завдання для практичної роботи "Диференціальні рівняння"

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

Практичне заняття 

 

Розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними.

 

Мета. Засвоїти означення розв’язку диференціального рівняння та  означення диференціального рівняння з відокремлюваними змінними, навчитись відокремлювати змінні та розв’язувати рівняння з відокремлюваними змінними.

Теоретичні відомості

 

Рівняння, які пов’язують незалежну змінну, невідому функцію і її похідні або диференціали різних порядків, називаються диференціальними рівняннями. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить у це рівняння. Функція , яка задовольняє диференціальне рівняння, називається розв’язком цього рівняння. Графік розв’язку називається інтегральною кривою рівняння. Розв’язок диференціального рівняння, який містить скільки незалежних довільних сталих, що і порядок рівняння, називається загальним розв’язком цього рівняння. Для знаходження частинного розв’язку диференціального рівняння задаються початкові умови. Для рівняння першого порядку вони мають вигляд ; для рівняння другого порядку ; . За цими початковими умовами визначаються значення довільних сталих в загальному розв’язку рівняння, в результаті чого отримується частковий розв’язок, який задовольняє заданим початковим умовам.

 

Завдання  1

1. Які з наступних рівнянь є диференціальними:

а)    б) ;

в) ;    г)

д) ;    е) .

 

2. Визначте порядок наступних диференціальних рівнянь:

а)                                     б)

в) ;                                 г) .

 

3. Визначте, яка з указаних функцій є загальним розв’язком диференціального рівняння :

а) ;

 

 

 

б) ;

 

 

 

в) ;

 

 

г).

 

 

4. Розв’язати рівняння:

а)

 

 

 

б)

 

 

в)

 

 

 

г)

 

 

 

 

5. Розв’язати рівняння:

а)

 

 

 

 

б)

 

 

 

в)

Теоретичні відомості

 

Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними

 

Диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними має вигляд , поділивши всі члени рівняння на N1(y) M2(x)  - отримуємо рівняння , в якому змінні відокремлені. Загальний розв’язок рівняння знаходять почленним інтегруванням: .

 

Завдання  2

Знайдіть загальний розв’язок диференціального рівняння:

а)

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

 

Завдання  3

Знайти частковий розв’язок диференціального рівняння, який задовольняє вказаним початковим умовам:

а)

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Які основні поняття диференціального рівняння?
2. Як розв’язати диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними?
3. Як розв’язати диференціальні рівняння першого порядку?
4. Які основні формули лінійних диференціальних рівнянь І-го і ІІ-го порядків?