VI. Стереометрія. Частина 3. Тіла обертання

Про матеріал

Посібник призначений для підготовки учнів загальноосвітніх навчальних закладів та абітурієнтів до зовнішнього незалежного оцінювання з математики. Його укладено до чинної програми та чинних навчальних програм з математики. Метою посібника є надання практичної допомоги учням у підготовці до ЗНО та ДПА

Перегляд файлу

Тіла обертання.

(2006)20. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого .

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: В.

(2006)35. Укажіть номер фужера, у який можна налити найбільше рідини.

1	2	3

Відповідь: .

(2007)20. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням круга навколо свого діаметра, довжина якого дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см³	см³	см³	см³	см³

Відповідь: Г.

(2008)25. У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилась у склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: В.

(2008)33. На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Відповідь: .

(2009)20. Свинцеву кулю радіуса см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких – см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: А.

(2009)31. Радіус основи конуса , твірна нахилена до площини основи під кутом . Через вершину конуса проведено площину під кутом до його висоти. Ця площина перетинає основу конуса по хорді. Знайдіть площу утвореного перерізу.

Відповідь: .

(2010)14. Обчисліть площу сфери, діаметр якої дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см²	см²	см²	см²	см²

Відповідь: В.

(2010)18. Довжина кола основи конуса дорівнює см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: Г.

(2010)8. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник, діагональ якого дорівнює см. Знайдіть радіус основи циліндра, якщо його висота дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: В.

(2010)13. У скільки разів збільшиться об’єм кулі, якщо її радіус збільшити у рази?

А	Б	В	Г	Д
у рази	у рази	у разів	у разів	у разів

Відповідь: Г.

(2010)28. Установіть відповідність між перерізами геометричних тіл (1 – 4) та їхніми назвами (А – Д).

Переріз		Назва перерізу
1	діагональний переріз правильної шестикутної призми	А	круг
2	переріз циліндра площиною, що перетинає його твірну і перпендикулярна до неї	Б	коло
3	переріз конуса площиною, що проходить через його вершину та хорду основи	В	шестикутник
4	переріз сфери площиною, що проходить через дві різні точки сфери	Г	прямокутник
		Д	трикутник

Відповідь: 1 – Г; 2 – А; 3 – Д; 4 – Б.

(2011)12. Об’єм кулі дорівнює см³. Знайдіть її діаметр.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: В.

(2011)22. На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об’єм.

А	Б	В	Г	Д
см³	см³	см³	см³	см³

Відповідь: Д.

(2012)12. Прямокутник із сторонами см і см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

А	Б	В	Г	Д
см²	см²	см²	см²	см²

Відповідь: А.

(2012)10. Прямокутний трикутник із катетами см і см обертається навколо більшого катета (див. рисунок). Визначте площу повної поверхні отриманого тіла обертання?

А	Б	В	Г	Д
см²	см²	см²	см²	см²

Відповідь: Б.

(2013)17. Переріз кулі площиною має площу см². Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: Г.

(2013)21. Установіть відповідність між фігурою (1 – 4) і тілом обертання (А – Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура	Тіло обертання

Відповідь: 1 – Г; 2 – А; 3 – В; 4 – Д.

(2013)20. Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: Г.

(2013)24. Установіть відповідність між тілом обертання, заданим умовою (1 – 4), та формулою (А – Д) для обчислення його об’єму .

Тіло обертання		Формула об’єму
1	квадрат зі стороною обертається навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата (рис. )	А
2	прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом обертається навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника (рис. )	Б
3	прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом обертається навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів (рис. )	В
4	круг, радіус якого дорівнює , обертається навколо прямої, що проходить через центр цього круга (рис. )	Г
		Д

Відповідь: 1 – Г; 2 – А; 3 – В; 4 – Б.

(2014)33. Через точки і , що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює см, а площа утвореного перерізу – см². Визначте довжину відрізка (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює см².

Відповідь: .

(2014)15. Об’єм циліндра дорівнює см³. Знайдіть висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: Г.

(2014)33. У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм піраміди (у см³), якщо твірна конуса дорівнює см і нахилена до площини основи під кутом .

Відповідь: .

(2015)17. Лист заліза, що має форму прямокутника ( см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки і ). Краї і зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює см. Виберіть відповідь, наближену до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.

А	Б	В	Г	Д
см²	см²	см²	см²	см²

Відповідь: Б.

(2015)30. Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює , а периметр основи – . Визначте об’єм цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює . У відповіді запишіть значення .

Відповідь: .

(2015)12. Визначте об’єм конуса, висота якого дорівнює см, а діаметр основи – см.

А	Б	В	Г	Д
см³	см³	см³	см³	см³

Відповідь: А.

(2015)20. На рисунку зображено осьовий переріз світлодіодної лампи. Активна поверхня цієї лампи, через яку відбувається випромінювання світла, є тілом обертання, утвореним обертанням відрізка та чверті кола навколо осі . Використовуйте зазначені на рисунку дані, обчисліть площу активної поверхні світлодіодної лампи. Виберіть відповідь, найближчу до точної.

А	Б	В	Г	Д
см²	см²	см²	см²	см²

Відповідь: Г.

(2016)24. Установіть відповідність між геометричним тілом (1 – 4) та площею його повної поверхні (А – Д).

Геометричне тіло		Площа повної поверхні
1	циліндр з радіусом основи та висотою	А
2	конус з радіусом основи та твірною	Б
3	куб з ребром	В
4	куля радіуса	Г
		Д

Відповідь: 1 – Г; 2 – Б; 3 – А; 4 – Д.

(2016)24. На рисунку зображено циліндр, радіус основи якого дорівнює , а висота – . Чотирикутник – осьовий переріз цього циліндра. До кожного початку речення (1 – 4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення		Закінчення речення
1	Периметр чотирикутника дорівнює , якщо	А	.
2	Площа чотирикутника дорівнює , якщо	Б	.
3	Об’єм циліндра дорівнює , якщо	В	.
4	Площа бічної поверхні циліндра дорівнює , якщо	Г	.
		Д	.

Відповідь: 1 – Д; 2 – Б; 3 – А; 4 – В.

(2017)24. Радіус основи конуса дорівнює , а твірна – . До кожного початку речення (1 – 4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення		Закінчення речення
1	Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то	А	.
2	Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то	Б	.
3	Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то	В	.
4	Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює , то	Г	.
		Д	.

Відповідь: 1 – В; 2 – Б; 3 – А; 4 – Г.

(2017)24. Установіть відповідність між фігурою (1 – 4) і тілом обертання (А – Д), утвореним унаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

Фігура		Тіла обертання
1		А
2		Б
3		В
4		Г
		Д

Відповідь: 1 – А; 2 – Г; 3 – В; 4 – Б.

(2018)6. Укажіть формулу для обчислення об’єму півкулі радіуса (див. рисунок).

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: Б.

(2018)23. Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює см², а його об’єм – см³. До кожного початку речення (1 – 4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення		Закінчення речення
1	Висота циліндра дорівнює	А	см.
2	Висота конуса дорівнює	Б	см.
3	Радіус основи циліндра дорівнює	В	см.
4	Твірна конуса дорівнює	Г	см.
		Д	см.

Відповідь: 1 – А; 2 – Г; 3 – Б; 4 – Д.

(2018)6. Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює . Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: А.

(2018)24. У циліндр з радіусом основи см і висотою см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1 – 4) доберіть його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення		Закінчення речення
1	Площа бічної поверхні циліндра дорівнює	А	см².
2	Площа повної поверхні циліндра дорівнює	Б	см².
3	Площа основи конуса дорівнює	В	см².
4	Площа бічної поверхні конуса дорівнює	Г	см².
		Д	см².