Завдання для олімпіади

                                                                                              Затверджую

                                                                          Директор :               О. Стасишин

                                                     Завдання

І туру олімпіади з математики у 8 класі.

1. Написавши підряд усі натуральні числа від 1 до 299, утворили число 123456789…297298299. Довести, що воно ділиться на 3.

2. Учень задумав двоцифрове  число, в якого цифра десятків на 3   менша від цифри одиниць. Якщо це число поділити на суму його цифр, то в частці буде 4 і в остачі 6. Яке число задумав учень.( Відповідь: 58.)

3. У рівнобедрений трикутник  з кутом 120° при вершині і бічною стороною а вписано коло. Знайдіть радіус кола.() ( – 1,5).

4. Побудувати графік функції у= 4х+ І 2х-6 І.

5. Розв'яжіть рівняння  4(а²х -1) = 9( а+х) відносно змінної х і вкажіть, при яких значеннях а рівняння має корені. (Відповідь:а, а-1,5)

6. Розв'язати рівняння:

І х-3І +І х-2 І – І х-4 І =3. (Відповідь: -2; 4.)

7. Порівняти :      і

8. Знайти усі натуральні значення п, при яких є цілим числом значення виразу  . (Відповідь: 1,2,4,8)

9. Знайти усі такі пари натуральних чисел а і в  для якої виконується рівність НСК(а;в) – НСД(а;в) =.( Відповідь: х=20, у=4)

10.Якою цифрою закінчується сума 54³⁵ +28²¹ ? ( Відповідь: 2.)

11. Знайти двоцифрове число, коли відомо, що сума його цифр 16, а при перестановці цифр число збільшується  на 18. (Відповідь: 79)

12.  А  В

 Е         С

  Д

У п'ятикутній зірці, що зображено на малюнку, < АСЕ= <АДБ і <ДБЕ= <ВЕС, ВД=СЕ. Довести , що <АСД= <АДС.

13.У середині трикутника АВС взято точку М, для якої кут МВА =30°, а кут МАВ = 10°. Знайти кут АМС, якщо кут АСВ=80° а АС=ВС. (Відповідь:70°)

1.Написавши підряд усі натуральні числа від 1 до 299, утворили число 123456789…297298299. Довести,що воно ділиться на 3.

2.Обчислити суму:

++ ,  якщо хуz=1

Відповідь: 1.

3.Учень задумав двоцифрове  число, в якого цифра десятків на 3   менша від цифри одиниць. Якщо це число поділити на суму його цифр, то в частці буде 4 і в остачі 6. Яке число задумав учень.

 Відповідь: 58.

4.У рівнобедрений трикутник  з кутом 120° при вершині і бічною стороною а вписано коло. Знайдіть радіус кола.

Відповідь: а( – 1,5).

5.Побудувати графік функції у= 4х+ І 2х-6 І.

6. Розкласти на множники: х¹⁰ +х⁵+1.

7.Розв'яжіть рівняння  4(а²х -1) = 9( а+х) відносно змінної х і вкажіть, при яких значеннях а рівняння має корені.

Відповідь:а, а-1,5

8.Доведіть,що сума чисел хуz+уzх +zху кратна 111.

9.Обчисліть:

(6+1)(6²+1) (6⁴+1)(6⁸+1)(6¹⁶+1) -0,2х6^32.

Відповідь:-0,2.

10.Якою цифрою закінчується сума 54³⁵ +28²¹ ?

Відповідь: 2.

11.Знайти двоцифрове число, коли відомо, що сума його цифр 16, а при перестановці цифр число збільшується  на 18.

Відповідь: 79.

12. Розв'язати систему рівнянь:

Х+У +Z+U =5

У+Z+U+Y=1

Z+U+Y+Х=2

U+Y+Х+У=0

Y+Х+У+Z=4

Відповідь: Х=2, У=1,Z =3, U=-1, Y=-2.

13.Розв'язати рівняння:

І х-3І +І х-2 І – І х-4 І =3.

Відповідь: -2; 4..

14.  А  В

 Е         С

  Д

У п'ятикутній зірці, що зображено на малюнку, < АСЕ= <АДБ і <ДБЕ= <ВЕС, ВД=СЕ. Довести , що <АСД= <АДС.

15. Порівняти :      і

16.Знайти усі натуральні значення п, при яких є цілим числом значення виразу  .

Відповідь: 1,2,4,8.

17.У середині трикутника АВС взято точку М,для якої кут МВА =30°, а кут МАВ = 10°. Знайти кут АМС, якщо кут АСВ=80° а АС=ВС.

Відповідь:70°

18. Попарно різні числа х,у , u , v задовольняють умову

= . Чому дорівнює сума х + у + u +v ?

Відповідь: 0.

19. Довести що:

- , де п –натуральне число, кратне 17.

20.Знайти усі такі пари натуральних чисел а і в  для якої виконується рівність НСК(а;в) – НСД(а;в) =.

Відповідь: х=20, у=4.