Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою

Тема. Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою

Мета: домогтися свідомого розуміння учнями властивості добутку сте­пенів з однією основою та сформувати вміння перетворювати числові та буквені вирази з використанням цієї властивості.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

(Зібрати зошити)

II. Актуалізація, опорних знань

Виконання усних вправ

1. Які з виразів с степенем з натуральним показником?

2³; 2^-5; 2 · (-5); (-5)²; -5 · (-2); (-5)^-2.

Для степенів із натуральним показником назвіть основу та показник. Як записати ці степені у вигляді добутку? Обчисліть значення степеня.

2. Не обчислюючи значення виразів, порівняйте їх з нулем:

(-5)¹³; (-5)¹²; -5¹²; (х – 1)¹²; (х – 1)¹³ ; -(х – 1)¹².

Які міркування ви використали?

3. Знайдіть квадрати, куби, 4 та 5-ті степені чисел 2 і 3, заповніть таблицю:

III. Робота з випереджальним домашнім завданням

Завдання. Доведіть, що добуток а³ і а² дорівнює а⁵.

 Учні використовують алгоритм доведення (див. додаток і мірку­вання, що їх було використано під час виконання випереджального домашнього завдання).

Додаток

Алгоритм доведення

1. Установи і сформулюй проблему, яку треба довести.
2. Дай означення поняттям, за допомогою яких буде здійснюватись доведення.
3. Добери достатньо ґрунтовні аргументи.
4. Визнач спосіб і логіку доведення.
5. Зроби висновок.

Аргументи (підстави) — судження, істинність яких перевірена й дове­дена   практикою.    Головною   характеристикою   є   істинність,   тобто відповідність дійсності.

 Зрозуміло, що виконання цієї роботи буде легким для учнів, бо у випе­реджальному завданні є натяк на ті дії, що передбачені алгоритмом. Тому по виконанні цього завдання не виникає сумніву в тому, що a³ · a² = a⁵.

Порівняйте ліву й праву частину рівності. Сформулюйте гіпотезу.

IV. Засвоєння знань. Проблемна ситуація

Завдання 1. Довести, що а⁵ · а⁸ = а¹³; а · а¹² = а¹³.

Завдання 2. Довести, що а¹³ · а²⁷ = а⁴⁰.

Завдання 3. Як подати у вигляді степеня добуток а¹³⁵ · а²⁴⁷ ?

1.   Усвідомлюємо суть усіх завдань: за аналогією з розв'язаними раніше намагаємось довести, що добуток двох степенів з однією основою є сте­пенем з тією самою основою, а показник — сума показників множників.
2.   Обираємо спосіб доведення (за аналогією з випереджальним домаш­нім завданням), але, щоб «узагальнити» запис, замінюємо числові по­казники буквами й формулюємо твердження, що є основою для розв'язування завдань 1—3.

Доведіть, що аⁿ · а^m = а^n+т, якщо а — будь-яке число; т і п — нату­ральні числа.

Доведіть (за алгоритмом та аналогією з доведеного рівністю а³ · а² = а⁵) може провести вчитель або запропонувати виконати учням.

Запис у зошитах може мати такий вигляд:

V. Застосування знань, умінь та навичок

 Завдання на закріплення розуміння учнями основної властивості степеня (а^т · аⁿ = а^т+n) передбачають:

1. закріплення термінології;
2. засвоєння умінь перетворювати добуток степенів з однаковою осно­вою у степінь;
3. засвоєння вмінь перетворювати степінь на добуток степенів з однією основою;
4. повторення вивчених властивостей степенів з парними й непарними показниками.

Тому система завдань, що допоможе вчителю та учням досягти визна­ченої мети, може бути такою:

Виконання усних вправ

1. Який з добутків виразів можна подати у вигляді степеня з використан­ням основної властивості степеня:

а³ · а⁵; а³ · b⁵; а³ · а² · а⁷; (а + b)²(а + b)³; 3^т ·3ⁿ; 3² · 9²; m³ · n³?

Чому?

2. Подайте вираз у вигляді степеня:

х⁵ · х⁷; 5 · 5²; а · а³; у⁴ · у⁶ · у; 10² ·10 · 10³;  с · с · с³; z · z⁵;

7⁴ · 49; (-6) · (-6)³ · (-6); a²ⁿ · aⁿ.

3. Який вираз треба поставити замість *, щоб рівність а² · а* = а⁶ була правильною? Чому?

Виконання письмових вправ

1. Подайте у вигляді степеня добуток:

1) т⁵ · т³; 2) х · х⁶; 3) а⁴ · а⁴; 4) 5⁴ · 5⁴; 5) у³ · у⁸ · у⁵; 6) с⁷ · с · с²;

7)(m – n)⁸(m – n)³; 8)(u + v)³·(u + v); 9) (a – b)(a – b)(a – b)²;

10) х^2п · х^2n-2; 11) хⁿ · х⁵.

2. Замініть * на степінь так, щоб рівність стала правильною:

1) a⁸ · * = a¹³; 2) a¹¹ · * · a = a¹⁶.

3. Знайдіть значення змінної, при якому буде правильною рівність:

1) 4⁵ · 4³ = 4^5+х; 2) 2³ · 2² = 2^1+x; 3) 2ⁿ · 2⁵ = 2⁷;

4) 3⁴ · 3ⁿ = 3⁷; 5) 7⁵ · 7^x = 7^2х-1; 6) 7⁵ · 7^x = 7^15-2х.

4*. Спростіть вираз:

1) а¹⁰ · а¹² ·(-а⁵); 2) х · (-х) · (-х⁶); 3) у^п · у⁸ · у²; 4) bⁿ · bⁿ · b³.

5*. Подайте у вигляді добутку двох множників, один з яких а⁵, такі вирази:

1) a¹⁰; 2) a⁶; 3) -a⁴⁰.

6*. Подайте у вигляді степеня вираз: 1) 2⁵ · 8; 2) 4 · 8; 3) 7ⁿ · 49; 4) 27 · 3ⁿ.

 Перед виконанням порівняємо умови вправи № 6 із розв'язаними попередньо і знайдемо відмінність (множники якщо і є степенями, то з різними основами), отже, спираючись на № 3 поданих вправ, замінюємо множник(и) степенями з однаковими основами й вико­ристовуємо основну властивість степеня.

7. Логічна вправа. Знайдіть пропущені записи:

V. Підсумки уроку. Рефлексія

На окремих картках записано етапи використання основної власти­вості степеня для спрощення виразів; картки пропонуються учням в хао­тичному порядку, наприклад:

Учням пропонується встановити правильний порядок дій під час по­шуку відповідей на запитання:

Як знайти добуток степенів з однією основою?

VI. Домашнє завдання

№ 1. Подайте у вигляді степеня добуток:

1) а⁹ · а²; 2) а · а⁷; 3) b³ · b³; 4) 7¹¹ · 7³; 5) m⁴ · m⁵ · mⁿ; 6) c¹⁹ · с · сⁿ;

7) (a+b)(a+b)⁷; 8) n⁹ · n⁴ ·n^k+1 ·n.

№ 2. Замініть * степенем з основою а, щоб утворилась правильна рів­ність:

1) а¹¹ · * = a¹³; 2) a³ · * · a = a²⁵.

№ 3. Подайте у вигляді степеня: 1) 5⁸ · 25; 2) 3¹² · 27; 3) 2⁹ · 16.

№ 4. Випереджальне домашнє завдання. Які правильні рівності можна записати з того, що a · b = c?

(Як знайти множник а; множник b?)

Які рівності, відповідно, випливають з того, що а³ · а² = а⁵

(за умови, що а≠0)?

Як прочитати ці рівності словами?