Уроки-презентація "Геометричні перетворення на площині"

Геометричні перетворення на площині Геометрія 9 клас

Симетрія відносно прямої

Щоб побудувати точку Х1, симетричну точці Х відносно даної прямої f , треба: 1) побудувати промінь ХО, перпендикулярний до прямої f (О - точка перетину променя з прямою f ); 2) на продовженні відрізка ХО за точку О відкласти відрізок ОХ1 = ХО. Точки Х і Х1 називаються симетричними відносно прямої f, якщо пряма f є серединним перпендикуляром до відрізка ХХ1, тобто якщо ОХ = ОХ1 і f ХХ1 . Х Х1 f О f Х1 Х О

Які точки симетричні відносно прямої а ? а а Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1, симетричну відносно даної прямої f, називається перетворенням симетрії відносно прямої f або осьовою симетрією. При цьому фігури F і F1 називаються симетричними відносно прямої f , а пряма f – віссю симетрії. В а К М

На якому з малюнків зображено фігури, симетричні відносно прямої а? Відповідь обгрунтуйте. а А А1 В В1 С С1 а 1 2 3 а 4 а

Властивості осьової симетрії Перетворення осьової симетрії є переміщенням. Осьова симетрія перетворює пряму на пряму, відрізок - на відрізок, многокутник – на рівний йому многокутник. Точки, що належать осі симетрії, відображаються самі на себе. Якщо точки А(х;у) і В(х1;у1) симетричні відносно осі Ох, то виконується умова х1 = х, а відносно осі Оу - х1= - х, у1= -у; у1 = у. х у А(х;у) А(х;у) В(х;-у) В(-х;у) у х

Розв'язування задач Побудуйте відрізок, симетричний відрізку АВ відносно прямої с. Накресліть прямокутний трикутник СРК (< C = 900). Побудуйте трикутник, симетричний ∆ СРК відносно прямої а. с А В1 С Р К а Р1 К1 С1 = = А1 В

Побудуйте трикутник, симетричний даному, відносно прямої в, що перетинає дві сторони трикутника. Вершини чотирикутника АВСК мають координати: А(0; 1), В(-1; 2), С(-4;-1), К(-1;-1). Побудуйте чотири-кутник, симетричний даному відносно осі Оу, і знай-діть координати його вершин. у А В1(1; 2), С1(4; -1), К1(1; -1), А(0; 1). в х В1 В С С1 К К1

Позначте осі симетрії прямокутника, квадрата, рівностороннього трикутника. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х-1)2 + (у+3)2 = 4 відносно осі Ох. Відповідь: (х-1)2 + (у-3)2 = 4. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій у = х - 2 відносно осі Ох. Відповідь: у = -х + 2

Осьова симетрія навколо нас

Підсумок уроку Скільки осей симетрії має: а) рівнобедрений трикутник; б) ромб; в) коло? Назвіть координати точки В, яка симетрична точці А (-3; 5) відносно: а) осі Ох; б) осі Оу. 3. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х+2)2 + (у+3)2 = 4 відносно осі Оу. 4*. Осі симетрії прямокутника х=3 і у=2. Одна з його вершин А (4;1). Знайдіть координати інших вершин.

Домашня робота Запишіть координати точки М, яка симетрична точці К (2; −4) відносно осі Оу. 2. Накресліть довільний трикутник. Побудуйте трикутник, симетричний даному, відносно прямої, що проходить через одну з його вершин. 3. Запишіть рівняння кола, яке симетричне колу (х−2)2 + (у+1)2 = 9 відносно осі Ох. 4* (додатково) Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій у = х - 2 відносно осі Оу.

Симетрія відносно точки

Щоб побудувати точку Х1, симетричну точці Х відносно даної точки О, треба: 1) побудувати промінь ХО; на продовженні відрізка ОХ за точку О відкласти відрізок ОХ1 = ОХ. Х1 Х О Точка Х1 називається симетричною точці Х відносно точки О, якщо О - середина відрізка ХХ1. Умови симетричності точок Х1 і Х відносно точки О: а) точки Х, Х1 і О належать одній прямій; б) точки Х і Х1 лежать по різні боки від точки О; в) ОХ1 = ОХ.

Назвіть точки, які симетричні відносно точки О. О В Р С О А К О О М Н Т Перетворення фігури F у фігуру F1, при якому кожна точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1, симетричну відносно даної точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О. При цьому фігури F і F1 називаються симетричними відносно точки О.

Назвіть фігури, які симетричні відносно точки О. Відповідь обгрунтуйте. О О О

Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить фігуру F у себе, то вона називається центрально-симетричною, а точка О – центром симетрії. Приклади центрально-симетричних фігур

Розв'язування задач Дано трикутник АВС. Побудуйте фігуру, симетричну даному трикутнику відносно вершини С. В А1 А С В1 Вершини трикутника містяться у точках (-3; 1); (2; 3); (4; -1). Побудуйте трикутник, який симетричний даному відносно початку координат.

у у -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 х Вершини трикутника, симетричного даному відносно початку координат, знаходяться у точках (3; -1); (-2; -3); (-4; 1).

Визначіть фігури: - центрально-симетричні та вкажіть їх центр; - які мають осьову симетрію та вкажіть їх вісь симетрії; - які мають обидві симетрії.

Центральна симетрія у візерунках

Центральна симетрія навколо нас

ПОВОРОТ

Поворотом фігури F навколо точки О на кут називається таке перетворення, при якому будь-яка точка Х фігури F переходить у точку Х1 фігури F1 таку, що ОХ = ОХ1 і <ХОХ1 = Х Х1 О

Поворот фігури задається кутом повороту та центром повороту і може здійснюватися проти годинникової стрілки або за годинниковою стрілкою. Задача. Виконайте поворот даного круга з центром А навколо точки О на кут за годинниковою стрілкою. Розв’язання. Проведемо відрізок ОА і побудуємо кут АОК = Відкладемо на промені ОК відрізок ОА1 = ОА. Точка А1 - центр шуканого круга, а радіус дорівнює радіусу даного круга. О А А1 К

Властивості повороту Перетворення повороту є переміщенням. Центральна симетрія є поворотом на 180°. При повороті пряма переходить у пряму; кут – у рівний кут; відрізок – у рівний відрізок; будь-яка фігура переходить у рівну їй фігуру. Правильний многокутник при повороті навколо свого центра на кут 360° переходить у себе. Якщо точка В(х1; у1) є образом точки А(х; у) при повороті на 90° відносно початку координат за годинниковою стрілкою, то виконується умова х1 = у, якщо проти годинникової стрілки - х1 = -у, у1 = -х; у1 = х. n

Задачі на застосування означення та властивостей повороту Виконайте поворот точки А навколо точки О на кут 90° за годинниковою стрілкою. А А1 2. Виконайте поворот точки А навколо точки О на кут 45° проти годинникової стрілки. А1 А 45° О О О

3. Виконайте поворот трикутника НКР навколо вершини Н на кут 600 проти годинникової стрілки. К Р 4. Виконайте поворот трикутника АВС навколо точки О на кут 900 за годинниковою стрілкою. К1 Р1 Н О А В С А1 В1 С1 600 600

Дано пряму х + у = 1. Запишіть рівняння прямої, яка утвориться з даної внаслідок її повороту навколо початку координат на кут 900 за годинниковою стрілкою. Розв’язання. За властивістю повороту (5) довільна точка А(х ; у), що належить прямій, при повороті на 900 відносно початку координат за годинниковою стрілкою відобразиться у точку А1(х1;у1), де х1= у і у1= -х. Тому рівняння шуканої прямої матиме вид: х – у =1. . . х + у = 1 х – у =1 х у . О

6. Дано коло (х+2)2 +(у-1)2 =4. Запишіть рівняння кола, яке утворюється з даного внаслідок його повороту навколо початку координат на кут 900 проти годинникової стрілки. Розв’язання. Радіус даного кола 2, а центр – точка (-2; 1). При повороті довжина радіуса не змінюється. Внаслідок повороту даного кола навколо початку координат на кут 900 проти годинникової стрілки координати центра нового кола визначатимемо згідно властивості (5): х1= -у, у1= х, тобто х1= -1, у1= -2. Отже, рівняння шуканого кола: (х+1)2 + (у+2)2 = 4. . . х у 1 -2 -2 -1

Задачі для самостійного розв’язування 1. Виконайте поворот точки К навколо даного центра О на кут 500 проти годинникової стрілки. 2. Виконайте поворот відрізка АВ навколо точки О на кут 300 за годинниковою стрілкою. 3. Виконайте поворот круга з центром С навколо точки О на кут 1200 проти годинникової стрілки. 4. Побудуйте фігуру, в яку переходить трикутник АВС при повороті його навколо вершини В на кут 600 за годинниковою стрілкою. 5. Виконайте поворот трикутника АВС навколо даного центра О на кут 450 проти годинникової стрілки. 6. Запишіть рівняння кола, яке утворюється з кола (х-1)2+(у+2)2= 9 внаслідок його повороту навколо початку координат на кут 900 за годинниковою стрілкою.

Паралельне перенесення

Паралельним перенесенням називається перетворення, при якому дві довільні точки А і В фігури прообразу перетворюються на точки А1 і В1 фігури образу так, що АА1 = ВВ1 і АА1 || ВВ1 (або точки А, А1, В, В1 лежать на одній прямій). А А1 АА1=ВВ1, АА1|| ВВ1 В В1 Чотирикутник АА1В1В – паралелограм (за ознакою паралелограма). Тому АВ || А1В1 і АВ = А1В1.

А С С1 В В1 При паралельному перенесенні всі точки фігури переміщуються в одному й тому самому напрямі на одну й ту ж відстань. А1

Властивості паралельного перенесення Паралельне перенесення є рух. При паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну їй пряму (або в себе). Кути між прямими зберігаються. Якщо точка С належить відрізку АВ, то при паралельному перенесенні у відповідні точки А1 , В1 , С1 точка С1 належатиме відрізку А1В1 . Композиція двох паралельних перенесень є паралельне перенесення. Існує єдине паралельне перенесення, що переводить точку А у точку А1.

Задача 1. Накресліть трикутник АВС. Побудуйте трикутник А1В1С1, який утворений з даного паралельним перенесенням так, щоб утворилася трапеція АВВ1С1 В В1 А С А1 С1 При паралельному перенесенні точки А, В, С трикутника переміщуються так, що ВВ1= АА1 = СС1 і ВВ1|| АА1 || СС1.

y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 -4 -5 54 321 В1(6;4) А1(4;2) С1(8;2) В(-7;-1) А(-9;-3) С(-5;-3) хА1 ⎯ хА = 4 ⎯ (⎯9) = 13= а уА1 ⎯ уА = 2 ⎯ (⎯3) = 5= b хВ1 ⎯ хВ = 6 ⎯ (⎯7) = 13= а уВ1 ⎯ уВ = 4 ⎯ (⎯1) = 5= b хС1 ⎯ хС = 8 ⎯ (⎯5) = 13= а уС1 ⎯ уС = 2 ⎯ (⎯3) = 5= b Паралельне перенесення на координатній площині

y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 321     Задача 2. В яку точку перейде точка А(⎯4; 2) при паралельному перенесенні, яке задається формулами х1 = х + 5, у1 = у ⎯ 4? Розв´язання: А(⎯4; 2) А1(х1; у1); х = ⎯4, у = 2; а = 5, b = ⎯4; х1 = ⎯4 + 5 = 1, у1 = 2 ⎯ 4 = ⎯2. Відповідь: А1 (1; ⎯2). Паралельним перенесенням називається перетворення, при якому довільна точка (х; у) фігури-прообразу переходить у точку (х+а; у+b) фігури-образу. Формули паралельного перенесення: х1 = х+а, у1 = у+b А А1

Задача 3. При паралельному перенесенні, яке задається формулами х1 = х + 8, у1 = у ⎯ 1, точка В переходить у точку В1. Знайдіть координати точки В, якщо В1(⎯5; ⎯4). Розв´язання: В(х; у) В1(⎯5; ⎯4). х1 = ⎯5, у1 = ⎯4. Підставимо ці значення у формули заданого паралельного перенесення: ⎯5 = х + 8 , ⎯4 = у ⎯ 1; х = ⎯13, у = ⎯3. Відповідь: (⎯13; ⎯3) ⎯ координати точки В. Задача 4. Запишіть формули паралельного перенесення, яке точку С(⎯ 4; 7) відображає у точку С1(8; ⎯ 3). Розв´язання: С(⎯4; 7) С1(8; ⎯3). Підставимо у формули паралельного перенесення х1 = х + а, у1 = у + b відповідні координати точок С і С1: 8 = ⎯ 4 + а , ⎯3 = 7 + b, а= 12, b = ⎯10. Відповідь: х1 = х + 12, у1 = у ⎯10.

Задача 5. При паралельному перенесенні точка А(3; -7), відображається у точку А1 (-5; 1). В яку точку відображається точка В(-8; 6)? Розв´язання: А(3; -7) А1 (-5; 1), В(-8; 6) В1 (х1; у1). Підставимо у формули паралельного перенесення х1 = х + а, у1 = у + b відповідні координати точок А і А1: ⎯5 = 3 + а , 1 = ⎯ 7 + b; а = ⎯ 8, b = 8. Паралельне перенесення, яке відображає точку А у точку А1, задається формулами: х1 = х ⎯ 8, у1 = у + 8. Це ж саме паралельне перенесення відображає точку В у точку В1. Підставимо координати точки В у вище вказані формули : х1 = ⎯8 ⎯ 8 = ⎯16, у1 = 6 + 8 = 14. Відповідь: (⎯16; 14) ⎯ координати точки В1.

y x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 4 321     Розв´язання. Нехай у=kх+b ⎯ рівняння шуканої прямої. У рівнянні прямої 3х⎯2у =1 виразимо у через х: у =1,5х⎯0,5, де 1,5 – кутовий коефіцієнт прямої. У паралельних прямих кутові коефіцієнти рівні, тому k=1,5. Оскільки після перенесення пряма проходить через точку (0; 3), то маємо рівняння: 3 = =1,5·0+b, звідки b=3. Рівняння шуканої прямої у = 1,5х+3 перепишемо у загальному вигляді: 1,5х–у+3=0, або 3х–2у+6 =0. Відповідь: 3х–2у+6 =0. Задача 6. Пряма 3х ⎯ 2у = 1 після паралельного перенесення проходить через точку (0;3). Запишіть рівняння прямої після перенесення. х 1 3 у 1 4 3х ⎯ 2у = 1 3х⎯2у + 6 = 0 х 0 ⎯2 у 3 0

Самостійна робота 1. В яку точку перейде точка А(3; -2) при паралельному перенесенні, яке задається формулами х1 = х+2, у1 = у⎯3? 2. Запишіть формули паралельного перенесення, яке точку М(⎯1; 6) відображає у точку М1 (7; 2). 3. При паралельному перенесенні точка К(1;5) відображається у точку К1(⎯3;7). В яку точку відображається точка Р(6; ⎯4)? 4. Центр кола (х-3)І + (у+2)І = 9 при паралельному перенесенні перейшов у точку (2; -10). Запишіть формули цього паралельного перенесення. 5. (додаткова задача) Пряма 2х – у = 4 після паралельного перенесення проходить через точку (-1;3). Запишіть рівняння прямої після перенесення.