Збірник олімпіадних задач з математики для учнів 6 класу. Частина 5. Геометричні задачі

Геометричні задачі

1. Чи існує прямокутник, довжини сторін якого виражені натуральними числами в сантиметрах, причому одна з них на см довша за іншу, і площа якого дорівнює см²?

2. Накресліть шестикутник, дві пари сторін якого паралельні, а дві інші сторони лежать на одній прямій.

3. Зобразіть на координатній площині всі точки такі, що: , .

4. Де лежать точки на координатній площині, координати яких задовольняють умову:

а) і ;

б) і ;

в) і ?

5. На відрізку дано точок: , , … , . Від якої точки сума відстаней до всіх інших точок буде найменшою?

6. На відрізку дано непарне число точок. Від якої точки сума відстаней до всіх інших точок буде найменшою?

7. На відрізку дано парне число точок. Від якої точки сума відстаней до всіх інших точок буде найменшою?

8. Поле має форму паралелограма, основа якого м, а висота – м. Через це поле під прямим кутом до основи проходить шосе шириною м. Визначити площу поля, що залишилось.

9. Прямокутник і паралелограм мають однакові основи і площі. Що можна сказати про їх периметри?

10. Аркуш паперу, що має форму прямокутника довжиною см і шириною см, розрізали на найбільші з можливих квадратів. Скільки можна вирізати таких квадратів?

11. Прямокутний паралелепіпед, що має довжину см, ширину см і висоту см, розрізали на однакові найбільші куби. Скільки буде таких кубів?

12. Триметрову колоду розпиляли на рівних частин, а чотириметрове – на . Частини якої колоди довші? Скільки розпилів потрібно зробити в кожному випадку?

13. За хв колоду розпиляли на півметрові частини, причому на кожний розпил пішла хв. Знайти довжину колоди.

14. Зобразити на координатній площині всі точки такі, що: , .

15. Зобразити на координатній площині всі точки такі, що: , .

16. Відмітьте на координатній прямій точки, координати яких являються розв’язками нерівностей:

а) ; б) ; в) .

17. м³ розрізали на кубічні сантиметри і поклали щільно друг на друга в один ряд. Якої довжини буде мати такий ряд?

18. Зобразити на координатній площині всі точки такі, що: , .

19. У крузі з центром позначили точку . Як розрізати цей круг на:

а) три частини;

б) дві частини так, щоб з них можна було скласти новий круг, у якому позначена точка була б його центром?

20. Скільки всього різних незамкнених ламаних можна побудувати з вершинами в точках , , , ?

21. Скільки всього різних замкнених ламаних можна побудувати з вершинами в точках , , , ?

22. На координатній прямій позначили точки і . Яку координату повинна мати точка , щоб відрізок був у рази довший за відрізок ? Скільки розв’язків має задача?

23. Основою прямокутного паралелепіпеда являється квадрат з довжиною сторони дм. Знайти висоту паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює дм³.

24. Складіть з сірників рівносторонніх трикутники, сторона кожного з яких дорівнює довжині сірника.

25. Якими способами можна розділити рівних відрізки на рівні частини? рівних відрізків на рівні частини?

26. Накреслити відрізок, подовжити його на його довжини. На яку частину отриманого відрізка потрібно його зменшити для того, щоб отримати початковий відрізок?

27. Як накреслити відрізок, довжина якого складає довжини даного відрізку?

28. Мотузку розрізали на два куски, причому довжина одного з них складає довжини іншого. Яку частину всієї мотузки складає кожен з кусків?

29. Аркуш паперу розрізали на або на частин. Далі деякі з частин також розрізали на , а деякі – на частин. Чи можна, розрізаючи таким способом, отримати частини з цього аркуша?

30. В басейні з горизонтальним дном площею га міститься л води. Чи можна в цьому басейні проводити змагання з плавання?

31. Чи існує рівнобедрений трикутник, усередині якого можна розмістити інший рівнобедрений трикутник з такими самими бічними сторонами?

32. Зобразити відрізок . Відмітити на ньому точки і так, щоб відрізок складав , а відрізок – відрізка . Яку частину відрізків , , , і складає відрізок ?

33. Після того як сім разів використали під час прання кусок мила, його довжина, ширина і висота зменшилися вдвічі. Скільки разів можна використати під час прання кусок мила, що залишився?

34. Якої величини кут утворює годинна і хвилинна стрілки, коли годинник показує год хв?

35. Точка з координатою рухається по числовій осі так: спочатку одиниць у додатньому напрямі, потім одиниць у від’ємному, знову одиниць у додатньому і одиниць у від’ємному, потім одиниці у від’ємному і, нарешті, одиниць у додатньому напрямі. Визнач кінцеве положення точки на числовій осі.