Енергія. Закон збереження енергії.

Розв’яжемо задачі разом.

Задача 1

Камінь кинули вертикально вгору зі швидкістю 10 м/с. На якій висоті кінетична енергія каменя дорівнюватиме його потенціальній енергії?

Дано:                                                      Розв’язання:

 ύ = 10 м/с                        ύ     Е_к1   =   Е_п1    

 Е_к = Е_п                                              

h - ?                                  ύ

                                                                        нульовий рівень

Позначимо кінетичну й потенціальну енергію каменя в момент кидання енергію Е_ко  й    Е_по відповідно, а на висоті h - Е_к1   й   Е_п1.  Тоді відповідно до закону збереження енергії:    Е_ко +    Е_по = Е_к1   +  Е_п1    

На висоті h відповідно до умови  Е_к1   =   Е_п1. Зважаючи на це, перепишемо закон збереження енергії в такий спосіб:   

Е_ко +    Е_по = Е_к1   +  Е_п1 = 2 Е_п1 

Е_ко = m ύ₀²/2             Е_по = 0 (потенціальна енергія на нульовому рівні)

Е_п1 =2mgh   Отримаємо:   mύ₀²/2  + 0 =  2mgh      або  :   ύ₀² = 4gh

Звідси отримаємо висоту:  h = ύ₀² : 4g

Перевіримо одиниці вимірювання: [ h ] = ^м2с2 : с2^м = ^м2_с2  ·  ^с2_м = м

Обчислимо висоту:  h =  = 2,5 м

Відповідь:     h =  2,5 м

Задача 2

Стріла вилітає зі спортивного лука вертикально вгору зі швидкістю 40 м/с. На яку висоту підніметься стріла, якщо її маса 250 г?

Дано:               СІ                            Розв’язання:

ύ0 = 40 м/с                               У момент вильоту стріла має кінетичну енергію:        m = 250 г       = 0,25 кг         Е_ко = m ύ₀²/2    Потенціальна енергія відносно h - ?                                        землі дорівнює 0. Внаслідок підняття стріли на

висоту h, кінетична енергія стріли перетвориться у потенціальну енергію тіла, піднятого над землею на висоту   Е_п = mgh 

За законом збереження енергії   Е_ко +    Е_по = Е_к1   +  Е_п1

                                                     або  Е_ко +    0 = 0   +  Е_п1                                                         m ύ₀²/2 = mgh, скоротивши  на m

                                                   ύ₀²/2   =          gh,   отримаємо формулу для обчислення висоти  h              ύ₀² = 2gh     h = ύ₀²  :  2g     Як бачимо з формули, висота підняття стріли на висоту h  від маси не залежить.

Обчислимо висоту:       h = 40²  :  20 = 80 м

Відповідь:  80 м

Задача 3

Тіло вільно падає з висоти 10 м. Яка його швидкість на висоті 6 м над поверхнею землі? Яка його швидкість у момент падіння на землю?

Дано:                                           Розв’язання:

h 1 = 10 м        На висоті 10 м тіло має потенціальну енергію:  Е_п1 = mgh1            h 2 = 6 м          Кінетична енергія на цій же висоті відносно землі дорівнює 0. ύ0 = 0              Внаслідок падіння на висоті 6 м тіло буде мати потенціальну  

ύ1 - ?                енергію   Е_п2 = mgh2   та кінетичну енергію      Е_к2 = m ύ₁²/2        ύ2 - ?                За законом збереження енергії   Е_к1 +    Е_п1 = Е_к2   +  Е_п2

                              або  0 +    mgh₁ = mgh₂   +  m ύ₁²/2        

              Скоротивши  на  m, отримуємо    gh1 = gh2   +   ύ₁²/2        

Отримаємо формулу для обчислення швидкості тіла на висоті  h2:                                      ύ ₁²/2 = gh₁ -  gh₂                                           ύ₁² = 2g(h₁ - h₂)        ύ₁ = 2g(h1 − h2)             (1)

Знайдемо швидкість тіла ύ2  у момент падіння. Врахувавши, що в момент падіння потенціальна енергія дорівнюватиме 0, а кінетична Е_к3 = m ύ₂²/2 , запишемо закон збереження енергії      Е_к1 +    Е_п1 = Е_к3   +  Е_п3

                              або  0+    mgh₁ = 0   +  m ύ₂²/2                                       mgh₁ =   m ύ₂²/2                                gh₁ =   ύ₂²/2

                              2gh₁ =   ύ₂²                  ύ₂ = 2g h1             (2)

Обчислимо швидкості тіла на висоті 6 м та в момент падіння за формулами 1 і 2:           = 8,8 м/с

             ύ₂ = √2 · 9,8 · 10         = 14 м/с

Відповідь:  8,8 м/с;  14 м/с

Задача 4

Камінь масою 0,5 кг, зісковзнувши по похилій площині з висоти 3 м, у основи набув швидкості 6 м/с. Визначте роботу сили тертя.

Дано:                                      Розв’язання:

m = 0,5 кг       Розглянемо, які перетворення енергії відбуваються з тілом під  h  = 3 м           час зісковзування з похилої площини. На висоті 3 м тіло має ύ = 6 м/с       потенціальну енергію  Е_п1 = mgh1,  кінетична енергія дорівнює 0.  g = 10 м/c²

А _F  - ?         

 Внаслідок руху тіла вздовж похилої площини частина потенціальної енергії витрачається на виконання роботи по передоланню сили тертя      А F   та   частково перетворюється в кінетичну енергію руху тіла. Запишемо закон збереження енергії для даного випадку:

                                   Е_к1 +    Е_п1 = Е_к2   +  А F,                    або      0 +    mgh  = m ύ²/2    +  А F

Виведемо формулу для обчислення роботи сили тертя:

                  А _F = mgh - m ύ²/2 =    m (gh -  ύ²/2)

Перевіримо одиниці вимірювання:  [А _F] =   кг (_с2^мм -  ^м_с2²) = кг ^м_с2² = Н м = Дж

Обчислимо роботу сили тертя:  А _F =    0,5 (10·3 -  6²/2) = 6 Дж

Відповідь:    6 Дж

Задача 5

За допомогою підйомника металевий вантаж масою 800 кг підняли на висоту 6 м, а потім дали йому вільно впасти. Унаслідок  удару металевого вантажу об верхній кінець палі, вона заглибилась в ґрунт на 30 см. Визначте силу опору ґрунту.

Дано:                                      Розв’язання:

m = 800 кг     Розглянемо, які перетворення енергії відбуваються з металевим  h1  = 6 м          вантажем. На висоті 6 м вантаж має потенціальну енергію   g = 10 м|c²         Е_п1 = mgh1.     Кінетична енергія вантажу дорівнює 0. h 2  = 0,3 м      Внаслідок падіння вантажу його потенціальна енергія Fоп  - ?          спочатку перетворюється у кінетичну, а кінетична енергія витрачається на виконання роботи по передоланню сили опору     А _{F .}   

Запишемо закон збереження енергії для даного випадку:

                                   Е_к1 +    Е_п1 = Е_к2   +  А F,

                   або      0 +    mgh₁  =  А F    

Роботу сили опору знайдемо за формулою:    А _F = Fоп · h 2

                                      mgh₁  =  F_оп · h ₂

Виведемо формулу для обчислення сили опору:

                                    F_оп  = mgh₁ : h ₂

Перевіримо одиниці вимірювання:  [Fоп] =   кг  _с2^мм : м =  Н · м : м = Н

Обчислимо силу опору:  Fоп  =  800 · 10 · 6 : 0,3 = 160 000 Н = 160 кН

Відповідь:    160 кН

Задача 6

Яка потенціальна енергія розтягнутої пружини,  якщо її  розтягли на 4 см і,  щоб тримати пружину в розтягнутому стані, треба прикладати силу 60 Н?

Дано:                                      Розв’язання:

F = 60 Н        Потенціальну енергію розтягнутої пружини знайдемо за   х  = 0,04 м     формулою  Е_п = kx² / 2

                       Коефіцієнт жорсткості пружини знайдемо за законом Гука: Е_п  - ?              F = kx,    k = ^F  ;  підставивши у формулу потенціальної   х

                         енергії,   отримаємо:    Е_п = ^{F х}

2

  Перевіримо одиниці вимірювання:  [Е_п] =   Н · м = Дж

Обчислимо силу опору:  Е_п = ^{60 ·} 2^0,04 = 1,2 Дж

Відповідь:    1,2 Дж