Відеопрезентація: "Пропорційність відрізків хорд"

ГЕОМЕТРІЯПропоційність відрізків хорд.

Тема: Пропорційність відрізків хорд. Теорема: Якщо хорди АВ і СD перетинаються в точці S, то АS·ВS = СS·DS ADBCSДано: коло; АВ i СD – хорди; АВ∩ СD = S  Довести: АS·ВS = СS·DSДоведення: проводимо хорди: ВС і АDкут. BAD = куту BCD; (спираються на дугу ВD) Отже ∆ASD ~ ∆CSB => AS: CS = DS: BS  =>AS·BS = CS·DS  кут. BSC = куту. DSA (вертикальні)

Дано: коло; МК-діаметр; АВ-хорда; АВ∩МК=Р; О-центр кола; РО=а; R- радіус кола МАВКРО° Нам уже відомо що АР·ВР = МР·КР МР = R +a; KP = R-a =>маємо  АР·ВР=МР·КР=(R+a)·(R-a)= 𝑅2 −𝑎2 Наслідок 1: Якщо хорда АВ і діаметр кола МК перетинаються в точці Р, то АР·ВР = МР·КР = 𝑅2 - 𝑎2, де R – радіус кола, а = РО, О- центр кола. Тема: Пропорційність відрізків хорд. Виразимо МР і КР через R і а

Задача: Формула бісектриси трикутника. АВСТДано: ∆АВС;  АР −бісектриса. Довести: АР2= АВ·AС - ВР·РС Доведення: опишемо навколо трикутника колопродовжимо бісектриса до перетину з коломпобудуємо хорду ТСкут АВС = куту АТС (спираються на дугу АС)Кут ВАР = куту ТАС (АР-бісектриса)Отже ∆АВР ~∆ АТС =>АВ: АТ=АР: АС =>АР·АТ=АВ·АС Але АТ = АР + РТ => АР·(АР + РТ) = АВ·АС   АР2 + АР·РТ = АВ·АС => АР2= АВ·АС - АР·РТ так як АР·РТ = ВР·РС  маємо             АР2= АВ·АС - ВР·РС, що і потрібно було довести. Р