірю, що шкільні роки ви не забудете.

Прочитайте фразу,  яка написана на плакаті: „Забути не можна пам’ятати!”

Вкінці уроку я хочу почути ваші думки щодо важливості  знань про визначений інтеграл, чи треба їх пам’ятати, чи краще забути?

ІІ. Мотивація навчальної діяльності

 Мова  Всесвіту – це мова математики. Математика здавна має репутацію найточнішої галузі знань і є надійним знаряддям розкриття таємниць природи.

І сьогодні епіграфом нашого уроку ми візьмемо словаАльберта Ейнштейна « Наш досвід переконує нас, що природа – це реалізація найпростіших математичних ідей” і  здобудемоза допомогою математики досвідрозв’язування  проблем, що виникають на уроках фізики та економіки.

ІІІ. Повідомлення теми та мети уроку

Будемо сподіватися, що за допомогою слів великого  вченого ми переконались в доцільності проведення сьогоднішнього уроку, тема якого: „Застосування визначеного інтегралу до розв’язування задач економічного змісту”.

До речі, задача (англ. problem) означає „проблема”. Проблема розв’язування задач ускладнюється в тому випадку, якщо вміння побачити єдину математичну модель у різних ситуаціях недостатньо розвинене. І ви матимете чудову  нагоду закріпити і розвинути навички знаходити визначений інтеграл, застосовувати його при розв’язуванні практичних задач.

ІV. Актуалізація опорних знань учнів

Тренуємо уважність і вміння зосередитись, даємо відповіді на запитання.

Теоретична розминка:

1. Першу букву якого слова нагадує знак інтеграла? (Summa - сума)                               2. Хтоізвідомихматематиків-фізиківрозглянувфізичнийзмістінтеграла? (Ньютон)                                                                                                                         3. Хтоізвідомихматематиківрозглянувматематичнийзмістінтеграла? (Лейбніц)  

4.Яка головна відмінність визначеного інтегралу від невизначеного?

(Невизначений інтеграл – це  функція, а визначений – число)

5.З яким поняттям нерозривно пов’язане поняття визначеного інтегралу?                                                                                       (Площа)

6. Як називаєтьсятрапеція, площуякої ми знаходимо за допомогоювизначеногоінтеграла? (Криволінійна)                                                    7. Як називаєтьсяфункція, яка стоїтьпід знаком інтеграла? (Підінтегральна)                                                  

8. Як називаєтьсямножникdx в підінтегральномувиразі? (Диференціал)                      9. Як називаєтьсяопераціяобернена до операціїдиференціювання? (Інтегрування)

10.Назвіть, будь ласка, формулу  Ньютона – Лейбніца. 

Встановити відповідність:

V. Узагальнення та систематизація знань, вмінь та навичок

Розглянемо, коли нам може знадобитися визначений інтеграл прирозв’язуванні задач з економіки.

Свої дослідження на цю тему представляютьучні нашого класу.

Задача 1.

Попит на деякий товар задано формулою, деQ– кількість товару ( в шт.), P – ціна одиниці товару (в грн.), а пропозиція - функціяP = Q+6. Обчислити:

 а)величину виграшу споживача від купівлі цього товару;

 б) розмір надлишку виробника від продажу цього товару.

Розв’язання:

а)Виграш споживача – споживчий надлишок. Визначимо рівноважні значення ціни і кількості товару :

P=;P=Q +6.

Розвязком системи є пара:Q₀= 4, P₀= 10.

ТодіCS = - 40 = 50ln5 – 50ln1 -40 = 50ln5 – 40 =40(грн.)

б) Оскільки функція пропозиції задається лінійною функцією, то величина надлишку виробника становить:

PS = 10 = 40- 8- 24 = 8(грн.).

Відповідь: виграш споживача 40 грн., величина надлишку виробника 8 грн.

Задача2.

Якщо f(t) – продуктивність праці в момент t, то = – обсяг продукції, яка випускається за проміжок часу [0; T].

Продуктивність  праці  робітника протягом дня задається функцією z(t) = – 0,00645t² + 0,05t + 0,5 (грош. од./год), де t – час в годинах від початку роботи, 0 ≤ t≤ 8. Знайти функцію   яка показує обсяг продукції (у вартісному виразі) та його величину за робочий день.

Розв’язання:

Відповідь: 4,5 грош. од.

ФІЗКУЛЬТХВИЛИНКА ДЛЯ ОЧЕЙ

А зараз, панове, давайте перенесемося в майбутнє, років на 20 вперед. Ви – дорослі, солідні люди, знайшли своє місце в житті: конструктори, інженери, металурги, будівельники, економісти, плановики, вчені. І в процесі своєї роботи ви зустрічаєтеся з різними проблемами, які вам необхідно вирішити.

Розіб’ємо клас на 3 групи, кожна з яких отримує певне завдання і через 10 хвилин звітує про виконану роботу.

Фізики

Для кращого обслуговування заїзду гонок серії „Формула-1” майстри визначили найкращий закон зміни швидкості руху автомобіля прямою трасою: v(t) = 2·(t+2)^5/2. Який шлях проїде пілот цієї гонки за 7 с від початку руху? Який шлях він проїде за сьому секунду?

Розв’язання:

= = 1243 (м)

=  = = 422 (м)

Відповідь: 1243 м; 422 м.

Енергетики

Якщо навантаження на електростанцію задається функцією f(х) (в кВт·год, де х – кількість годин, яка відлічується від початку доби), то витрати електроенергії протягом доби складають , а протягом часу х витрати електроенергії складуть . Користуючись наведеними формуламивизначити витрати електроенергії протягом доби, якщо навантаження    на   Черкаську теплоелектростанцію     задається     функцією    f(x) = 3x² + 4x – 2.

Розв’язання:

( кВт·год)

Відповідь: 14343 кВт·год.

Економісти

На  полі   пшениці  після   приземлення космічного корабля  залишився  слід,    який   нагадує     фігуру,     обмежену    лініями    у =‌‌‌‌‌│х² – 2х - 8│            та     у = 3 + │х - 1│. Необхідно визначити збитки, завдані агрокомплексу, врожайність пшениці з 1 га та оптову ціну за 1 кг знайти в інтернеті.

(З 1 м² отримують середньому 3,8 кг пшениці, яка коштує оптом 4,5 грн. / кг.)

Розв’язання:

S=2(+ +

+  ) = 2( + +) = 2(+ + ) =

= 2(–9+4,5+18+––6+21–8–24–9+4,5+18–41+37,5+50+21–24–40)=

= 2 = = 26 (м²).

В = 263,84,5 = 456 (грн).

Відповідь: 456 грн.

Математика – потужна зброя в руках фізика, економіста. Адже багато наслідків можна одержати математично, використовуючи перевірені дослідом формули. Зараз ви придбали досвід, як використовувати цю зброю при виконанні практичнихзавдань.

VІ.Домашнє завданняЯ хочу запропонувати вам декілька видів домашнього завдання, щоб ви самі вибрали для себе те, що вам більш цікаво.

1. Розв’язати на вибір 2 задачі обчислення визначеного інтегралу з завдань ЗНО.

2. Перевірити себе за допомогою онлайн - тестів

VІІ. Підсумки уроку. Рефлексія.

Сьогодні вам зустрічалися явища, для розуміння і пояснення яких необхідні математичні знання. Ви подолали труднощі, виявляючи терпіння, наполегливість. Згадайте фразу, написану на плакаті: „Забути не можна пам’ятати!”

Від того, у якому місці ви поставите кому, матимете два варіанти: „Забути, не можна пам’ятати!” або „Забути не можна, пам’ятати!”

На якому варіанті ви зупинитесь? Чи потрібні вам знання з математики в майбутньому?Чи є у математиці щось таке, що може перевернути все життя?