Завдання "Шкільної математичної олімпіади"

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 6 КЛАС

1. Чи можна подати число 91 у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких також дорівнює 91?

2. Вася склав куб з 27 кубиків, а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики, у яких були пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?

3. Петро і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі - два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники?

4. На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку?

5. На острові, населення якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть, знаходиться науково-дослідний інститут (НДІ). Кожний із його співробітників зробив одного разу дві заяви: а) в інституті немає і десятка людей, що працюють більше від мене; б) принаймні сто осіб в інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що навантаження у всіх працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в НДІ?

.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 7 КЛАС

1. Відновіть ребус КОКА+ КОЛА = ВОДА (однаковим буквам

відповідають однакові цифри, різним буквам - різні цифри).

2. Вася задумав три різні ненульові цифри. Петро записав всі дев'ятьможливих двозначних чисел, у десятковому записі якихвикористовувалися тільки ці цифри. Сума записаних чисел дорівнює 231.Знайдіть цифри, задумані Василем.

3. Знайдіть найменше складене число, яке не ділиться на жодне із натуральних чисел від 2 до 10.

4 . Вовк запросив до себе в гості трьох поросят і Червону Шапочку дивитися мультики. Після перегляду Вовк перерахував кекси на кухні і заявив, щодвох не вистачає. Як Вовку за два зважування визначити, хто з'їв кекси? Всікекси важать однаково, всі поросята (принаймні, коли вони тільки

прийшли в гості) - теж. Також відомо, що Червона Шапочка на дієті, томумогла з'їсти не більше 1 кексу.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 8 КЛАС

1. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

2. Є лист паперу в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменшечисло клітин так, щоб для будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по стороні. Доведіть, що менше

число клітин зафарбувати не можна.

3. На острові проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар(завжди говорить правду), або брехун (завжди бреше). Одного разувсі жителі острова розбилися на пари, і кожен про свого напарника

сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?

4. ABCD - квадрат, AD = ВЕ = СЕ. Знайдіть кут AED.

5. Є числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за кілька таких операцій зробити всі числа рівними?

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 9 КЛАС

1. Ціна квитка на стадіон була 200 грн. Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квиток

на стадіон після зниження ціни?

2. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це числоабо закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21».Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.

3. Знайдіть всі цілі n, при яких число 30 5 10 4 2 n n буде точним квадратом.

Відповідь. Розв’язків немає.

Розв’язання: З рівняння 4 2 2 5 6n n 2 m випливає, що m є степенем числа 5. Однак 6 2 4 2 n n на 5 не ділиться ні за яких n , так як 4 n при діленні на 5 дає остачі 0 або 1, а 2 n при діленні на 5 дає остачі 0, 1 або 4.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Правильна відповідь і зауваження, що квадрат числа повинен ділитися на 5-2 бали. Можливі подальші просування в розв’язанні, які слід оцінювати.

4. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 120 . З середини основи опущено перпендикуляр на бічну сторону. В якому відношенні основа перпендикуляра ділить бічну сторону?

Відповідь. 3: 1, рахуючи від вершини основи.

Розв’язання. Нехай у трикутнику АВС АВ = АС, тоді ВАС = 120 . Позначимо: М - середину ВС, K - основаперпендикуляра, опущеного з точки М на сторону ВС. Так як АМK = АВМ = 30 ,

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал.

5. У бригаді 101 кабан. Всі вони ходять на город групами їсти картоплю,причому кожні двоє ходили на город разом рівно по разу, однак вся бригада за один раз на картоплю не ходила. Доведіть, що один з

кабанчиків брав участь не менше, ніж у 11 походах за картоплею.

Розв’язання. Нехай в деякому поході беруть участь не менше 11кабанчиків. Тоді будь-який з кабанчиків, що не брали участі у цьому поході, сходить за картоплею не менше 11 разів з кожним з учасників.Якщо ж у кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків, то будь-який кабанчик брав участь не менш, ніж у 11 походах, так як він повинен сходити разом з кожним із 100 інших кабанчиків.

Коментар. Доведення твердження задачі для випадку, коли в поході беруть участь не менше 11 кабанчиків, оцінюється в 3 бали. Розгляд випадку, коли в кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків - 3 бали.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 6 КЛАС

1. Чи можна подати число 91 у вигляді суми кількох натуральних чисел, добуток яких також дорівнює 91?

Відповідь: так.

Розв’язання. Можна взяти числа 13 і 7 та сімдесят одну одиницю. І їх добуток, і їх сума рівні 91.

Коментар. Приклад - 7 балів.

2. Вася склав куб з 27 кубиків, а потім пофарбував його поверхню в синій колір. Потім Петро забрав всі кубики, у яких були пофарбовані хоча б дві грані. Скільки кубиків взяв собі Петро?

Відповідь: 20.

Розв’язання. З 27 кубиків виходить куб 3 × 3 × 3. Вуглові кубики пофарбовані з трьох сторін (їх 8 штук), кубики, які знаходяться на ребрах, але не в вершинах, пофарбовані з двох сторін (їх 12 штук - по одному на кожному ребрі). Решта кубики пофарбовані з одного боку (знаходяться всередині межі) або не пофарбовані зовсім (центральний кубик). Отже, Петро взяв 8 +12 = 20 кубиків.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал.

3. Петро і Вася розрізали два однакових прямокутника. У Петра вийшло два прямокутники з периметром 40 см кожен, а у Васі - два прямокутники з периметром 50 см кожен. Який периметр мали початкові прямокутники?

Відповідь: 60 см.

Розв’язання. Якщо сторони вихідного прямокутника a і b, то у Петра вийшли периметри, рівні 2a+ b = 40, а у Васі - рівні a +2b = 50. Тоді 3a +3b = 40+ 50 = =90. Звідки 2a+ 2b = 60 - периметри вихідних прямокутників.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Якщо складені рівняння - 2 бали.

Відповідь - 1 бал.

4. На прямій відмітили кілька точок. Після цього між кожними двома сусідніми точками поставили ще по точці. Таку операцію виконали кілька разів (може бути один раз). В результаті на прямий виявилося 65 точок. Скільки точок могло бути на прямій спочатку?

Відповідь: 2, 3, 5, 9, 17, 33 точок.

Розв’язання. Зауважимо, що коли на прямий відмічено k точок, то проміжків між ними буде k - 1, і якщо у кожний такий проміжок поставити по точці, то всього точок стане

k + (k - 1) = 2k - 1. Тому якщо точок стало 2k - 1 = 65, то перед останньою операцією їх було k = 33. Аналогічно знаходимо, що до цього їх було 17, потім - 9, 5, 3 і 2. Процес міг починатися з будь-якого з етапів.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Тільки відповідь - 1 бал. При втраті випадків кількість балів від 2 до 6.

5. На острові, населення якого становлять тільки лицарі, що говорять правду, і брехуни, які завжди брешуть, знаходиться науково-дослідний інститут (НДІ). Кожний із його співробітників зробив одного разу дві заяви: а) в інституті немає і десятка людей, що працюють більше від мене; б) принаймні сто осіб в інституті отримують зарплату більшу, ніж моя. Відомо, що навантаження у всіх працівників різне, як і зарплата. Скільки людей працює в НДІ?

Відповідь: 110 осіб.

Розв’язання. Розглянемо співробітника, який працює більше всіх інших. Тоді першою заяві він не збрехав, тобто він - лицар. Але тоді і друга його заява - правда, отже, знайдуться 100 чоловік в інституті, які отримують більше нього. Бачимо, що з одного боку перші 10 співробітників, які працюють більше, ніж інші - лицарі, а решта - брехуни. З іншого боку, 100 співробітників, які отримують більше за інших - брехуни, а решта - лицарі. Тому всього лицарів і брехунів 110.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал. Обчислення кількості лицарів або кількості брехунів - 3 бали.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 7 КЛАС

1. Відновіть ребус КОКА+ КОЛА = ВОДА (однаковим буквам

відповідають однакові цифри, різним буквам - різні цифри).

Відповідь: 3930 3980 = 7910.

Розв’язання. Очевидно, що А = 0. Тоді О ≠ 0,отже, О = 9. Тоді К +К +1 = В.

Можливі варіанти

1) К = 1, В = 3, 2) К = 2, В = 5, 3) К = 3, В = 7. К+ Л = 10+ Д (1 переходить в наступний розряд). Перший варіант не підходить, тому що інакше Л =9, тоді Л співпадає з О. Другий варіант не підходить, оскільки інакше Л= 8 (тоді Д = 0 та А = 0) або Л = 9 (тоді Л збігається з О). У третьому

випадку Л = 7, Л = 8, Л = 9. Якщо Л = 7, то Д = 0 і А = 0. Якщо Л = 9, тоЛ збігається з О. Отже, Л = 8, Д = 1.

Коментар. Повне рішення - 7 балів. Відповідь - 1 бал. Часткові просування або

помилки оцінюються в залежності від їх величини та значущості.

2. Вася задумав три різні ненульові цифри. Петро записав всі дев'ятьможливих двозначних чисел, у десятковому записі якихвикористовувалися тільки ці цифри. Сума записаних чисел дорівнює 231.Знайдіть цифри, задумані Василем.

Відповідь: 1, 2 і 4.

Розв’язання. Нехай a, b, c - задумані цифри. Кожна задумана цифра вкожному розряді використовувалася по три рази. Отже, сума записаних чисел дорівнює 310a b c3a b c. Звідси a+b+c = 7. Будемо вважати,що a <b <c. Тоді a = 1 (так як навіть 2+ 3+ 4> 7), і b+c = 6. Цій рівності задовольняє тільки одна пара різних цифр, серед яких немає 1, b = 2, c = 4.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал. Якщо доведено, що a+b+c =7 - 3 бали. Якщо разом із цим доведенням подано правильну відповідьбез обґрунтування - 4 бали.

3. Знайдіть найменше складене число, яке не ділиться на жодне із натуральних чисел від 2 до 10.

Відповідь: 121.

Розв’язання. Оскільки число складене, то його можна розкласти на два множники, більших від 1. Так як воно не ділиться на жодне натуральнее число від 2 до 10, то обидва множники не менші 11, а саме число не менше 121. Залишилось зауважити, що 121 не ділиться ні на одне натуральне число від 2 до 10.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 1 бал. Якщо при правильних міркуваннях отримали число 132 – 4 бали.

4 . Вовк запросив до себе в гості трьох поросят і Червону Шапочку дивитися мультики. Після перегляду Вовк перерахував кекси на кухні і заявив, щодвох не вистачає. Як Вовку за два зважування визначити, хто з'їв кекси? Всікекси важать однаково, всі поросята (принаймні, коли вони тільки

прийшли в гості) - теж. Також відомо, що Червона Шапочка на дієті, томумогла з'їсти не більше 1 кексу.

Розв’язання. Очевидно, що іще залишився хоча б один кекс.

Зважуємо двох поросят.

а) Якщо П1 = П2, то можливі випадки:

1) П1 і П2 з'їли по 1 кексу. 2) П3 з'їв 2 кекси. 3) П3 і ЧШ з'їли по 1 кексу.

Друге зважування: порівнюємо П1 + Кекс і П3. Якщо П1+ К> П3, то 1 випадок, якщо П1 + К = П3, то 3 випадок, якщо П1+ К <П3, то 2 випадок.

б) Якщо П1> П2, то можливі випадки:

1) П1 і П3 з'їли по 1 кексу. 2) П1 з'їв 2 кекси. 3) П1 і ЧШ з'їли по 1 кексу.

Друге зважування: порівнюємо П1 і П3 + К. Якщо П1> П3 +К, то 2 випадок, якщо

П1 = П3 +К, то 3 випадок, якщо П1 <П3 +К, то 1 випадок.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Часткові просування або помилки оцінюються в залежності від їх величини та значущості. Якщо перебрано не всі варіанти, оцінка не може бути більшою за 3 бали.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 8 КЛАС

1. Доведіть, що добуток трьох послідовних натуральних чисел, складений з другим із них, є кубом другого числа.

Розв’язання. Нехай друге число х. Тоді 11. 3 3 x x x x x x x x Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Складання правильного алгебраїчноговиразу за відсутності подальших просувань або наявність помилки в перетвореннях - 3 бали. Отримання результату 3 3 1 3 2 x x x без подальших просувань - 4 бали.

2. Є лист паперу в клітинку і олівці 6 кольорів. Зафарбуйте найменшечисло клітин так, щоб для будь-яких двох кольорів знайшлося дві клітини цих кольорів, що граничать по стороні. Доведіть, що менше

число клітин зафарбувати не можна.

Відповідь: 12 клітин.

Розв’язання. З умови випливає, що існують клітини кожного кольору.Якщо якогось кольору буде тільки одна клітина, то в неї має бути 5різнокольорових сусідів, що неможливо. Отже, кожного кольору хоча б по дві клітини, а всього - не менше 12 клітин. Приклад (не єдиний).

1 2 3 4

3 4 5 6

6 1 5 2

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Лише оцінка або лише приклад - 3бали.

Відповідь - 1 бал.

3. На острові проживають 2010 мешканців, кожен з яких або лицар(завжди говорить правду), або брехун (завжди бреше). Одного разувсі жителі острова розбилися на пари, і кожен про свого напарника

сказав одну із фраз: «він лицар» або «він брехун». Чи могло виявитися так, що тих і інших фраз було виголошено порівну?

Відповідь: ні.

Розв’язання. Якщо в парі стоять два лицарі або два брехуни, то вони один про одного скажуть «він лицар». Якщо в парі стоять лицар і брехун, то вони обидва скажуть «він брехун». Таким чином, кожна фраза виголошена парне число разів. Якби цих фраз було порівну, то кожна фраза пролунала

б по 2010: 2 = 1005 разів.

А це число непарне.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Відповідь - 0 балів. Якщо доведено одне з тверджень про пари лицар-лицар або брехун-брехун або брехун-лицар – 1 бал за кожне. Всі твердження разом - 3 бали.

4. ABCD - квадрат, AD = ВЕ = СЕ. Знайдіть кут AED.

Відповідь: 30 °, 150 °.

Розв’язання. Трикутник ВСЕ - рівносторонній. Можливі два випадки його розташування - усередині квадрата і зовні. У першому випадку кут АВЕ = 90 °+60 ° = 150 °,кут ВАЕ = ВЕА = 15 °, ЕАD = EDA = 90 ° - 15 ° = 75 °, AED = 180 ° - 2 · 75 ° ==30 °.

В другому випадку кут АВЕ = 90 ° - 60 ° = 30 °, кут ВАЕ = ВЕА = 75 °, ЕАD =EDA ==90 ° - 75 ° = 15 °, AED = 180 ° - 2 · 15 ° = 150 °.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Якщо розглянуто один випадок - 3бали. Якщо наведено тільки відповідь (обидва випадки) - 1 бал. Якщо одну правильну відповіді – 0 балів.

5. Є числа 1, 2, 4, 6. Дозволяється вибрати будь-які два з наявних чисел і помножити їх на одне і те ж натуральне число. Чи можна за кілька таких операцій зробити всі числа рівними?

Відповідь: ні.

Розв’язання: Розглянемо добуток даних чисел. Спочатку він дорівнює 48.Зауважимо, що число 48 не є квадратом натурального числа. Якщо якісь два з даних чисел множаться на деяке натуральне число n, добуток даних чисел множиться на 2 n . Отже, якщо воно не було квадратом натурального числа, воно їм і не стане. Але якщо всі наявні числа стануть рівними між собою, то їх добуток буде квадратом. Тому, такими операціями не можнавирівняти наявні числа.

Коментар. Повне розв’язання - 7 балів. Часткові просування або помилки оцінюються в залежності від їх величини та значущості.

ШКІЛЬНА МАТЕМАТИЧНА ОЛІМПІАДА 9 КЛАС

1. Ціна квитка на стадіон була 200 грн. Після зниження цін на квитки, кількість глядачів на стадіоні збільшилася на 50%, а виручка з проданих квитків збільшилася на 14%. Скільки став коштувати квиток

на стадіон після зниження ціни?

Відповідь. 152.

Розв’язання. Нехай х - кількість глядачів до зниження ціни, а у - нова ціна квитка. За умовою задачі 1,14 • 200х = 1,5 xy. Звідси у = 152.

Коментар. Правильна відповідь без жодного обґрунтування оцінюється в 1 бал.Правильно записане рівняння, але з помилкою в подальшому розв’язанні - 4бали.

2. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це числоабо закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21».Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі.

Відповідь. 84.

Розв’язання: Припустимо, що це число закінчується на 5. Тоді воно не можезакінчуватись на 9, а тому, більше 20. Так як ціле число, більше 20, не може бути менше 21, і шукане число ділиться на 12. Але число, що ділиться на 12, парне, і тому не може закінчуватися на 5. Протиріччя.Отже, шукане число ділиться на 7. Єдине двозначне число, що ділиться на7 і закінчується на 9 - це 49. Але число 49 не ділиться на 12 і більше 21.Протиріччя. Тому шукане число більше 20 і ділиться на 12. Єдине двозначне число, що ділиться на 7 і 12 - це 84.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Відповідь з перевіркою того, що він підходить - 2 бали. Якщо для кожного твердження виписані числа, які підходять для них, а потім з незрозумілих причин обрано правильну відповідь, то ставиться 3 бали. При правильній структурі перебору, але з помилкою, що вплинула на хід розв'язання, - 3 бали. Неправильне розуміння умови (тобто логічних зв'язків) - 0 балів.

3. Знайдіть всі цілі n, при яких число 30 5 10 4 2 n n буде точним квадратом.

Відповідь. Розв’язків немає.

Розв’язання: З рівняння 4 2 2 5 6n n 2 m випливає, що m є степенем числа 5. Однак 6 2 4 2 n n на 5 не ділиться ні за яких n , так як 4 n при діленні на 5 дає остачі 0 або 1, а 2 n при діленні на 5 дає остачі 0, 1 або 4.

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал. Правильна відповідь і зауваження, що квадрат числа повинен ділитися на 5-2 бали. Можливі подальші просування в розв’язанні, які слід оцінювати.

4. Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 120 . З середини основи опущено перпендикуляр на бічну сторону. В якому відношенні основа перпендикуляра ділить бічну сторону?

Відповідь. 3: 1, рахуючи від вершини основи.

Розв’язання. Нехай у трикутнику АВС АВ = АС, тоді ВАС = 120 . Позначимо: М - середину ВС, K - основаперпендикуляра, опущеного з точки М на сторону ВС. Так як АМK = АВМ = 30 ,

Коментар. Відповідь без обґрунтування оцінюється в 1 бал.

5. У бригаді 101 кабан. Всі вони ходять на город групами їсти картоплю,причому кожні двоє ходили на город разом рівно по разу, однак вся бригада за один раз на картоплю не ходила. Доведіть, що один з

кабанчиків брав участь не менше, ніж у 11 походах за картоплею.

Розв’язання. Нехай в деякому поході беруть участь не менше 11кабанчиків. Тоді будь-який з кабанчиків, що не брали участі у цьому поході, сходить за картоплею не менше 11 разів з кожним з учасників.Якщо ж у кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків, то будь-який кабанчик брав участь не менш, ніж у 11 походах, так як він повинен сходити разом з кожним із 100 інших кабанчиків.

Коментар. Доведення твердження задачі для випадку, коли в поході беруть участь не менше 11 кабанчиків, оцінюється в 3 бали. Розгляд випадку, коли в кожний похід ходило не більше 10 кабанчиків - 3 бали.