Задачі на комбінації піраміди та конуса

Задачі на комбінації піраміди і конуса

№1: Навколо конуса, висота якого дорівнює 10 см, описано піраміду, основою якої є ромб з висотою 20 см і гострим кутом 30°. Знайти: а) кут між твірною конуса і площиною його основи;б) площу бічної поверхні піраміди. Розв'язання: Оскільки піраміду описано навколо ко­нуса, то всі її бічні грані мають рівні висоти і нахи­лені до основи під однаковими кутами. Проведемо ΜΝ (твірну конуса, або висоту бічної грані пірамі­ди): ΜΝ ┴ А В , ON — її проекція, отже, ON ┴ АВ (за теоремою про три перпендикуляри). ON — радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює половині висоти ромба, ON = 10 см. Відповідь, а) 60°; б) 1600 см2.

№2: Піраміду, основою якої є ромб з пло­щею Q і гострим кутом β, описано навколо конуса. Знайти об'єм конуса, якщо його твірна дорівнює l. Розв'язання. Нехай MABCD — дана піраміда, описана навколо конуса. Площини основ і вершини конуса та піраміди збігаються (за означенням), висота МО конуса є ви­сотою піраміди (на основі єдиності прямої, перпен­дикулярної до площини і проведеної через точку М, що не лежить у даній площині). MABKODC

Об'єм V конуса обчислюємо за формулою: V= πr2Η, де r — радіус кола, вписаного у ромб ABCD, Н - висота конуса, Н = МО. Проведемо у площині АВС ОК AD, О - точка перетину діагоналей ромба – центр кола, вписаного у нього, ОК = r – радіус цього кола. Сполучимо точки М і К, МК ┴ AD (за теоремою про три перпендикуляри), МК — висота бічної грані піраміди.

Розглядаємо ромб ABCD ( ﮮА = β, β < 90°).

3.

№4. В основі піраміди лежить прямокутний трикутник з катетами 6 см і 8 см, а двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 60º. Знайти висоту конуса, вписаного у піраміду.

Відповідь: 23 см. 

№5. Висота правильної трикутної піраміди 9см. Бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайти площу основи конуса, вписаного в цю піраміду.

Зауваження.  Для розв’язання задачі малювати конус немає потреби: достатньо розглянути піраміду.№6. Навколо правильної трикутної піраміди описано конус. Знайти площу бічної поверхні конуса, якщо сторона основи піраміди дорівнює 𝒂     , а бічні ребра нахилені до основи під кутом 𝟑𝟎° .  

навколо

Домашнє завдання: