Вписані чотирикутники

Чотирикутники, вписані в коло

Означення

• Якщо всі вершини чотирикутника

лежать на колі, його

називають вписаним ^В в коло, а коло – описаним навколо чотирикутника

Не будь-який чотирикутник можна вписати в коло ( ―вмістити‖ в коло так, щоб усі його вершини лежали на колі)

Яку ж властивість повинен мати чотирикутник, щоб його можна було вписати в коло?



Сума протилежних кутів чотирикутника, вписаного в коло дорівнює 180°.

В

•         Доведення

•         Нехай АВСD—вписаний у коло

^Ачотирикутник. Його протилежні кути С

                                      ^D      А і С вписані. половиною дуги ∟А вимірюється ВСD, ∟С—

половиною дуги ВАD. Сума кутів А і С вимірюється півсумою цих дуг, тобто півколом. Півколу відповідає кут 180°. Отже ∟А+ ∟С=180°. Аналогічно можна показати, що  ∟В+ ∟D=180°.

В коло можна вписати

•        Прямокутник

•        Квадрат

•        Рівнобічну трапецію

Центр кола,описаного навколо чотирикутника, рівновіддалений

АС=ВD—діаметр кола,   АО=ОD—радіус кола, описаного  описаного навколо трапеції, навколо прямокутника    якщо  АС і СD перпендикулярні

Задача прикладного змісту

•        Менша сторона футбольного поля, що має форму прямокутника, дорівнює 20м, а його діагоналі перетинаються під кутом 60°. За який час бігун пробіжить два кола бігової дорожки, що описує це поле?

Задачі на застосування

властивості чотирикутника, вписаного в коло

•        Два послідовні кути вписаного чотирикутника дорівнюють 80° і 120°. Знайдіть два інші його кути.

•        Чи можна описати коло навколо чотирикутника, кути якого, взяті послідовно,пропорційні числам: а) 2,5,7,4; б) 3,4,7,5?

•        Менша сторона прямокутника дорівнює 12см,а кут між діагоналями дорівнює 60°. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутника.

•        Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони, що дорівнює 6см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 60°.

•        Кути трапеції пропорційні числам 1 і 2,а діагональ є бісектрисою гострого кута. Знайдіть радіус описаного кола, якщо бічна сторона трапеції дорівнює 12см.