Вписані чотирикутники. Описані чотирикутники

Тема. Вписані чотирикутники. Описані чотирикутники

Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту понять: чотири­кутник, вписаний у коло; чотирикутник, описаний навколо кола; роз­глянути зміст теорем про вписаний та описаний чотирикутники та схе­ми їх доведення.

Сформувати вміння:

• відтворювати вивчені твердження;
• виконувати рисунок за описом;
• використовувати вивчені теореми під час розв'язування теореми на чотирикутники.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Наочність та обладнання: конспект «Вписаний і описаний много­кутники».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

З метою економії часу перевірка домашнього завдання проводить­ся у формі бесіди за готовими рисунками (рисунки до домашніх задач учитель виконує на дошці заздалегідь; також можна записати схеми розв'язання задач). Бесіда проводиться під керівництвом учителя, який ставить питання на розуміння учнями обґрунтування основних етапів розв'язання задач.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Учитель нагадує про складену на 20-му уроці схему, в якій відобра­жено логіку викладення навчального матеріалу з теми «Чотирикутни­ки». Після цього формулюється основна мета уроку — вивчення пи­тання про спосіб визначення поняття чотирикутника, вписаного в коло та описаного навколо кола, з'ясування можливостей вписати чотирикутник у коло або описати чотирикутник навколо кола та не­обхідних й достатніх умов, за яких це можна зробити.

IV. Актуалізація опорних знань

Для успішного засвоєння учнями означення, властивості, ознаки та способів доведення теорем про вписаний та описаний чотирикутники слід активізувати знання і вміння учнів щодо означення та властивості дотичної до кола та наслідку з неї (властивість відрізків дотичних); тео­реми про бісектрису кута.

Виконання усних вправ за готовими рисунками

V. Засвоєння знань

План вивчення матеріалу

1. Означення чотирикутника, вписаного в коло.
2. Теорема про вписаний чотирикутник.
3. Наслідки з теореми про вписаний чотирикутник.
4. Означення описаною чотирикутника.
5. Теорема про описаний чотирикутник.
6. Наслідки з теореми про описаний чотирикутник.

 За новою програмою і математики для дванадцятирічної школи учні мають не тільки оволодіти змістом та вміти застосовувати в розв'язуванні задач означення та теореми про вписаний і опи­саний чотирикутники, а й доводити ці теореми. Але, з огляду на достатньо високий рівень складності доведення теорем, що ви­ражають ознаки вписаного й описаного чотирикутників (у підручнику цей факт зафіксовано за допомогою відповідного умовного позначення), вимагати від учнів відтворення дове­дення названих ознак автор вважає за недоцільне. Під час формування знань учнів (за наведеним вище планом) учителю слід приділю и увагу таким моментам:

• під час вивчення означень вписаного (описаного) чотирикутника робимо акцент на тому, що тільки у випадку, коли всі вершини (сто­рони) чотирикутника лежать на колі (дотикаються до кола), даний чотирикутник буде називатися вписаним у коло (описаним навколо кола): на цьому етапі доцільно обговорити з учнями властивості чо­тирикутників та їх елементів, що пов'язані з колом (вершини чоти­рикутника,  вписаного  в  коло,  рівновіддалені від центра  кола; відрізок, що з'єднує центр кола з будь-якою вершиною, є радіусом кола; для чотирикутника, описаною навколо кола, рівновіддаленими від центра кола будуть сторони, тобто перпендикуляр, проведе­ний із центра кола, вписаного в чотирикутник, до сторони чотири­кутника, і є радіусом цього кола); для закріплення цих фактів пропонується виконати завдання.

Завдання. На якому із наведених рисунків зображено чотирикут­ник ABCD:

а) вписаний у коло;

б) описаний навколо кола?

Для таких чотирикутників назвіть радіуси кіл(описаного або впи­саного).

• Вивчивши зміст теорем (які виражають, по суті, критерії вписаного
  та описаного трикутників, тобто необхідну та достатню умови) про
  вписаний (описаний) чотирикутник, слід звернути увагу учнів на те,
  що можливі два випади їх застосування: по-перше, для визначення
  того, чи можна даний чотирикутник вписати в коло (описати навко­ло кола); по-друге, щоб записати відповідне співвідношення для
  протилежних кутів (сум протилежних сторін) чотирикутника. З ме­тою закріплення цих тверджень учні розв'язують усні вправи.

Виконання усних вправ

1. У який прямокутник можна вписати коло? Навколо якого ромба можна описати коло?
2. Чи можна описати коло навколо чотирикутника, який має лише один прямий кут; лише три прямі кути?
   • Для практичних потреб найбільшу цінність мають наслідки з теорем про вписаний та описаний чотирикутники, а також опорні задачі.

Задача 1. Центр кола, описаного навколо прямокутника, є точкою перетину його діагоналей.

Задача 2. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину його діагоналей, а радіус кола дорівнює половині висоти ромба.

Задача 3. Радіус кола, вписаного в трапецію, дорівнює половині її висоти.

Отже, після визначення видів чотирикутників, які можна вписати або описати, необхідно розглянути питання про положення центра описаного (вписаного) кола та співвідношення між елементами (сто­ронами, висотами) чотирикутників та радіусом описаного (вписаного) кола. Відповідні записи учні повинні зробити в зошитах.

VI. Формування первинних умінь

Виконання усних вправ

1. Чи можна описати коло навколо прямокутної трапеції?
2. У трапеції три сторони рівні. Чи можна в таку трапецію вписати ко­ло? Чи можна навколо такої трапеції описати коло?

Виконання письмових вправ

1. Визначте, чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD,
   якщо кути А, В, С, D дорівнюють відповідно:

а) 90°, 90°, 20°, 160°; б) 5°, 120°, 175°, 60°.

2. Знайдіть невідомі кути:

а) вписаного чотирикутника, якщо два з них дорівнюють 46° і 125°;

б) вписаної трапеції, якщо один із них дорівнює 80°;

в) вписаного чотирикутника, діагоналі якого точкою перетину ді­ляться навпіл.

3. Знайдіть периметр:

а) описаного чотирикутника, три послідовні сторони якого дорів­нюють 7 см, 9 см і 8 см;

б) описаної трапеції, бічні сторони якої дорівнюють 3 см і 11 см.

4. Рівнобедрена трапеція описана навколо кола. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 7 см.
5. Діагональ ромба, що виходить з вершини кута 60°, дорівнює 24 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в ромб.

VII. Підсумки уроку

Засвоєння учнями змісту основних тверджень перевіряємо під час Виконання завдання.

Які помилки допущено в зображенні чотирикутників (див. рис)?

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст теоретичного матеріалу. Виконати домашню самостійну роботу.

Домашня самостійна робота

1. У трикутнику ABC точки М і N — середи­ни сторін АВ і ВС відповідно. Периметр трикутника ABC дорівнює 22 см. Знайдіть периметр трикутника MBN.
2. На рисунку ABB₁ + A₁AB = 180°. Знай­діть периметр чотирикутника АВВ₁А₁.
3. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, основа якого стягує п'я­ту частину дуги описаного кола. Розгляньте всі можливі випадки.