Завдання для І етапу Всеукраїнської олімпіади з математики "Шкільні олімпіади з математики. 5-11 клас"

 

Олімпіада з математики. I етап. 5 клас. 1. Барвінок виростив у своєму саду 246 кг яблук і 354 кг груш. Шосту частину всіх фруктів Барвінок віддав своїм друзям з дитячого садочка, п'яту частину всіх фруктів - друзям зі школи, а решта - в лікарню. Скільки кілограмів фруктів віддав Барвінок в лікарню?                                                                                                                           (10б.)                   2. У записі 4 4 4 4 4 4 4 4 поставте між деякими цифрами знак «+» так, щоб вийшло вираз, значення якого дорівнює 500.  (15б.)                                                                                                                                                                                                                                        3. Попелюшка отримала від мачухи два відра, одне ємністю в 7 л, інше в 5 л. Мачуха відправила її до джерела з вимогою принести рівно  2 л води. Як може виконати це завдання Попелюшка?                                                (15б) 4.  У двох кімнатах було 76 осіб. Коли з однієї кімнати вийшли 30, а з другої 40, то людей залишилося порівну. Скільки людей було в кожній кімнаті спочатку ?                                                                     (15 б) 5. Троє друзів: Альоша, Боря і Вітя - вчаться в одному класі. Один з них їздить додому зі школи на автобусі, один - на трамваї і один на тролейбусі. Одного разу після уроків Альоша пішов проводити свого друга до зупинки автобуса. Коли повз них проходив тролейбус, третій друг крикнув з вікна: «Боря, ти забув в школі зошит!». Хто на чому їздить додому?                                                                                                         (20 б.)   6.   З сірників складено невірна рівність. Перекладіть один сірник так, щоб    вийшло вірна рівність.                                 (20 б.)                                                                                                                7.  У квадратній кімнаті треба розставити уздовж стін 10 стільців так, щоб у     кожної стіни стояло порівну стільців. Як це зробити?                                                                                                            (20 б.)

Олімпіада з математики. I етап. 5 клас. 1. Барвінок виростив у своєму саду 246 кг яблук і 354 кг груш. Шосту частину всіх фруктів Барвінок віддав своїм друзям з дитячого садочка, п'яту частину всіх фруктів - друзям зі школи, а решта - в лікарню. Скільки кілограмів фруктів віддав Барвінок в лікарню?                                                                                                                  (10б.)                   2. У записі 4 4 4 4 4 4 4 4 поставте між деякими цифрами знак «+» так, щоб вийшло вираз, значення якого дорівнює 500.         (15б.)                                                                                                                                                                                                                                 3. Попелюшка отримала від мачухи два відра, одне ємністю в 7 л, інше в 5 л. Мачуха відправила її до джерела з вимогою принести рівно  2 л води. Як може виконати це завдання Попелюшка?                                                (15б) 4.  У двох кімнатах було 76 осіб. Коли з однієї кімнати вийшли 30, а з другої 40, то людей залишилося порівну. Скільки людей було в кожній кімнаті спочатку ?                                                                     (15 б) 5. Троє друзів: Альоша, Боря і Вітя - вчаться в одному класі. Один з них їздить додому зі школи на автобусі, один - на трамваї і один на тролейбусі. Одного разу після уроків Альоша пішов проводити свого друга до зупинки автобуса. Коли повз них проходив тролейбус, третій друг крикнув з вікна: «Боря, ти забув в школі зошит!». Хто на чому їздить додому?                                                                                                         (20 б.)   6.   З сірників складено невірна рівність. Перекладіть один сірник так, щоб    вийшло вірна рівність.                                           (20 б.)                                                  7.  У квадратній кімнаті треба розставити уздовж стін 10 стільців так, щоб у     кожної стіни стояло порівну стільців. Як це зробити?                                                                                                                     (20 б.)

Олімпіада  з  математики.  I  етап. 6  клас.

  1. Якийсь товар коштував 500гривен. Потім ціну на нього збільшили на 10%, а потім зменшили на 10%. Який стала ціна     в підсумку? (15б)

  2. Які цифри можна підставити замість зірочки в запис

     тризначного числа 46 *, щоб вийшло число, яке б ділилося

     на : а) 2;     б) на 3;     в) на 5.  (15б)

3.Площа прямокутника 576 см², ширина його 18 см. Знайдіть площу такого квадрату, у якого периметр дорівнює  периметру прямокутника. (20б)

4. Довести, що сума двох послідовних непарних чисел

      ділиться без остачі на 4. (20б)

5. Чи можна в квадраті 4 × 4 розставити 10 мінусів так, щоб

      в кожному рядку було парне число мінусів, а в кожному

      стовпці – непарне? (20б)

    6. Для влаштування ялинки купили цукерок, горіхів і пряників.

        Причому горіхів взяли на 80 штук більше, ніж цукерок, а

        пряників на 120 менше, ніж горіхів. Яке найбільше число

        однакових подарунків для дітей можна зробити, якщо всього

        цукерок, горіхів  і пряників 760 штук?(30б)

7. Вздовж паркану ростуть 8 кущів малини. Число ягід на сусідніх кущах відрізняється на 1. Чи може на всіх кущах разом бути  225 ягід?   (30б)

 

Олімпіада  з  математики.  I  етап. 6  клас.

1. Якийсь товар коштував 500гривен. Потім ціну на нього збільшили на 10%, а потім зменшили на 10%. Який стала ціна     в підсумку? (15б)

  2. Які цифри можна підставити замість зірочки в запис

 тризначного числа 46 *, щоб вийшло число, яке б  ділилося  на : а) 2;     б) на 3;     в) на 5.  (15б)

3.Площа прямокутника 576 см², ширина його 18 см. Знайдіть площу такого квадрату, у якого периметр дорівнює  периметру прямокутника. (20б)

4. Довести, що сума двох послідовних непарних чисел

      ділиться без остачі на 4. (20б)

5. Чи можна в квадраті 4 × 4 розставити 10 мінусів так,  щоб  в кожному рядку було парне число мінусів, а в кожному стовпці – непарне? (20б)

6. Для влаштування ялинки купили цукерок, горіхів і     пряників. Причому горіхів взяли на 80 штук більше, ніж цукерок, а пряників на 120 менше, ніж горіхів. Яке найбільше число однакових подарунків для дітей можна зробити, якщо всього цукерок, горіхів  і пряників 760 штук?(30б)

7. Вздовж паркану ростуть 8 кущів малини. Число ягід на сусідніх кущах відрізняється на 1. Чи може на всіх кущах разом бути  225 ягід? (30б)

 

 

 

    Олімпіада  з  математики.  I  етап. 7  клас. 

1. Розв’яжіть рівняння:   а; 

     б) + 0,3   (20 б)

  2.Знайдіть цілі числа і такі, що . (20 б)

3.Сума двох чисел дорівнює 77. Добуток одного з них на 8 дорівнює добутку іншого на 6. Знайдіть найбільше з цих чисел. (15 б)

4. Влітку ціну на лижі знизили на 10%, а взимку підняли

  на 10%. Чи змінилася ціна на лижі і на скільки відсотків?

 (20 б)

5. Велика група туристів виїхала в закордонне турне. З них володіє англійською мовою 28 осіб, французькою - 13, німецькою - 10, англійською та французькою - 8, французькою та німецькою - 5, англійською та німецькою - 6, всіма трьома мовами - двоє, а 41 людина не володіє жодною з трьох мов. Скільки всього туристів? (20 б)

6. Фігури 1,2,3,4,5 - квадрати. Периметр квадрата 1 дорівнює

   8 м. Знайдіть периметр квадрата 5 (див. рис 1).

 

 

 

                                 рис.1       (20 б)

 

7. Розмістіть 6 точок на чотирьох прямих так, щоб на кожній з них було по три точки.  (30 б)

 

    Олімпіада  з  математики.  I  етап. 7  клас.

1. Розв’яжіть рівняння:   а;

     б) + 0,3   (20 б)

  2.Знайдіть цілі числа і такі, що .   (20 б)

3.Сума двох чисел дорівнює 77. Добуток одного з них на 8 дорівнює добутку іншого на 6. Знайдіть найбільше з цих чисел.  (15 б)

4. Влітку ціну на лижі знизили на 10%, а взимку підняли

    на 10%. Чи змінилася ціна на лижі і на скільки відсотків?

  (20 б)

5. Велика група туристів виїхала в закордонне турне. З них володіє англійською мовою 28 осіб, французькою - 13, німецькою - 10, англійською та французькою - 8, французькою та німецькою - 5, англійською та німецькою - 6, всіма трьома мовами - двоє, а 41 людина не володіє жодною з трьох мов. Скільки всього туристів? (20 б)

6. Фігури 1,2,3,4,5 - квадрати. Периметр квадрата 1дорівнює

   8 м. Знайдіть периметр квадрата 5 (див. рис 1).

 

 

                                 рис.1       (20 б)

 

7. Розмістіть 6 точок на чотирьох прямих так, щоб на кожній з них було по три точки.  (30 б)

 

    Олімпіада  з  математики.  I  етап. 8  клас.

1.Знайдіть значення виразу  , якщо

     (15б)

2. Два однакових рівносторонніх   трикутника АВС і СДЕ мають спільну вершину С. Знайдіть

  ∠ АВД, якщо ∠АСД = 80 °.     (15б)

3. Розв’яжіть рівняння:

                                       (20б)

4. Через п'ять років вік брата буде відноситися до віку сестри як

     8: 7. Скільки років кожному з них зараз, якщо рік тому брат

       був удвічі старший за сестру?  (20б)

5. У магазині побувало 65 осіб. Відомо, що вони купили 35 холодильників, 36 мікрохвильовок, 37 телевізорів. 20 з них купили і холодильник, і мікрохвильовку, 19 - і мікрохвильовку, і телевізор, 15-холодильник і телевізор, а все три покупки зробили три людини. Чи був серед них відвідувач, що не купив нічого? (20б)

6. У трикутнику АВС бісектриса, яка проведена з вершини А, висота - з вершини В і серединний перпендикуляр до сторони АВ, перетинаються в одній точці. Знайдіть величину кута А. (20б)

7. Розкладіть на множники вираз:  (20б)

8. Докажіть, що коли  (20б)

    Олімпіада  з  математики.  I  етап. 8  клас.

1.Знайдіть значення виразу  , якщо

     (15б)

 

2. Два однакових рівносторонніх   трикутника АВС і СДЕ мають спільну вершину С. Знайдіть

  ∠ АВД, якщо ∠АСД = 80 °.     (15б)

3. Розв’яжіть рівняння:

                                       (20б)

4. Через п'ять років вік брата буде відноситися до віку сестри як

     8: 7. Скільки років кожному з них зараз, якщо рік тому брат

       був удвічі старший за сестру?  (20б)

5. У магазині побувало 65 осіб. Відомо, що вони купили 35 холодильників, 36 мікрохвильовок, 37 телевізорів. 20 з них купили і холодильник, і мікрохвильовку, 19 - і мікрохвильовку, і телевізор, 15-холодильник і телевізор, а все три покупки зробили три людини. Чи був серед них відвідувач, що не купив нічого? (20б)

6. У трикутнику АВС бісектриса, яка проведена з вершини А, висота - з вершини В і серединний перпендикуляр до сторони АВ, перетинаються в одній точці. Знайдіть величину кута А. (20б)

7. Розкладіть на множники вираз:  (20б)

8. Докажіть, що коли  (20б)

Олімпіада з математики. I етап. 9клас.

1.Знайдіть область визначення функції:

2. Доведіть, що  при всіх дійсних       значеннях x і y.          (10б)

3. Доведіть, що  якщо  (10б)

4. Довести, що сума трьох  послідовних  степенів  числа  2 ділиться   на 7.  (10б)

5. Число одиниць двозначного числа на 3 менше числа десятків. Добуток цього числа на число, записане в зворотному порядку дорівнює 574. Знайти це число.                                   (10б)

6. Розв’яжіть рівняння:

            б)

7. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а медіана, яка проведена до неї, - 6см. Знайдіть основу трикутника.     (10б)

8. У трикутнику АВС бісектриса, яка проведена з вершини А, висота з вершини В і серединний перпендикуляр до сторони АВ перетинаються в одній точці. Знайдіть величину кута А.                               (10б)

9. Доведіть, що з рівності   , де дійсні числа, випливає , що        (20б.)                                                                                                                                           10. Для кожного значення розв`яжіть нерівність:

                        (20б)

Олімпіада з математики. I етап. 9клас.

1. Знайдіть область визначення функції:

2. Доведіть, що  при всіх дійсних       значеннях x і y.          (10б)

3. Доведіть, що  якщо  (10б)

  4. Довести, що сума трьох  послідовних  степенів  числа  2 ділиться   на 7.  (10б)

5. Число одиниць двозначного числа на 3 менше числа десятків. Добуток цього числа на число, записане в зворотному порядку дорівнює 574. Знайти це число.                                   (10б)

6. Розв’яжіть рівняння:

              б)

7. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 8 см, а медіана, яка проведена до неї, - 6см. Знайдіть основу трикутника.     (10б)

  8. У трикутнику АВС бісектриса, яка проведена з вершини А, висота з вершини В і серединний перпендикуляр до сторони АВ перетинаються в одній точці. Знайдіть величину кута А.                               (10б)

  9. Доведіть, що з рівності   , де дійсні числа, випливає , що       (20б.)                                                                                                                                           

10. Для кожного значення розв`яжіть нерівність:

                        (20б)

 

Олімпіада  з  математики.  I  етап. 10  клас

1.(15б) Скільки розв’язків  має система рівнянь:

2.(15б) Нехай  і  – корні  рівняння   . Використовуючи теорему Вієта встановіть, правильною або неправильною дробом є значення дробу:

3.(15б) Знайдіть область визначення  функції:

4. (15б) Спростіть:   .

5.(15б) На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС відзначені точки М і N такі, що AC = AM і BC = BN. Доведіть, що ∠ MCN дорівнює 45 °.

6.( 15б)  Розв’яжіть рівняння :

7. (15б) Перпендикуляр, який опущено з точки окружності на її діаметр, ділить його на два відрізка, один з яких на 27 см більше іншого. Знайдіть довжину кола, якщо довжина даного перпендикуляру дорівнює 18 см.

8.(15б) Відстань між центрами двох кіл, радіуси яких 17 см і 10 см, дорівнює 21 см. Визначити відстань центрів від точки, в якій пряма центрів перетинається із загальною дотичній двох кіл.

9.(20б) Розв’яжіть систему рівнянь: 

Олімпіада  з  математики.  I  етап. 10  клас

1.(15б) Скільки розв’язків  має система рівнянь:

2.(15б) Нехай  і  – корні  рівняння   . Використовуючи теорему Вієта встановіть, правильною або неправильною дробом є значення дробу:

3.(15б) Знайдіть область визначення  функції:

4. (15б) Спростіть:   .

5.(15б) На гіпотенузі АВ прямокутного трикутника АВС відзначені точки М і N такі, що AC = AM і BC = BN. Доведіть, що ∠ MCN дорівнює 45 °.

6.( 15б)  Розв’яжіть рівняння :

7. (15б) Перпендикуляр, який опущено з точки окружності на її діаметр, ділить його на два відрізка, один з яких на 27 см більше іншого. Знайдіть довжину кола, якщо довжина даного перпендикуляру дорівнює 18 см.

8.(15б) Відстань між центрами двох кіл, радіуси яких 17 см і 10 см, дорівнює 21 см. Визначити відстань центрів від точки, в якій пряма центрів перетинається із загальною дотичній двох кіл.

9.(20б) Розв’яжіть систему рівнянь: 

Олімпіада  з математики.  I  етап. 11  клас.

1. Розв'яжіть рівняння:    (.

2. Розв'яжіть рівняння:

3.Біля трикутника з кутами α і β описана окружність,

   Довжина якої с. Визначте сторони трикутника, що

   лежать проти кутів α і β.

4. Розв'яжіть рівняння:  lg6 + x lg5= x + lg (2^x+1).

5. Розв'яжіть нерівність: 

6. Поясніть детально, в чому помилка доказу:

    Беремо вірну нерівність . З неї випливає, що

. В силу зростання функції ,

 ,  звідси   . Після скорочення на

, отримуємо .

7 . Троє друзів, назвемо їх А, В і С, обговорювали питання про можливості одруження. З'ясувалося, що якщо В не буде одружуватися,  то і А чи не буде одружуватися, але якщо В одружується, то одружуються і А, і С. Питається, якщо А одружується, то чи повинен при цих умовах одружитися і С?

8. При якому значенні а  сума квадратів коренів

    рівняння      буде найменшою?

9. Функція має вид,деякі числа.

  Відомо що Чому дорівнює

      Всі завдання по 10 балів

Олімпіада  з математики.  I  етап. 11  клас.

1. Розв'яжіть рівняння:    (.

2. Розв'яжіть рівняння:

3.Біля трикутника з кутами α і β описана окружність,

   Довжина якої с. Визначте сторони трикутника, що

   лежать проти кутів α і β.

4. Розв'яжіть рівняння:  lg6 + x lg5= x + lg (2^x+1).

5. Розв'яжіть нерівність: 

6. Поясніть детально, в чому помилка доказу:

    Беремо вірну нерівність . З неї випливає, що

. В силу зростання функції ,

 ,  звідси   . Після скорочення на

, отримуємо .

7 . Троє друзів, назвемо їх А, В і С, обговорювали питання про можливості одруження. З'ясувалося, що якщо В не буде одружуватися,  то і А чи не буде одружуватися, але якщо В одружується, то одружуються і А, і С. Питається, якщо А одружується, то чи повинен при цих умовах одружитися і С?

8. При якому значенні а  сума квадратів коренів

    рівняння      буде найменшою?

9. Функція має вид,деякі числа.

  Відомо що Чому дорівнює

  Всі завдання по 10 балів