Збірка "Математичні ігри двох осіб"

ОЗ Великочернеччинська спеціалізована школа І-ІІІ ступенів Сумської районної ради Сумської області

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ігри двох осіб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вчитель математики

 Саранчук О. В.

Математичні ігри

      Розглянемо ще один клас олімпіадних задач, при розв'язуванні яких важливу роль відіграють інваріанти. Це задачі на ігри двох осіб. В кожній такій грі бере участь двоє гравців. Вони роблять ходи почергово. В задачі вимагається встановити, у котрого з гравців – того, що починає гру, чи його суперника, є виграшна стратегія  і в чому вона полягає. Повний перебір усіх можливих ходів та ходів-відповідей, як правило, здійснити не вдається. Тому при розв'язуванні таких задач доводиться шукати деяку властивість - інваріант, на основі якої можна побудувати виграшну стратегію.

        Для того,щоб визначити,хто повинен виграти при правильній грі,потрібно знайти виграшну стратегію,тобто послідовність дій,яка веде до перемоги.

Гравець може робити ходи,симетричні в певному сенсі ходам суперника,або для розв'язання задачі застосовує такий спосіб,як аналіз задачі з кінця,за допомогою якого можна здобути перемогу.

 

Інваріанти

№1

У рівнянні  x³+… +x²+…+ x+…=0 двоє по черзі ставлять цілі коефіцієнти. Чи може перший гравець зробити так,щоб всі корені рівняння були цілі?

Розв'язання:

Якщо всі корені цілі (їх три) то рівняння можна записати так (x²-a²)(x-b)=0 , де x=-a; b – цілі корені.

Тоді,так як старший коефіцієнт = 1, то 1-й гравець при x коефіцієнт = -1. Тоді 2й гравець ставить будь-який коефіцієнт (k),а 1й гравець ставить коефіцієнт протилежний (-k)

Маємо x³-kx²-1x+k=(x³-x)-k(x²-1)=x(x²-1)-k(x²-1)=(x²-1)(x-k), де x=±1 і x=k; k є z (за умовою).

№2

У  рівнянні без коефіцієнтів …x³+…+x²+…+x+…=0 двоє по черзі  ставляють коефіцієнти (дійсні числа). Другий хоче,щоб один із коренів був цілим  чи може перший йому завадити?

Розв'язання:

Перший починає хід, але другий буде ставити останній хід, отже в нього є можливість виграти. Якщо один із коренів буде цілим, то рівняння можна записати так:

, де aєZ , тобто ліву частину рівняння можна розкласти на множники виносячи спільну дужку за дужки. Це можливо. Нехай перші коефіцієнти  поставлені гравцями будуть будь-якими. Наприклад:  , тоді четвертий коефіцієнт (ставить ІІ гравець) повинен бути таким, щоб можна було б винести спільну дужку за дужки, тоді четвертий коефіцієнт повинен буде складатися із k, p i m.

Нехай це (k + p + m), тоді

  

 

неможливо винести за дужки спільну дужку.

Тоді з протилежним знаком

 

. .

ІІ варіант 0

                

 ІІІ варіант 

                   

IV варіант

                   ) = 0.  В усіх варіантах можна спільну дужку винести за дужки і один із коренів буде цілим.

№3

 Петро і Василь записують 12-значне число, ставляючи цифри по черзі, починаючи зі старшого розряду. Починає Василь. Він виграє, якщо одержане число не ділиться на 9, в іншому випадку виграє Петро.

Розв'язання:

Виграє Петро. Одна із його можливих стратегій – доповнювати цифру, яку записав Василь до 9. Наприклад, Василь написав 3, Петро – 6; Василь – 0, Петро – 9 і т.д. Таким чином, після кожної пари ходів Василя і Петра сума цифр збільшиться на 9. Отже, записане 12-значне число матиме суму 9·(12:2)=54, тому отримане число буде завжди ділитися на 9.

 

№4

 Вовк і Заєць грають в таку гру: на дошці записане деяке натуральне число з ненульовою останньою цифрою, гравці по черзі віднімають із числа будь-яку його не нульову цифру і записують на місці старого числа отримане число. Виграє той, хто першим отримає нуль. Починає Вовк.

Розв'язання:

         Виграє Вовк, віднімаючи із заданого числа його останню цифру. Будь-яке число, яке отримає Вовк, повинно мати нуль на останньому місці. Наприклад, маємо число 107
 

 

Вовк 107 - 7 =100                                                                       99 - 9 = 90           81 -1 = 80           72 - 2 = 70           63 – 3 = 60           54 - 4 = 50           45 – 5 = 40           36 – 6 = 30           27 – 7 = 20           18 – 8 = 10            9 – 9 = 0

Заєць 100 – 1 = 99            90 – 9 = 81            80 – 8 = 72            70 – 7 = 63            60 – 6 = 54            50 – 5 = 45            40 – 4 = 36            30 – 3 = 27            20 – 2 = 18            10 – 1 = 9

 

№5

Є дві купки цукерок по 9 в кожній . За один хід можна перекласти із однієї купки в іншу   одну цукерку і з’їсти дві цукерки із будь-якої  купки. Програє той , хто не зможе  зробити хід.           

 

Розв’язання :

       Виграє перший гравець. Першим кроком він перекладе із однієї купки в іншу  1 цукерку і з’їсть 2 цукерки з купки де 10 цукерок , їх стане по 8 в обох купках.

       Виграшна  стратегія  коли в обох купках цукерок не залишиться , тобто  нуль  в

перший і нуль в другій (парна кількість), а парну кількість залишає перший гравець.

Незалежно  від ходу  другого  перший зможе отримати дві купки по 6 , 4 , 2 і 0 цукерок 

 

 

№6

В купі лежать 50 каменів. Двоє по черзі додають до неї від 1 до 10 каменів. Переможе той, хто доведе число каменів до 200. Хто це буде I-й чи II-й?

Розв’язання:

Щоб на фініші мати 200 каменів, потрібно перед цим залишити противнику 200 – 11 = 189 каменів ( за один хід противник не доведе число каменів до 200 ), а ще перед цим залишити противнику 189 - 11 = 178 каменів і т.д. ( противник не доведе одним ходом число каменів до 189 каменів). Отже, гравець, який хоче перемогти повинен залишати число каменів таке,  щоб ( 200-А ) було кратним 11, де А- число залишених каменів після ходів І-го і ІІ-го.      Маємо  200 – 50 = 150 – число каменів які потрібно докласти гравцям.

   Отже, перше число це 57 і ( 200 – 57 ) : 11. Так як I починає, він і покладе спочатку 7 каменів. Скільки б не поклав II-й, I-й покладе таку кількість, щоб разом з тими каменями, що поклав II-й  було 11, тоді в купі буде 68 каменів, знову скільки б не поклав II-й, I-й покладе таку кількість, щоб разом з тими каменями, що поклав II-й  було 11, і т. д. тож вони дійдуть до 178, потім до 189 і тоді II-й покладе від 1 до 10 каменів і не отримає 200, а I-й зможе докласти необхідну кількість.

 

№7

На дошці записані 10 одиниць і 10 двійок. За один хід дозволяється стирати будь-які дві цифри і, якщо вони були однаковими, записати двійку, а якщо різними – одиницю. Якщо остання цифра, що залишилася на дошці – одиниця, то виграє перший гравець. Якщо ж двійка, то другий. У кожного з гравців є виграшна стратегія?
                                                                   Розв'язання:

При кожному ході кількість одиниць або не змінюється, або зменшується на 2.Оскільки спочатку було парне число одиниць, то одиниця залишитися не може. Отже,незалежно від гри суперників, виграє другий гравець.
 

№8

 В ряд записані числа 1;2;3;… 20;21. Гравець  своїм черговим ходом викреслює будь-яке із ще не викреслених чисел. Гра продовжується до тих пір, поки не залишиться два числа. Якщо сума цих чисел ділиться на 5, то виграє перший гравець, в іншому випадку виграє другий гравець.

Розв’язання:

Розіб’ємо задані числа 1;2;3;…20;21 на множини так, щоб в кожній множині були числа, які б давали однакову остачу при діленні на 5. Тобто

;   ;     ; ;   

Першим ходом перший гравець викреслить число 21. Тоді в кожній множині буде по 4 числа. Якщо другий гравець своїм ходом викреслить число із множини , то перший гравець теж викреслить число із цієї множини. Якщо другий гравець викреслить число із , то перший – із , далі другий – із , то перший – із ,і якщо другий викреслить із , то перший – із . Залишаться два числа, які обидва або із або одне належить , а друге - , або одне , друге - Бачимо, що сума остач кратна 5. Отже, сума чисел буде ділитися на 5. Значить виграє перший.

 

№9

На дошці записані m одиниць і n двійок. За один хід кожному із гравців дозволяється стерти будь-які дві цифри, і якщо вони були однаковими, написати двійку, якщо різні – записати одиницю. Якщо остання цифра яка залишилась – одиниця, то виграє 1-й гравець, якщо двійка – то другий.

Розв'язання:

 

Помітимо, що парна кількість одиниць після кожного ходу не змінюється. Тому, якщо в початковий момент часу на дошці було написано парна кількість одиниць, тобто якщо m парне, то після останнього ходу одна одиниця залишитись не може. Отже, в цьому випадку виграє 2-й гравець. І навпаки, якщо m – непарне , то виграє 1-й гравець.

 

№10

У мішку лежить 101 цукерка. Двоє по черзі беруть із мішка від 1 до 10 цукерок. Коли всі цукерки розібрані, гравці підраховують взяту кількість цукерок. Якщо ці числа взаємно прості – виграє 1-й гравець, в іншому випадку виграє другий.

Розв'язання:

Так як число 101 просте, тому, якщо 101=a+b, то числа a і b взаємно прості (найбільший спільний дільник = 1),  якщо б  вони мали спільний дільник d>1 , то він був би і дільником числа 101. Тому 1-й гравець завжди виграє.

 

№11

  На дошці  записане  рівняння  *. Перший із двох гравців називає будь-які три  числа , другий  гравець розставляє їх замість зірочок ,так як він хоче. 

Виграє перший гравець ,якщо рівняння має  різні раціональні корені , в противному випадку  виграє другий.

 

                                                       Розв’язання :

             Нехай перший називає три різні  цілі числа  . Допустимо, що  дане рівняння має два різні раціональні корені: ,  тоді:

      ;           ;   

.  Звідси     ,  або   .

Отже першому ,щоб виграти необхідно назвати три таких числа      сума яких дорівнює нулю.

 

№12

Двоє по черзі розламують шоколадну плитку 6х8. За один хід дозволяється зробити прямолінійний розлом будь-якого зі шматків вздовж заглиблення. Програє той,хто не зможе зробити наступного ходу. У котрого з гравців є виграшна стратегія?

                                                                    Розв'язання:
При кожному розламуванні кількість шматків збільшується на 1.Спочатку був 1 шматок. В кінці гри, коли не можна зробити уже жодного ходу, таких  шматків буде 48. Отже, гра триватиме 47 ходів. Оскільки при цьому кожний непарний хід робить гравець, який розпочинає гру, то він же зробить і останній 47-ий хід. Тому перший гравець переможе, незалежно від того, як буде грати він сам і його суперник.
Таким чином, число 47 виявилося інваріантом даної задачі.

Або

Перший своїм ходом розламав плитку шоколаду на дві однакові частини розмірами 6×4. Тоді яку із цих частин не розламав би другий гравець, у першого є можливість зробити аналогічний розлом у тотожній їй другій частині. Число розломів плитки є скінченим. Таким чином скільки б не продовжувалася гра, ходи першого гравця не зможуть вичерпатися раніше, ніж ходи другого.

 

№13

У коробці знаходиться 60 сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість сірників (від  1  до 5). Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців (перший чи другий) може забезпечити собі виграш?

Розв’язання:

Щоб забезпечити собі виграш потрібно щоб гравець А залишив на передостанньому ходові 6 сірників, тоді інший гравець В всіх сірників взяти не зможе(бо візьме від 1 до 5 сірників) і гравець А  забезпечить  собі виграш. Ще за чотири кроки до перемоги гравець А залишить 12 сірників, тоді гравець В візьме від 1 до 5 сірників, а гравець А візьме таку кількість сірників, щоб разом із сірниками, що взяв гравець В було 6. Тоді залишиться 6 сірників. Ще за шість кроків  до перемоги гравець А повинен залишити 18 сірників… Отже гравець А , щоб забезпечити собі виграш повинен залишати число сірників кратне 6. Це може зробити тільки другий гравець, бо початкова кількість сірників 60, кратна 6. І яку б кількість сірників            (від 1 до 5) не взяв перший гравець, другий бере таку кількість, щоб разом з тим, що взяв перший було 6. Наведемо приклад однієї із ігор:

60 сірників

      1-й     бере    4  залишається   56                                     1-й     бере   1  залишається    29     

2-й                2                              54                                        2-й                 5                              24

1-й                  4                              50                                        1-й                 4                              20

2-й                  2                              48                                        2-й                 2                              18

1-й                  5                              43                                        1-й                 2                              16

2-й                  1                              42                                        2-й                 4                              12

1-й                  2                              40                                        1-й                  3                                9

2-й                  4                              36                                        2-й                  3                                6

1-й                  5                              31                                        1-й                  5                                1 

                                                                                                     2-й                  1   і виграє.

 

№14

На столі дві купки цукерок. У першій-12 цукерок,а в другій-13.Двоє грають у таку гру: за хід дозволяється або з’їсти 2 цукерки з однієї купки, або перекласти  одну цукерку з першої купки на другу. Програє той, хто не зробить хід. Довести,що при даних умовах починаючий завжди програє.

                                                              Розв'язання:
Перший  програв  бо робив «непарні  ходи», другий  виграв бо робив «парні ходи».

Доведемо ,що  ходів  буде парна  кількість ,  тобто  останній  хід буде  парним. Кількість  ходів де гравці  з’їдають цукерки  парна,  бо їх 12.Тобто, при будь-якій грі, гравці  з’їдатимуть  цукерки  тільки за 12 ходів. Нехай    гравці  будуть  перекладати  цукерки ,  то  кількість цукерок  при цьому  не  змінюється , отже  з’їдати їх вони будуть за  12 ходів.  Скільки ж  можна  зробити  перекладань? Найбільше   12 . Нехай  гравці  зробили  12  перекладань,  знову парна  кількість, разом 12 «з’їданнями»  це 24 ходи, тобто парна кількість, отже  перший  програє . Нехай гравці зробили  11  перекладань. Але це неможливо, бо в першій  купці   залишиться  1 цукерка,яку  можна  тільки  перекласти  (перекладати  можна  тільки з першої купки ),  отже  всіх  перекладань  буде  12.Якщо перекладуть  10 цукерок, то    з’їдатимуть  тільки  за 12, разом за 22ходи, тобто знову за парну кількість ходів . Якщо перекладань буде 9, то з першої купки гравці 2 цукерки з’їли , отже знову залишиться  1  цукерка, яку потрібно тільки перекласти , тобто всіх перекладань буде 10 . Якщо перекладали 8;6;4;2  цукерки,то це парна кількість, отже разом з 12, з’їданнями буде зроблена  парна  кількість  ходів і виграє другий . Якщо зроблено7;5;3;1 перекладань, то з першої купки  потрібно з’їсти  4;6;8;10- відповідно цукерок   і завжди буде залишатися  1 цукерка , яку потрібно  тільки перекласти . Отже всіх перекладань  завжди буде парна    кількість і всіх з’їдань  =12 - теж парна кількість . Значить і всіх ходів буде парна кількість . Тому  перший  завжди  програє .

 

№15

Є дві купи цукерок: у першій – 40, у другій – 45. За один хід можна одну купу з’їсти, а другу розділити на дві (не обов’язково рівні ). Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє при правильній грі: той, хто починає, чи його партнер?

                                                                                        Розв'язання:

Виграє перший. Йому потрібно 45 цукерок  зʼїсти (непарну кількість ), а 40 цукерок (парну кількість) розбити на дві непарні купки. Тоді другий зʼїдає будь-яку непарну купку, а іншу непарну купу розібʼє на парну і непарну. Знову перший непарну кількість цукерок зʼїсть, а парну розібʼє на парну і непарну.  Гравець програє коли не можна розділити купи, тобто коли залишиться в першій одна цукерка і в другій одна, тобто коли залишаться дві купки з непарною кількістю цукерок, а непарну кількість цукерок перший може завжди залишити другому.
 

№16

На столі лежать 2013 цукерок. Сашко, Мишко та Віталик по черзі беруть цукерки зі стола. Першим ходить Сашко, який має право брати лише 1 цукерку за кожний свій хід. Далі хід робить Мишко, який має право за один хід взяти зі стола рівно 1;3;5;7 чи 9 цукерок. Третім ходить Віталік, який своїм ходом може взяти зі стола рівно 2;4;6;8 чи 10 цукерок (якщо на столі залишилася рівно 1 цукерка, то він свій хід пропускає). Далі знову хід робить Сашко, за ним Мишко і так далі. Перемагає той, хто забере зі стола своїм ходом останню цукерку. Зʼясуйте , хто переможе у цій грі?                     

Розвʼязання:

Переможе той гравець, який залишить 0 цукерок (парну кількість). На столі 2013 цукерок. Сашко візьме 1 цукерку і залишить2012 цукерок (парну кількість). Після того, як Мишко візьме 1; 3; 5;7 чи 9 цукерок на столі залишиться непарна кількість цукерок. Віталік теж залишить на столі непарну кількість цукерок, бо він бере 2;4;6;8 або 10 цукерок. Отже парну кількість цукерок на столі залишає Сашко, він і переможе.

 

№17

На дошці записано число 2013. Двоє гравців по черзі віднімають від записаного на дошці числа будь-який його дільник й одержану різницю записують замість попереднього числа.  Програє той гравець, після ходу якого на дошці буде записано число 0. Зʼясуйте, хто з гравців може забезпечити собі виграш?

Розвʼязання:

Розпишемо число 2013 на прості множники 2013=3·11·61. Запишемо дільники числа 2013, це числа: 1;3;11;33;61;183;671;2013. Висновок: всі дільники це непарні числа. Програє той хто залишить на дошці нуль (парне число ). А парні числа пише на дошці перший гравець, отже він і програє. Перший гравець від непарного числа віднімає непарний дільник і одержує парне число, а другий гравець від парного числа віднімає непарний дільник і записує непарне число.

 

 

 

Задачі на симетрію.

 

№1

Двоє гравців  по черзі кладуть п’ятаки на круглий стіл так, щоб вони не накладалися один на один. Програє той хто не зможе зробити черговий хід.

Розв’язання:

Виграє перший гравець. Першим ходом він кладе монету так, щоб центр монети співпав з центром столу . Після цього на кожен хід другого гравця, перший гравець ложе монету симетрично монеті, яку положив другий гравець відносно центру столу. Тому якщо можливий хід другого гравця , то можливий хід і першого.

 

№2

 Двоє по черзі ставлять на вільні клітинки шахової дошки коней: один – білих, другий – чорних, роблячи це так, щоб поставлений кінь не міг би бути взятим ні одним із уже поставлених коней. Програє той, хто не зможе зробити черговий хід.

Розв’язання:

Виграє другий, застосовуючи симетрію відносно центра дошки (Нагадаємо що кінь ходить буквою «Г»).

№3

Двоє по черзі ставлять слонів в клітинки шахової дошки так, щоб слони не били один одного (колір слонів значення не має ). Програє той хто не зможе зробити чергового ходу.

Розв’язання:

Застосовуючи центральну симетрію досягти успіху не можливо. Використовуємо осьову симетрію. За вісь симетрії візьмемо пряму яка поділяє четверту і п’яту горизонтальні. Симетричні відносно неї клітинки мають різний колір. Тоді слон, поставлений на одну із клітинок, не перешкоджає іншому гравцю зробити хід, бо клітинки відносно осі симетрії матимуть різні кольори. Отже другий завжди зможе зробити хід симетричний ходу першого відносно осі симетрії, він і виграє.

 

 

 

                                                          Вісь симетрії

 

 

 

 

№4

Двоє по черзі проводять по одній діагоналі в правильному 100 – кутнику так, щоб вони не перетиналися. Хто переможе?

 

Розв`язання:

За умовою задачі дано правильний многокутник із парною кількістю сторін (100), тоді I-й проводить діагональ через центр( через центр більше не можна провести) і далі проводить діагоналі симетрично хордам II-го відносно цієї діагоналі.

 

 

№5

Двоє гравців по черзі зафарбовують клітинки квадрата 10×10 причому можна зафарбувати одну із трьох фігур: прямокутники 1×2 і 1×3 або квадрат 1×1, при цьому двічі зафарбовувати одну і ту ж клітинку не можна . Виграє той, хто зафарбує останню клітинку.

Розв’язання:

Виграє другий. Кожним своїм ходом він симетрично повторює ходи першого відносно центра заданого квадрата.

 

№6

На столі лежать дві купки сірників. Двоє гравців по черзі беруть або один сірник із однієї купки, або по одному сірнику із обох купок . Виграє той, хто візьме останній сірник.

Розв’язання:

А) Якщо в кожній купці парна кількість сірників, то виграє другий, повторюючи ходи першого гравця;

Б) Якщо хоча б в одній із кучок непарна кількість сірників, то виграє перший гравець. Своїм першим ходом він досягає того, щоб в кожній купці була парна кількість сірників, а потім повторює  ходи другого гравця.

 

№7

На колі розставлено 2n точок. За один хід гравцю дозволяється зʼєднати будь-які дві точки відрізком, так, щоб кожен із проведених відрізків не перетинав один одного. Програє той, хто не зможе зробити хід.

Розв’язання:

Виграє перший. Своїм першим ходом він проводить хорду, по обидві сторони якої розміщено по n-1 точці. Після цього, на кожен хід другого гравця він відповідає аналогічним ходом по іншу сторону від проведеної хорди.

Наприклад при n=3 , маємо 2n=6; n-1=2

                                                                                               ●                               ●          

 

                                                                                             ●                                    ●

 

                                                                                               ●                                ●

 

№8

Дано шахівницю 8х8 і прямокутні доміно 1х2. За один хід дозволяється накрити дві сусідні клітинки шахівниці так, щоб плитки доміно не перекривались. Програє той, хто не зможе зробити наступного ходу. У  котрого з двох гравців є виграшна стратегія?

Розв’язання:

Виграшна стратегія є у другого гравця. Для перемоги він кожного разу повинен ставити плитку доміно симетрично відносно центра дошки до плитки, поставленої перед цим його суперником.

 

№9

    На дошці записане число 1997. За один хід дозволяється відняти від нього будь – яке натуральне число, що є степенем двійки і не перевищує записаного Виграє той, хто одержить число 0. У котрого з двох гравців є виграшна стратегія?

 

Розв’язання:

Зауважимо, що не ділиться на 3, причому при діленні на 3 числа додають остачу 2, а числа   остачу = 1. Перший гравець, віднявши своїм першим ходом число 2, залишить суперникові число 1995 ,яке ділиться на 3. Якщо надалі другий гравець відніме двійку в непарному степені, то перший відповість відніманням двійкиу парному степені, і навпаки, на віднімання двійки в парному степені – відніманням двійки в непарному степені. Таким чином, перший гравець завжди має змогу займати виграшні позиції – діставати числа ,що діляться на 3, а другий – весь час змушений записувати числа, що на 3 не діляться. Отже, дістати 0 другому гравцеві не вдасться. А оскільки при кожному ході записувані числа весь час зменшуються, залишаючись невід’ємними, то через скінченне число кроків перший гравець справді дістане число 0 і виграє.

 

 

Гра-жарт

Гра-жарт – це гра, коли перемога не залежить від того, як грають суперники, а залежить тільки від початкових даних гри.

 

№1

1.Двоє по черзі розламують шоколад розміром m × n. За один хід дозволяється зробити прямолінійне відламування будь-якого із шматків уздовж заглиблення (але тільки одного). Програє той, хто не може зробити хід.

Розв’язання:

Після кожного ходу кількість шматочків збільшується на один. Спочатку була ціла шоколадка (один шматок). В кінці гри, коли не можна зробити хід, і шоколадка розламана на маленькі шматочки, їх кількість дорівнює   m · n. Отже, гра буде продовжуватися          m · n-1 хід. Тому, якщо (m · n-1) – непарне, то  m · n – парне, і виграє перший гравець, так як він робив останній хід (так же які всі інші ходи з непарними номерами). Якщо ( m · n-1) – парне, тоді m · n – непарне, отже виграє другий гравець.

 

№2

На дошці в рядок записано  n цілих чисел. Гравці по черзі розставляють між ними знаки «+» або «-». Після того, як всі місця заповнені, підраховують результат. Якщо він парний – виграє перший гравець, якщо непарний – виграє другий гравець.

Розв’язання:

Нехай  п – парне число, а н – непарне число. Так як п+п=п,  п-п=п, н+н=п, н-н=п, н+п=н, н-п=н, то результат залежить тільки від числа непарних чисел, записаних на дошці. Якщо кількість непарних чисел парне число, то виграє перший гравець, в іншому випадку виграє другий гравець.

 

 

№3

На дошці записані числа 1;2;3;4;5…2013;2014. Гравці по черзі витирають з дошки будь-які два числа і замість них записують модуль їх різниці до тих пір, доки залишиться одне число. Якщо це число буде парним, то виграє перший гравець, а якщо непарне то виграє другий.

 

Розв'язання:

Знайдемо суму всіх записаних чисел   це число непарне. При витиранні з дошки будь-яких двох чисел і записуванні модуля їх різниці, парність суми всіх чисел змінюватися не буде, сума всіх чисел завжди буде непарною. Тому на дошці залишиться непарне число і виграє другий гравець.

       Тобто при витиранні двох непарних чисел (їх сума парна і сума чисел які залишилися залишиться непарною) гравець запише модуль їх різниці і це буде парне число. До непарної суми чисел, які залишилися, додаємо парне число, знову загальна сума чисел є непарна. Аналогічно міркуємо якщо витираємо два парних числа. І якщо гравець витирає парне і непарне число (їх сума непарна, тоді сума чисел, що залишилися є парна) і записує модуль їх різниці, а це непарне число, то сума всіх чисел (парне + непарне) бу

 

 

 

Виграшної стратегії може  не бути і в жодного з гравців.

 

№1

На столі стоїть 9 стаканів вверх дном. Грають двоє, роблячи ходи по черзі. За один хід дозволяється перевернути будь-які 4 стакани або доставити нові 2 стакани вверх дном. Виграє той, після ходу якого всі стакани стоятимуть вниз дном. У котрого із гравців є виграшна стратегія?

 

Розв’язання.

Незалежно від гри суперників, кількість стаканів, які стоять вверх дном, залишається непарною. А тому досягти того, щоб усі стакани стояли вниз дном, не вдається жодному із гравців.

 

 

№2

На дошці записане число 10. Грають двоє, роблячи ходи почергово. За один хід дозволяється дописати справа від числа, записаного останнім, число 10 або 1010. Виграє той, хто першим одержить число, що ділиться на 1996. У котрого із гравців є виграшна стратегія?

 

Розв’язання:

Незалежно від гри суперників,кожного разу одержуватимуться числа,які закінчуються на 10, а отже, не діляться на 4. Але 1996 на 4 ділиться. Тому виграшної стратегії немає в жодного з гравців.

 

 

№3

Маємо куб і дві фарби: червону і зелену. Перший вибирає три ребра куба і фарбує їх в червоний колір. Другий вибирає три не пофарбовані ребра куба і фарбує їх в зелений колір і так далі. Забороняється перефарбовувати ребро в інший колір або фарбувати двічі однією і тією ж фарбою. Виграє той, хто першим зможе пофарбувати своєю фарбою всі ребра якоїсь із граней.

Розв’язання:

Нічия. Перший виграти не зможе, так як другий може вибрати ребра, які містяться в кожній із шести граней куба, і навпаки, другий також виграти не може, бо ці ребра може пофарбувати і перший.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використана література:

1. Сарана О.А. Математичні олімпіади просте і складне поруч: Навч. Посібн. – К ., 2005. – 344 с.
2. Федак І.В. Цілі числа. Ігри. Посібник для підготовки до математичних олімпіад: Бібліотечка заочної математичної школи. – Тернопіль , 1997.
3. Вороний О.М. Готуємось до олімпіади з математики. Книга 1: Основа. – Харків, 2008