Загальний метод для розв’язування раціональних тригонометричних рівнянь

Загальний метод для розв’язування раціональних тригонометричних рівнянь.
 

Раціональними  тригонометричними рівняннями називають рівняння , у яких одна частина є раціональним виразом  відносно тригонометричної функції від одного й того самого аргументу, а інша частина є нулем.

Як нам відомо,всі тригонометричні функції від x раціонально виражаються через  tg ,а саме :

sin x =   ,  cos x =   , tg x =   , де t = tg.

Для розв’язання даного тригонометричного рівняння потрібно підставити замість тригонометричної функції від x вираження цієї функції через t,тоді ми отримаємо раціональне рівняння відносно t,з якого це t можна знайти, а , знаючи, що t = tg ,можна знайти x.

Приклад 1.Розв’язати рівняння a sin x + b cos x +c = 0

Заміняємо sin x і cos x у рівнянні a sin x + b cos x +c = 0.Отримаємо

2a + b  + c = 0

Звідси

(c-b) + 2at + (c+b) = 0

Ми отримали квадратне рівняння відносно t при умові,що bc.

Розв’язавши дане квадратне рівняння,отримали корені

t₁ =     та   t₂ =

Звідси видно, що нерівність ≥ є умовою можливості вирішення початкового рівняння.Якщо ця умова виконана, то

x = 2(arctg + πn), n ∈ ℤ.

Якщо bc, то  рівняння a sin x + b cos x +c = 0 потрібно вирішувати іншим методом, так як рівняння (c-b) + 2at + (c+b) = 0 перетворюється в лінійне і ми втрачаємо корені.

Тоді з рівняння a sin x + b cos x +c = 0 маємо

a sin x + b(1+ cos x) = 0

Використовуємо формулу подвійного аргументу та пониження степеня(див.Додатки)

Отримуємо

2a sin cos + 2b = 0

Звідси

+ b) = 0

І,значить,

   = - .

Знаходимо корені

x = (2n + 1)π,    x = 2(-arctg + πn), n ∈ ℤ.

Взагалі  при підстановці в тригонометричне рівняння t замість  tg можна загубити корені x = (2n + 1)π;при цих значеннях tg не існує. Тому, вирішуючи рівняння  цим методом,потрібно перевірити чи не є вказане значення коренями рівняння.

Розв’язування рівнянь цим методом не завжди є простим. Тому потрібно старатись шукати спеціальні,найбільш короткі,прості способи для вирішення рівняння.Якщо такого способу не знайши,то можна скористатись цим загальним методом.