Збірник задач з математики для підготовки учнів 9 класів до виконання четвертої частини державної підсумкової атестації

Передмова

В наш час середня шкільна освіта в Україні передбачає обов’язкове отримання учнями систематизованих знань в галузі математики. Разом з тим, необхідність шкільної математичної, яка допоможе випускникам правильно орієнтуватися в житті сучасного суспільства і зробити правильний вибір життєвого шляху з урахуванням власних вподобань і особливостей характеру, настільки очевидна, що вимагає вміння орієнтуватися в питаннях, пов’язаних з математичними задачами як під час співіснування в суспільстві, так і в побуті.

Досвід показує, що таке навчання потрібне із застосуванням всіх наявних раціональних засобів для оволодіння програмним матеріалом математичними прийомами. Проте аналіз навчальної літератури підводить до висновку, що нині загальноосвітні навчальні заклади в Україні не в повній мірі забезпечені потрібними дидактичними матеріалами.

Даний посібник, який за своїм форматом є збірником задач, покликаний забезпечити дидактичним матеріалом учнів 9 класів на уроках математики під час розв’язування задач з математики підвищеного рівня складності, які містяться, у завданнях для державної підсумкової атестації та є у програмі для зовнішнього незалежного оцінювання школярів. Бажаним є використання цього видання для факультативних курсів за вибором вчителями математики у загальноосвітніх навчальних закладах. Основною метою даного посібника автор бачить у сприянні якісної підготовки здібних учнів до участі у предметних олімпіадах, конкурсах та при підготовці робіт слухачами Малої академії наук України.

Використання даного посібника має, перш за все, індивідуальну спрямованість, тобто його використання доцільне для конкретних учнів класу, які виявили здібності до вивчення математики. Збірник структурований як за навчальною програмою, затвердженою Міністерством освіти і науки України, так і за характером завдань: від завдань, що відповідають високому рівню навчальних досягнень, до задач для математичних гуртків і факультативів. Цінністю даного посібника також є те, що він містить відповіді до переважної більшості завдань, запропонованих до розв’язання. Збірник містить ряд задач, які певним чином є аналогічними до раніше розв’язаних, що може бути використано вчителем для запропонування учням опрацювання домашнього завдання.

Автор сподівається, що даний посібник допоможе учням виявити інтерес до вивчення математики за допомогою розв’язування задач підвищеного рівня складності.

Зразок виконання завдань четвертої частини державної

підсумкової атестації з алгебри

Приклад 1. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Рівняння рівносильне системі

Розв’язуючи рівняння, матимемо:

;

; .

Рівняння, що задано в умові, має єдиний розв’язок в одному з таких випадків:

1) , ;

2) , ;

3) , .

Розглянемо ці випадки по черзі.

1) ; . У цьому випадку . Отже, задовольняє умову задачі.

2) звідки .

3) звідки .

Відповідь: ; ; .

Приклад 2. Знайдіть усі значення параметра , при яких розв’язок системи нерівностей містить рівно два цілих числа.

Розв’язання. Розв’язком першої нерівності системи є проміжок , зображений на рисунку.

Розв’язком другої нерівності є проміжок . Для того, щоб переріз цих множин містив рівно два цілих числа, має виконуватись нерівність .

Відповідь: .

Приклад 3. Доведіть нерівність , де і – довільні додатні числа.

Розв’язання. Скориставшись нерівністю Коші для двох додатних чисел, маємо:

; .

Перемноживши відповідно ліві та праві частини записаних нерівностей, отримаємо:

, що й треба було довести.

Приклад 4. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні виконується нерівність .

Розв’язання. Скористаємось методом математичної індукції. При маємо . Тобто базу індукції доведено. Нехай для натурального виконується нерівність . Тоді виконується нерівність . Крім того, при маємо . Отже, , що й доводить індуктивний перехід.

 

Перетворення алгебраїчних виразів

1. Розкладіть многочлен на лінійні множники.

2. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні дріб є нескоротним.

3. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні дріб є нескоротним.

4. При яких натуральних значеннях значення виразу є простим числом?

5. Знайдіть усі натуральні значення , при яких значення виразу є простим числом.

6. Знайдіть усі прості числа такі, що числа і також є простими.

7. Числа і є простими. Знайдіть число .

8. Доведіть, що при всіх цілих значення виразу є квадратом цілого числа.

9. Доведіть, що при всіх цілих значення виразу є квадратом цілого числа.

10. Доведіть, що для будь-якого натурального значення виразу є натуральним числом.

11. Доведіть, що для будь-якого цілого виконується рівність .

12. Знайдіть найбільше значення виразу .

13. Додатні числа і такі, що . Знайдіть найбільше значення виразу .

14. Додатні числа і такі, що . Знайдіть найбільше значення виразу .

15. Про додатні числа і відомо, що . Знайдіть значення виразу .

16. Про додатні числа і відомо, що . Знайдіть значення виразу .

17. Доведіть, що коли , то .

18. Спростіть вираз .

19. Спростіть вираз .

20. Доведіть, що значення виразу є цілим числом.

21. Доведіть, що значення виразу є цілим числом.

22. Спростіть вираз і обчисліть його значення, якщо .

23. Обчисліть значення виразу , якщо .

24. Середнє арифметичне двох додатних чисел і у разів більше за їх середнє арифметичне. Доведіть, що .

25. Спростіть вираз .

26. Спростіть вираз .

27. Знайдіть остачу від ділення числа на число .

28. Число подайте у вигляді різниці кубів двох натуральних чисел. Доведіть, що таке подання єдине.

 

Кратність та подільність виразів

29. Відомо, що ціле число не кратне . Доведіть, що значення виразу кратне .

30. Доведіть, що при будь-якому натуральному значення виразу кратне .

31. Доведіть, що при будь-якому натуральному значення виразу кратне .

32. Відомо, що ціле число не кратне . Доведіть, що значення виразу кратне .

33. Доведіть, що при будь-якому натуральному значення виразу кратне .

34. Доведіть, що при всіх натуральних значеннях значення виразу кратне .

35. Доведіть, що при всіх натуральних значеннях значення виразу кратне .

36. Доведіть, що при будь-якому натуральному значення виразу кратне .

37. Доведіть, що для будь-якого натурального значення виразу кратне .

 

Властивості функції

38. Знайдіть усі значення параметра , при яких функція визначена на множині дійсних чисел.

39. Знайдіть усі значення параметра , при яких функція визначена на множині дійсних чисел.

40. Знайдіть усі значення параметра , при яких функція є непарною.

41. Знайдіть усі значення параметра , при яких функція є парною.

 

 

 

Побудова графіків функцій, рівнянь та нерівностей

42. Побудуйте графік функції .

43. Побудуйте графік функції .

44. Побудуйте графік рівняння .

45. Побудуйте графік рівняння .

46. Побудуйте графік рівняння .

47. Побудуйте графік рівняння .

48. Побудуйте графік рівняння .

49. Побудуйте графік рівняння .

50. Побудуйте графік рівняння .

51. Побудуйте графік рівняння .

52. Побудуйте графік рівняння .

53. Побудуйте графік рівняння .

54. Побудуйте графік рівняння .

55. Побудуйте графік рівняння .

56. Побудуйте графік рівняння .

57. Побудуйте графік нерівності .

58. Побудуйте графік нерівності .

 

Побудова на координатній площині рівнянь, нерівностей та їх систем

59. Побудуйте на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють рівність .

60. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють рівність .

61. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють рівність .

62. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівність .

63. Зобразіть на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівність .

64. Побудуйте на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівність .

65. Побудуйте на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють систему нерівностей

66. Побудуйте на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють систему нерівностей

67. Побудуйте на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють систему нерівностей

 

Елементи комбінаторики та теорії ймовірностей

68. У класі навчається учнів, а у – учні. Для участі в шкільній конференції кожний клас делегує трьох учнів. Скільки існує способів сформувати делегацію від цих дев’ятих класів?

69. У класі навчається учнів. Для вивчення іноземної мови їх треба розбити на три групи по учнів. Скількома способами це можна зробити?

70. У шаховій секції займаються хлопців і дівчат. Скількома способами можна скласти команду з учнів так, щоб до цієї команди входило п’ять хлопців і дві дівчини?

71. Є різних квіток. Скільки існує способів скласти з них букет з квіток або з квіток?

72. Прямі і паралельні. На прямій позначили точок , а на прямій – точок . Скільки існує чотирикутників з вершинами в позначених точках?

73. Скільки існує чотирицифрових чисел, усі цифри яких мають однакову парність?

74. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр , , , , , , ?

75. Скільки трицифрових парних чисел можна записати за допомогою цифр , , , , , , , , ?

76. Скільки чотирицифрових непарних чисел можна записати за допомогою цифр , , , , , , , , ?

77. Скільки непарних семицифрових чисел можна записати за допомогою цифр , , , , , , так, щоб у кожному числі цифри були різними?

78. Дослід полягає в одночасному киданні трьох гральних кубиків. Знайдіть ймовірність того, що випадуть дві трійки і одна двійка.

79. Дослід полягає в одночасному киданні гральних кубиків. Знайдіть ймовірність того, що випадуть різні цифри.

80. Для лотереї підготували білетів, з яких є виграшними. Яка ймовірність того, що з трьох навмання вибраних білетів усі виявляться виграшними?

81. У ящику лежать жовтих і синіх куль. Яка ймовірність того, що з вибраних навмання восьми куль п’ять будуть жовтими?

82. У ящику знаходяться жовтих і синіх куль. Яка ймовірність того, що три навмання вибрані кулі будуть жовтими?

83. У ящику лежать білих і чорних кульок. Яка ймовірність того, що серед трьох навмання обраних кульок буде білі і чорна?

 

Рівняння

84. Розв’яжіть рівняння .

85. Розв’яжіть рівняння .

86. Розв’яжіть рівняння .

87. Розв’яжіть рівняння .

88. Розв’яжіть рівняння .

89. Розв’яжіть рівняння .

90. Розв’яжіть рівняння .

91. Розв’яжіть рівняння .

92. Розв’яжіть рівняння .

93. Розв’яжіть рівняння .

94. Розв’яжіть рівняння .

95. Розв’яжіть рівняння .

96. Розв’яжіть рівняння .

97. Розв’яжіть рівняння .

98. Розв’яжіть рівняння .

99. Розв’яжіть рівняння .

100. Розв’яжіть рівняння .

101. Розв’яжіть рівняння .

102. Розв’яжіть рівняння .

103. Розв’яжіть рівняння .

104. Розв’яжіть рівняння .

105. Розв’яжіть рівняння .

106. Розв’яжіть рівняння .

107. Розв’яжіть рівняння .

108. Розв’яжіть рівняння .

109. Розв’яжіть рівняння .

110. Розв’яжіть рівняння .

111. Розв’яжіть рівняння .

 

Теорема Вієта

112. Відомо, що і – корені рівняння . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу .

113. Відомо, що і – корені рівняння . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу .

114. Відомо, що і – корені рівняння . Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу .

115. Доведіть, що коли і – корені рівняння , а і – корені рівняння , то .

116. Числа і – корені рівняння . Знайдіть значення , при яких виконується рівність .

117. Відомо, що і – корені рівняння . Знайдіть значення , при яких виконується рівність .

 

Рівняння з параметрами

118. При яких значеннях параметра має розв’язки рівняння ?

119. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння дорівнює ?

120. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння дорівнює ?

121. Знайдіть усі значення параметра , при яких сума коренів рівняння дорівнює .

122. Знайдіть усі значення параметра , при яких сума коренів рівняння дорівнює .

123. Знайдіть усі значення параметра , при яких сума коренів рівняння дорівнює .

124. При яких значеннях параметра один з коренів рівняння утричі більший за другий?

125. При яких значеннях параметра рівняння має корені різного знаку?

126. При яких значеннях параметра рівняння має корені різного знаку?

127. При яких значеннях параметра корені рівняння є додатними числами?

128. При яких значеннях параметра корені рівняння є від’ємними числами?

129. Доведіть, що рівняння має хоча б один корінь при будь-яких дійсних значеннях і .

130. При яких значеннях параметра обидва корені рівняння належать проміжку ?

131. При яких значеннях параметра рівняння має рівно два різних корені?

132. При яких значеннях параметра рівняння має три корені?

133. При яких значеннях параметра рівняння має три корені?

134. Скільки розв’язків має рівняння залежно від значення параметра ?

135. Скільки розв’язків має рівняння залежно від значення параметра ?

136. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

137. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

138. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь?

139. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

140. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь?

141. Для кожного значення параметра розв’яжіть нерівність .

142. Для кожного значення параметра розв’яжіть нерівність .

143. Для кожного значення параметра розв’яжіть нерівність .

144. Визначте кількість розв’язків рівняння залежно від значення параметра .

145. Визначте кількість розв’язків рівняння залежно від значення параметра .

146. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

147. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

148. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра ?

149. Скільки коренів має рівняння залежно від значення параметра ?

150. Визначте кількість коренів рівняння залежно від значення параметра .

151. Визначте кількість коренів рівняння залежно від значення параметра .

152. Скільки розв’язків залежно від значення параметра має рівняння ?

153. Скільки розв’язків залежно від значення параметра має рівняння .

154. При яких значеннях параметра множиною коренів рівняння є числовий відрізок, довжина якого дорівнює ?

155. При яких значеннях параметра множиною розв’язків рівняння є числовий відрізок, довжина якого дорівнює ?

156. При яких значеннях параметра рівняння має шість розв’язків?

157. Знайдіть усі значення параметра , при яких рівняння має безліч розв’язків.

158. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

159. При яких значеннях параметра рівняння не має коренів?

160. При яких значеннях параметра рівняння має один розв’язок?

161. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

162. При яких значеннях параметра рівняння має один розв’язок?

163. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

164. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

165. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь?

166. При яких значеннях параметра рівняння має три розв’язки?

167. При яких значеннях параметра рівняння має три розв’язки?

168. При яких значеннях параметра рівняння має два різних додатних корені?

169. При яких значеннях параметра рівняння має два різних від’ємних корені?

170. При яких раціональних значеннях параметрів і один із коренів рівняння дорівнює ?

171. При яких раціональних значеннях параметрів і один із коренів рівняння дорівнює ?

172. Для кожного значення параметра вкажіть кількість коренів рівняння .

173. Для кожного значення параметра з’ясуйте кількість коренів рівняння .

174. Знайдіть усі значення параметра , при яких рівняння має три корені.

175. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

176. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

177. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

178. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

179. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

180. Для кожного значення параметра розв’яжіть рівняння .

181. При яких значеннях параметра рівняння має три різних корені?

182. При яких значеннях параметра рівняння має три різних корені?

183. При яких значеннях параметра рівняння має три дійсних корені, які утворюють геометричну прогресію?метра ї трапеції, описаної навколо кола, дорівнює добутку її основ.ю

184. При яких значеннях параметра рівняння має три дійсних корені, які утворюють геометричну прогресію?

 

 

Нерівності

185. Розв’яжіть нерівність .

186. Розв’яжіть нерівність .

187. Розв’яжіть нерівність .

188. Знайдіть множину розв’язків нерівності .

189. Знайдіть множину розв’язків нерівності .

190. Знайдіть множину розв’язків нерівності .

191. Знайдіть множину розв’язків нерівності .

192. Розв’яжіть нерівність .

193. Розв’яжіть нерівність .

194. Розв’яжіть нерівність .

195. Розв’яжіть нерівність .

196. Розв’яжіть нерівність .

197. Розв’яжіть нерівність .

198. Розв’яжіть нерівність .

199. Розв’яжіть нерівність .

200. Розв’яжіть нерівність .

201. Розв’яжіть нерівність .

202. Розв’яжіть нерівність озвйдіть точку мінімуму функції .множину точок, координати яких .

203. Розв’яжіть нерівність .

204. Розв’яжіть нерівність .

205. Розв’яжіть нерівність .

206. Розв’яжіть нерівність .

207. Розв’яжіть нерівність .

208. Знайдіть найбільше ціле число, яке є розв’язком нерівності .

209. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності .

210. Розв’яжіть нерівність .

211. Розв’яжіть нерівність .

212. Розв’яжіть нерівність .

213. Розв’яжіть нерівність .

214. Розв’яжіть нерівність .

215. Розв’яжіть нерівність .

216. Розв’яжіть нерівність .

217. Розв’яжіть нерівність .

218. Розв’яжіть нерівність .

219. Розв’яжіть нерівність .

220. Розв’яжіть нерівність .

 

Доведення нерівностей

221. Для будь-яких дійсних чисел і доведіть нерівність .

222. Для будь-яких дійсних чисел і доведіть нерівність .

223. Для довільних дійсних чисел і доведіть нерівність .

224. Для всіх дійсних чисел і доведіть нерівність .

225. Для будь-яких дійсних чисел і доведіть нерівність .

226. Для всіх дійсних чисел і доведіть нерівність .

227. Для всіх дійсних і доведіть нерівність .

228. Дійсні числа і задовольняють умову . Доведіть, що .

229. Дійсні числа і задовольняють умову . Доведіть, що .

230. Доведіть, що для будь-яких додатних чисел , і виконується нерівність .

231. Для довільного дійсного доведіть нерівність . При яких значеннях виконується нерівність?

232. Доведіть, що нерівність виконується при всіх дійсних значеннях .

233. Доведіть нерівність для всіх дійсних значень і знайдіть усі значення , при яких виконується рівність.

234. Доведіть нерівність для всіх дійсних значень .

235. Для невід’ємних чисел і доведіть нерівність .

236. Для додатних чисел і доведіть нерівність .

237. Доведіть, що коли і , то .

238. Доведіть, що для будь-яких додатних чисел і виконується нерівність .

239. Числа , , такі, що . Доведіть, що .

240. Доведіть, що коли , , , то .

241. Доведіть нерівність , , .

242. Доведіть нерівність , , .

 

Нерівності з параметрами

243. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

244. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

245. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

246. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

247. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

248. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

249. Знайдіть розв’язки нерівності залежно від значення параметра .

250. Знайдіть усі значення параметра , при яких нерівність виконується для всіх дійсних значень .

251. Знайдіть усі значення параметра , при яких нерівність виконується при всіх дійсних значеннях .

252. При яких значеннях параметра нерівність виконується при всіх додатних значеннях ?

253. При яких значеннях параметра нерівність виконується при всіх від’ємних значеннях ?

254. Для кожного значення параметра розв’яжіть нерівність .

255. Для кожного значення параметра розв’яжіть нерівність .

256. Для кожного значення параметра розв’яжіть нерівність .

 

Системи рівнянь

257. Розв’яжіть систему рівнянь

258. Розв’яжіть систему рівнянь

259. Розв’яжіть систему рівнянь

260. Розв’яжіть систему рівнянь

261. Розв’яжіть систему рівнянь

262. Розв’яжіть систему рівнянь

263. Розв’яжіть систему рівнянь

264. Розв’яжіть систему рівнянь

265. Розв’яжіть систему рівнянь

266. Розв’яжіть систему рівнянь

267. Розв’яжіть систему рівнянь

268. Розв’яжіть систему рівнянь

269. Розв’яжіть систему рівнянь

270. Розв’яжіть систему рівнянь

271. Розв’яжіть систему рівнянь

272. Розв’яжіть систему рівнянь

273. Розв’яжіть систему рівнянь

274. Розв’яжіть систему рівнянь

275. Розв’яжіть систему рівнянь

276. Розв’яжіть систему рівнянь

277. Розв’яжіть систему рівнянь

278. Розв’яжіть систему рівнянь

279. Розв’яжіть систему рівнянь

280. Розв’яжіть систему рівнянь

281. Розв’яжіть систему рівнянь

282. Розв’яжіть систему рівнянь

283. Розв’яжіть систему рівнянь

284. Розв’яжіть систему рівнянь

 

Системи рівнянь та нерівностей з параметрами

285. При яких значеннях параметра система рівнянь має безліч розв’язків?

286. При яких значеннях параметра система рівнянь має безліч розв’язків?

287. При яких значеннях параметра система рівнянь має безліч розв’язків?

288. При яких значеннях параметра система рівнянь не має розв’язків?

289. Для кожного значення параметра знайдіть кількість розв’язків системи рівнянь

290. Для кожного значення параметра знайдіть кількість розв’язків системи рівнянь

291. При яких значеннях параметра система рівнянь не має розв’язків?

292. При яких значеннях параметра система рівнянь має три розв’язки?

293. При яких значеннях параметра система рівнянь має три розв’язки?

294. Знайдіть усі значення параметра , при яких система рівнянь має єдиний розв’язок.

295. Знайдіть усі значення параметра , при яких система рівнянь не має розв’язків.

296. Знайдіть усі значення параметра , при яких система рівнянь має чотири розв’язки.

297. Знайдіть усі значення параметра , при яких система рівнянь має чотири розв’язки.

298. При яких значеннях параметра система має розв’язки при будь-якому значенні параметра ?

299. При яких значеннях параметра система має розв’язки при будь-якому значенні параметра ?

300. Визначте кількість розв’язків системи залежно від значення параметра .

301. Визначте кількість розв’язків системи залежно від значення параметра .

302. При яких значеннях параметра система має безліч розв’язків?

303. При яких значеннях параметра система не має розв’язків?

304. Знайдіть усі значення параметра , при яких система рівнянь має безліч розв’язків.

305. Знайдіть усі значення параметра , при яких система рівнянь не має розв’язків.

306. При якому найменшому значенні параметра система рівнянь має єдиний розв’язок?

307. Знайдіть найменше значення параметра , при якому система рівнянь має єдиний розв’язок.

308. При яких значеннях параметра система рівнянь має три розв’язки?

309. При яких значеннях параметра система рівнянь має один розв’язок?

310. При якому значенні параметра система рівнянь має єдиний розв’язок?

311. Знайдіть усі значення параметра , при яких множина розв’язків системи нерівностей містить рівно три цілих числа.

312. Знайдіть усі значення параметра , при яких множина розв’язків системи нерівностей містить рівно три цілих числа.

313. При яких значеннях параметра множиною розв’язків системи нерівностей є числовий відрізок, довжина якого дорівнює ?

314. При яких значеннях параметра множиною розв’язків системи нерівностей є числовий відрізок, довжина якого дорівнює ?

Зразок виконання завдань четвертої частини державної

підсумкової атестації з геометрії

Приклад 1. Через деяку точку всередині трикутника паралельно його сторонам проведено три прямі. Ці прямі ділять трикутник на шість частин, три з яких – трикутники. Площі цих трикутників дорівнюють , і . Знайдіть площу даного трикутника.

Розв’язання. Позначимо довжини відрізків , , .З паралельності прямих , і відповідним сторонам випливає, що кожний з отриманих трикутників , , подібний трикутнику (за двома кутами).

Якщо шукану площу трикутника позначити через , то за властивістю площ подібних трикутників можна записати такі три рівності:

; ; .

Додавши почленно ці три рівності, отримаємо:

.

Звідси маємо, , .

Відповідь: .

Приклад 2. Центр кола, яке дотикається катетів прямокутного трикутника, належить гіпотенузі цього трикутника. Знайдіть радіус кола, якщо його центр ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки см і см.

Розв’язання. На рисунку зображено прямокутний трикутник , точка – центр кола, яке дотикається катетів і , см, см.

– точка дотику кола катета ; – точка дотику кола катета ; – радіус кола. (за катетом і гіпотенузою), тому і – бісектриса . За властивістю бісектриси ; .

Позначимо ; . Тоді ; ; см; см.

Площа трикутника : (см²).

Але, .

Маємо, ; (см).

Відповідь: см.

Приклад 3. Дано коло . Знайдіть рівняння кола, центром якого є точка , яке дотикається до даного кола.

Розв’язання. Коло, що задане рівнянням , має центр у точці , радіус, що дорівнює . Відстань між точками і дорівнює: . Якщо кола дотикаються зовнішньо, то радіус шуканого кола дорівнює . Тоді рівняння цього кола має вигляд: . Якщо шукане і подане кола дотикаються внутрішнім чином, то радіус шуканого кола дорівнює і його рівняння має вигляд: .

Відповідь: або .

 

Кути та відрізки на площині

315. Точки і лежать у різних півплощинах відносно прямої . На прямій знайдіть таку точку , щоб пряма містила бісектрису кута .

316. Точки і лежать в одній півплощині відносно прямої . Знайдіть на прямій таку точку , щоб промені і утворювали з цією прямою рівні кути.

317. Точки і лежать в одній півплощині відносно прямої . Знайдіть на прямій таку точку , щоб сума була найменшою.

318. З точки , яка належить куту , на його сторони опустили перпендикуляри завдовжки см і см. Знайдіть відрізок , якщо .

319. З точки , розташованої всередині гострого кута , проведено перпендикуляри і до прямих і відповідно. Доведіть, що .

320. У внутрішній області кута розташовано точку на відстанях см і см від сторін кута. Знайдіть відстань від цієї точки до вершини кута.

321. Усередині кута позначено точку , проекціями якої на прямі і є точки і . Доведіть, що .

 

Трикутник та його елементи

322. Медіана трикутника дорівнює і утворює зі сторонами і кути і відповідно. Знайдіть сторону .

323. Медіана трикутника утворює зі сторонами і кути і відповідно, . Знайдіть медіану .

324. Медіана трикутника дорівнює і утворює зі сторонами і кути і відповідно. Знайдіть довжини сторін і .

325. На стороні трикутника позначено точку так, що . У якому відношенні медіана ділить відрізок ?

326. На стороні трикутника позначено точку так, що . У якому відношенні відрізок ділить медіану ?

327. На стороні трикутника позначено точку так, що . У якому відношенні відрізок ділить медіану трикутника ?

328. На стороні трикутника позначено точку так, що . У якому відношенні медіана трикутника ділить відрізок ?

329. У трикутнику відрізок (точка належить стороні ) ділить медіану у відношенні , рахуючи від вершини . У якому відношенні точка ділить сторону ?

330. У трикутнику медіана ділить відрізок (точка належить стороні ) у відношенні , рахуючи від вершини . У якому відношенні точка ділить сторону ?

331. Периметр прямокутного трикутника дорівнює см, а різниця між довжиною медіани і висоти дорівнює см. Знайдіть довжину гіпотенузи трикутника.

332. Периметр прямокутного трикутника дорівнює см. Знайдіть його сторони, якщо висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює см.

333. На сторонах і правильного трикутника позначено точки і відповідно так, що . Знайдіть кут , де точка – центр трикутника.

334. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює см, а бічна сторона – см. До бічних сторін трикутника проведено висоти. Обчисліть довжину відрізка, що сполучає основи цих висот.

335. У рівнобедреному трикутнику кут при основі дорівнює , а бісектриса цього кута має довжину . Знайдіть довжини сторін трикутника.

336. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, дорівнює см, а висота, проведена до бічної сторони, – см. Знайдіть периметр трикутника.

337. У рівнобедреному трикутнику проведено бісектриси і . Знайдіть кути трикутника , якщо .

338. У прямокутному трикутнику відрізки , і – відповідно висота, бісектриса і медіана трикутника. Знайдіть бісектрису , якщо см, см.

339. Серединний перпендикуляр гіпотенузи прямокутного трикутника перетинає катет у точці . Відомо, що . Знайдіть гострі кути трикутника .

340. У трикутнику медіани і перпендикулярні. Знайдіть .

341. Усередині прямокутного трикутника взято точку так, що трикутники , і – рівновеликі. Знайдіть довжину відрізка , коли відомо, що , де .

342. У прямокутному трикутнику менший кут дорівнює . Перпендикулярно до гіпотенузи проведено пряму, яка ділить трикутник на дві рівновеликі частини. Знайдіть відношення, у якому ця пряма ділить гіпотенузу.

343. У прямокутному трикутнику відрізок – висота. Бісектриси прямих кутів трикутників і відповідно дорівнюють і . Знайдіть бісектрису прямого кута трикутника .

344. У трикутнику проведено медіану . Відомо, що і . Знайдіть кут .

345. Відрізки і – бісектриси трикутника . Знайдіть кут , якщо промінь – бісектриса кута .

346. Одна із сторін трикутника дорівнює см, висота, що проведена до цієї сторони, дорівнює см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює см.

347. Дві сторони гострокутного трикутника дорівнюють см і см. Знайдіть третю сторону, якщо вона дорівнює проведеній до неї висоті.

348. Дві сторони трикутника дорівнюють см і см. Медіани, проведені до цих сторін, взаємно перпендикулярні. Знайдіть третю сторону трикутника.

349. У трикутнику довжина висоти дорівнює см. Медіана і бісектриса ділять на три рівні частини. Знайдіть довжину сторони .

350. У трикутнику висота і медіана, проведені з однієї вершини, ділять кут при цій вершині на три рівні частини. Знайдіть кути трикутника.

 

Доведення в трикутнику

351. Доведіть ознаку рівності трикутників за медіаною та кутами, на які вона ділить кут трикутника.

352. Доведіть ознаку рівності трикутників за двома сторонами і медіаною, проведеною до третьої сторони.

353. Доведіть, що в будь-якому трикутнику сума довжин медіан менша за периметр трикутника.

354. Доведіть, що сума квадратів двох сторін трикутника дорівнює подвоєній сумі квадратів половини третьої сторони і медіани, проведеної до цієї сторони.

355. У внутрішній області рівностороннього трикутника взято точку. Доведіть, що сума відстаней від цієї точки до сторін трикутника дорівнює висоті трикутника.

356. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки, взятої на стороні правильного трикутника, до двох його інших сторін є сталою величиною.

357. У трикутнику точка – основа бісектриси, проведеної з вершини , . Доведіть, що .

358. У трикутнику точка – основа бісектриси, проведеної з вершини , . Доведіть, що .

359. У трикутнику відомо, що , . Серединний перпендикуляр відрізка перетинає його в точці , а сторону – у точці . Доведіть, що .

360. Один з кутів прямокутного трикутника дорівнює . Доведіть, що висота трикутника, проведена до його гіпотенузи, у рази менша гіпотенузи.

361. У трикутнику відомо, що , см, см. Доведіть, що його медіани і перпендикулярні.

362. У трикутнику проведено медіану . Відомо, що , . Доведіть, що .

363. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, у рази менша гіпотенузи. Доведіть, що один із гострих кутів даного трикутника дорівнює .

364. Відрізок – бісектриса трикутника . На стороні позначили точку так, що . Доведіть, що промінь – бісектриса кута .

365. Відрізок – медіана трикутника . Відомо, що . Доведіть, що .

366. Бісектриси кутів і трикутника перетинаються в точці . На сторонах і позначено відповідно точки і такі, що і . Доведіть, що точки , і лежать на одній прямій.

367. Висоти трикутника дорівнюють см, см і см. Доведіть, що трикутник прямокутний.

368. У прямокутному трикутнику , . Доведіть, що медіани трикутника і перпендикулярні.

369. Числа , і є довжинами медіан деякого трикутника. Доведіть, що коли виконується рівність , то трикутник є прямокутним.

370. Медіани трикутника дорівнюють см, см і см. Доведіть, що трикутник прямокутний.

371. У трикутнику проведено медіани і ; – точка перетину медіан. Доведіть, що площі трикутника і чотирикутника рівні.

372. Нехай числа , і є довжинами висот деякого трикутника і виконується рівність . Доведіть, що трикутник є прямокутним.

373. Усередині рівностороннього трикутника позначено довільну точку , що знаходиться на відстанях , і від сторін трикутника. Доведіть, що висота трикутника дорівнює .

374. З довільної точки катета прямокутного трикутника опущено перпендикуляр на гіпотенузу . Доведіть, що .

375. У гострокутному трикутнику відрізок є висотою. З точки на сторони і опущено перпендикуляри і відповідно. Доведіть, що чотирикутник – вписаний.

376. Усередині трикутника обрано точку так, що площі трикутників , , рівні. Доведіть, що – точка перетину медіан трикутника .

377. У трикутнику , . На стороні побудовано квадрат, точка – його центр, точки і лежать по різні сторони від прямої . Доведіть, що .

378. Точка – середина сторони трикутника . На відрізку позначили точку . Через точку проведено відрізок , паралельний ( належить стороні ). Доведіть, що відрізок ділить трикутник на дві рівновеликі фігури.

379. У трикутнику бісектриси і перетинаються в точці , . Доведіть, що .

380. У трикутнику проведено медіани і . Відомо, що . Доведіть, що трикутник – рівнобедрений.

381. У трикутнику , . На стороні побудовано рівносторонній трикутник , точки і лежать по різні сторони від прямої . Доведіть, що .

382. Точка – середина сторони трикутника . На відрізках і позначено відповідно точки і так, що відрізок розбиває трикутник на дві рівновеликі частини. Доведіть, що .

383. На катеті прямокутного трикутника взято довільну точку . З точки проведено перпендикуляр до гіпотенузи . Доведіть, що .

384. У трикутнику бісектриси і перетинаються в точці , . Доведіть, що .

385. У рівнобедреному трикутнику кут при вершині дорівнює . У цьому трикутнику проведено бісектриси і . Доведіть, що .

386. У трикутнику проведено медіани і . Відомо, що . Доведіть, що трикутник – рівнобедрений.

 

Геометричні побудови у трикутнику

387. Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, проведеною до його третьої сторони.

388. Побудуйте трикутник за медіаною і двома кутами, на які ця медіана ділить кут трикутника.

389. На стороні гострокутного трикутника знайдіть таку точку, щоб відстань між її проекціями на дві інші сторони була найменшою.

390. Дано дві точки і . Знайдіть геометричне місце точок таких, що медіана трикутника дорівнює його стороні .

391. Дано дві точки і . Знайдіть геометричне місце точок таких, що висота трикутника вдвічі більша за його медіану .

 

Площа трикутника

392. Дві сторони трикутника дорівнюють і , а його площа – . Доведіть, що виконується нерівність .

393. Дві сторони трикутника дорівнюють і , а його площа – . Доведіть, що виконується нерівність .

394. Доведіть, що площу прямокутного трикутника можна знайти за формулою , де – півпериметр трикутника, – довжина гіпотенузи.

395. Доведіть, що площу прямокутного трикутника можна знайти за формулою , де – півпериметр трикутника, і – довжини катетів.

396. У прямокутному трикутнику проведено медіану . Відомо, що , а площа трикутника дорівнює . Знайдіть медіану .

397. У прямокутному трикутнику медіана , проведена до меншого катета, утворює з більшим катетом кут . Знайдіть площу трикутника , якщо .

398. Точки , , належать сторонам , , трикутника відповідно. Відомо, що . Площа трикутника дорівнює . Знайдіть площу трикутника .

399. Точки , , належать сторонам , , трикутника відповідно. Відомо, що . Площа трикутника дорівнює . Знайдіть площу трикутника .

400. Два трикутники і розташовані так, що точка – середина відрізка , точка – середина відрізка , точка – середина відрізка . Знайдіть площу трикутника , якщо площа трикутника дорівнює .

401. У трикутнику проведено медіану . Через точку проведено відрізок , який дорівнює відрізку і паралельний йому. Знайдіть площу чотирикутника , якщо площа трикутника дорівнює .

402. Через точку перетину медіан трикутника проведено відрізок паралельно стороні . Знайдіть площу чотирикутника , якщо і площа трикутника дорівнює .

403. Знайдіть площу трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють см і см, а медіана, яка проведена до третьої сторони, дорівнює см.

404. Сторони трикутника дорівнюють см, см і см. Обчисліть площі кожної із шести трикутників, на які розбивається даний трикутник його медіанами.

405. Сторона трикутника дорівнює см, а медіани, проведені до двох інших сторін, – см і см. Знайдіть площу трикутника.

406. У трикутнику проведено медіани і ; точка – точка перетину медіан. Доведіть, що площі трикутника і чотирикутника рівні.

407. Рівносторонній трикутник, площа якого , повернули навколо однієї з його вершин на . Знайдіть площу спільної частини даного і одержаного трикутників.

408. У рівносторонній трикутник вписано інший рівносторонній трикутник , вершини якого лежать на сторонах першого трикутника і ділять кожну з них у відношенні . Знайдіть відношення площ трикутників і .

409. Площа рівностороннього трикутника, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, вдвічі більша за площу цього прямокутного трикутника. Знайдіть відношення катетів прямокутного трикутника.

410. Пряма, паралельна стороні трикутника , перетинає сторони та в точках і . Ці точки з’єднані з довільною точкою , що належить стороні . Знайдіть площу чотирикутника , коли відомо, що площі трикутників і відповідно дорівнюють і .

 

Чотирикутник

411. Доведіть, що в опуклому чотирикутнику сума діагоналей менша від периметра.

412. Доведіть, що в опуклому чотирикутнику сума діагоналей більша за півпериметр.

413. Відрізок, який сполучає середини двох протилежних сторін опуклого чотирикутника, ділить його на два рівновеликих чотирикутники. Доведіть, що ці сторони паралельні.

414. Доведіть, що відрізки, які сполучають середини протилежних сторін опуклого чотирикутника, і відрізок, який сполучає середини діагоналей, перетинаються в одній точці.

415. Площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей. Доведіть, що відрізки, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, рівні.

416. Діагональ опуклого чотирикутника ділить його на два рівновеликих трикутники. Доведіть, що ця діагональ ділить навпіл відрізок, який з’єднує середини двох протилежних сторін чотирикутника.

417. Діагоналі опуклого чотирикутника взаємно перпендикулярні. Доведіть, що відрізки, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника, рівні.

418. Діагональ опуклого чотирикутника ділить навпіл відрізок, який з’єднує середини двох його протилежних сторін. Доведіть, що ця діагональ ділить чотирикутник на два рівновеликих трикутника.

419. В опуклому чотирикутнику відрізки, які сполучають середини протилежних сторін, рівні. Доведіть, що діагоналі чотирикутника перпендикулярні.

420. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються в точці . Відомо, що см², см², см². Знайдіть площі трикутників і .

421. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються в точці . Відомо, що см², см², см². Знайдіть площі трикутників і .

422. В опуклому чотирикутнику відрізки, які сполучають середини протилежних сторін, дорівнюють і , кут між ними дорівнює . Знайдіть діагоналі чотирикутника.

423. В опуклому чотирикутнику відомо, що . Бісектриса кута перетинає сторону у точці . На стороні позначено точку так, що . Доведіть, що .

424. Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють і , кут між ними дорівнює . Знайдіть відрізки, які сполучають середини протилежних сторін чотирикутника.

425. Довільний чотирикутник поділено діагоналями на чотири трикутники. Площі трьох з них дорівнюють дм², дм² і дм², і кожна із цих площ менша за площу четвертого трикутника. Знайдіть площу даного чотирикутника.

426. Діагоналі опуклого чотирикутника розбивають його на чотири трикутники. Площі трьох з них дорівнюють , , . Знайдіть площу четвертого трикутника.

427. В опуклому чотирикутнику діагональ є бісектрисою кута . Відомо, що см, см, см, см. Знайдіть кут .

428. Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють і . Відрізки, що з’єднують середини протилежних сторін, рівні. Знайдіть площу чотирикутника.

429. В опуклому чотирикутнику діагональ є бісектрисою кута . Відомо, що см, см, см, см. Знайдіть кут .

 

 

 

 

 

Паралелограм

430. На стороні і діагоналі паралелограма позначено відповідно точки і так, що , . Доведіть, що точки , і лежать на одній прямій.

431. На стороні і діагоналі паралелограма позначили відповідно точки і так, що , . Доведіть, що точки , , лежать на одній прямій.

432. У паралелограмі на сторонах і позначено відповідно точки і так, що і . Відрізки і перетинаються в точці . Знайдіть відношення .

433. У паралелограмі на сторонах і позначено відповідно точки і так, що і . Відрізки і перетинаються в точці . Знайдіть відношення .

434. На протилежних сторонах паралелограма як на сторонах поза ним побудовано квадрати. Доведіть, що пряма, яка проходить через центри квадратів, проходить також через точку перетину діагоналей паралелограма.

435. На стороні і діагоналі паралелограма позначено точки і відповідно так, що , . Доведіть, що точки , і лежать на одній прямій.

436. На сторонах і паралелограма побудовано поза ним рівносторонні трикутники і . Доведіть, що точки , і , де – точка перетину діагоналей паралелограма, лежать на одній прямій.

437. Точки і – середини сторін і паралелограма відповідно. Доведіть, що відрізки і ділять діагональ на три частини.

438. Кожна діагональ чотирикутника ділить його на два рівновеликих трикутники. Доведіть, що цей чотирикутник – паралелограм.

439. У паралелограмі , точка – середина сторони . Знайдіть сторони паралелограма, якщо см, см.

440. Сторони паралелограма дорівнюють і , а діагоналі – і . Відомо, що . Доведіть, що гострий кут паралелограма дорівнює .

441. – паралелограм. Точки і – середини сторін і відповідно. Через вершину паралелограма проведено прямі та . Доведіть, що ці прямі ділять діагональ паралелограма на три рівні частини.

442. У паралелограмі проведено бісектриси всіх його кутів. Доведіть, що чотирикутник, утворений точками перетину бісектрис, є прямокутником, діагональ якого дорівнює різниці суміжних сторін паралелограма.

443. Два паралелограми і розташовані так, що точка – середина відрізка , точка – середина відрізка , точка – середина відрізка , точка – середина відрізка . Знайдіть площу паралелограма , якщо площа паралелограма дорівнює .

 

Прямокутник і квадрат

444. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника перетинає сторону і утворює з нею кут, який дорівнює куту між діагоналями. Знайдіть цей кут.

445. Серединний перпендикуляр діагоналі прямокутника перетинає сторону у точці так, що . Знайдіть кути, на які діагональ прямокутника ділить його кут.

446. Усередині прямокутника позначено точку . Доведіть, що існує опуклий чотирикутник, діагоналі якого перпендикулярні і дорівнюють і , а сторони дорівнюють , , і .

447. На сторонах і квадрата позначено точки і відповідно так, що . Знайдіть кут , де точка – центр квадрата.

448. Точка – середина сторони квадрата , а точка ділить його діагональ у відношенні . Доведіть, що кут прямий.

449. Вершина квадрата є центром повороту на кут . Знайдіть відрізок , де точка – образ точки при вказаному повороті, якщо см.

450. Сторона квадрата дорівнює . Цей квадрат повернули навколо однієї з його вершин на . Знайдіть площу спільної частини і одержаного квадратів.

 

Трапеція

451. Діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведіть, що середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який сполучає середини основ.

452. Доведіть, що середини основ трапеції і точка перетину її діагоналей лежать на одній прямій.

453. Середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який сполучає середини основ. Доведіть, що діагоналі цієї трапеції перпендикулярні.

454. Доведіть, що середини основ трапеції і точка перетину продовжень її бічних сторін лежать на одній прямій.

455. Довжини основ трапеції дорівнюють і . Знайдіть довжину відрізка прямої, паралельної основам трапеції, що міститься між її бічними сторонами і ділить трапецію на дві рівновеликі фігури.

456. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а її висота дорівнює . Знайдіть площу цієї трапеції.

457. Діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники. Площі трикутників, що прилягають до основ трапеції, дорівнюють і . Доведіть, що площа трапеції дорівнює .

458. Доведіть, що точка перетину діагоналей трапеції належить прямій, що проходить через середини основ трапеції.

459. Через точку перетину діагоналей трапеції паралельно її основам проведено пряму, яка перетинає бічні сторони в точках і . Знайдіть довжину відрізка , якщо основи трапеції дорівнюють см і см.

460. Діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, а висота дорівнює . Знайдіть площу цієї трапеції.

461. Через точку перетину діагоналей трапеції паралельно основам проведено пряму, що перетинає бічні сторони в точках і . Знайдіть довжину відрізка , якщо основи трапеції дорівнюють см і см.

462. Доведіть, що точка перетину діагоналей трапеції належить прямій, що проходить через середини основ трапеції.

463. Діагоналі трапеції розбивають її на чотири трикутники. Площі трикутників, які прилягають до основ трапеції, дорівнюють і . Доведіть, що площа трапеції дорівнює .

464. Довжина середньої лінії трапеції дорівнює см, а довжина відрізка, який сполучає середини основ, – см. Кути при більшій основі дорівнюють і . Знайдіть основи трапеції.

465. Доведіть, що середини основ трапеції і точка перетину її діагоналей лежать на одній прямій.

466. Діагональ трапеції дорівнює сумі основ і . Діагоналі і перетинаються в точці , . Доведіть, що трапеція – рівнобічна.

467. Середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який сполучає середини основ. Доведіть, що діагоналі цієї трапеції перпендикулярні.

468. Діагоналі трапеції перпендикулярні. Доведіть, що середня лінія трапеції дорівнює відрізку, який сполучає середини основ.

469. Доведіть, що середини основ трапеції і точка перетину її бічних сторін лежать на одній прямій.

470. Доведіть, що для будь-якої трапеції площа трикутника, основою якого є одна з непаралельних сторін трапеції, а вершиною – середина протилежної сторони, дорівнює половині площі трапеції.

471. Основи трапеції дорівнюють см і см. Пряма, паралельна основі трапеції, проходить через точку перетину діагоналей. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься між бічними сторонами трапеції.

472. Кути при основі трапеції дорівнюють і , а довжина відрізка, який з’єднує середини основ, – см. Знайдіть довжини основ трапеції, якщо довжина її середньої лінії дорівнює см.

473. У прямокутній трапеції відношення довжин основ дорівнює , а відношення довжин діагоналей дорівнює . Знайдіть гострий кут трапеції.

474. Середня лінія трапеції ділить площу трапеції у відношенні . Знайдіть основи трапеції, якщо її середня лінія дорівнює см.

475. У рівнобічній трапеції відстань від вершини до прямої дорівнює довжині бічної сторони, а основи трапеції і відносяться як . Знайдіть кути трапеції.

476. У трапеції проведено діагоналі. Площі трикутників, які прилягають до її основ, дорівнюють і . Доведіть, що площа цієї трапеції дорівнює .

477. Основи трапеції дорівнюють та . Відрізок, кінці якого лежать на бічних сторонах трапеції, паралельний основам і ділить трапецію на дві рівновеликі частини. Знайдіть довжину цього відрізка.

478. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють см і см, а її діагоналі перпендикулярні до бічних сторін. Знайдіть площу цієї трапеції.

479. У трапеції діагоналі і перпендикулярні. Знайдіть площу трапеції, якщо см, а висота трапеції дорівнює см.

480. Точки і – середини сторін і опуклого чотирикутника . Відомо, що . Доведіть, що даний чотирикутник – трапеція.

481. На відрізку, що з’єднує середини основ трапеції, взято точку, яку сполучено з усіма вершинами трапеції. Доведіть, що трикутники, прилеглі до бічних сторін трапеції, рівновеликі.

482. У трапеції діагоналі і перпендикулярні. Знайдіть площу трапеції, якщо см, а середня лінія трапеції дорівнює см.

483. Точки і – середини діагоналей і опуклого чотирикутника . Відомо, що . Доведіть, що даний чотирикутник – трапеція.

 

Коло та його елементи

484. На катеті прямокутного трикутника як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає гіпотенузу у точці . Через точку проведено дотичну до цього кола, яка перетинає катет у точці . Доведіть, що трикутник – рівнобедрений.

485. До двох кіл, які перетинаються в точках і , проведено спільну дотичну, і – точки дотику. Доведіть, що .

486. Два кола перетинаються в точках і . Через точку проведено пряму, яка перетинає кола в точках і . У точках і до даних кіл проведено дотичні, які перетинаються в точці . Доведіть, що .

487. У колі проведено три хорди см, см, см. Відомо, що . Знайдіть радіус кола.

488. Дано квадрат, дві вершини якого лежать на колі радіуса , а дві інші – на дотичній до цього кола. Знайдіть площу квадрата.

489. Через точку діаметра кола проведено хорду , що утворює з діаметром кут . Знайдіть довжину кола, якщо см, см.

490. У колі проведено дві перпендикулярні хорди і , які перетинаються в точці . Доведіть, що пряма, яка містить медіану трикутника , містить також висоту трикутника .

491. На хорді кола позначено точку . Доведіть, що , де – радіус кола, – відстань від точки до центра кола.

492. У колі проведено дві перпендикулярні хорди і , які перетинаються в точці . Доведіть, що пряма, яка містить висоту трикутника , містить також медіану трикутника .

493. Через точку поза колом проведено пряму, яка перетинає дане коло в точках і . Доведіть, що , де – радіус кола, – відстань від точки до центра кола.

494. Дано два концентричних кола. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки одного кола до кінців діаметра іншого кола не залежить ні від обраної точки, ні від обраного діаметра.

495. На стороні трикутника як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторони і у точках і відповідно. Знайдіть градусну міру кута , якщо площі трикутників і відносяться як .

496. Два кола, радіуси яких дорівнюють і , лежать в одній площині та дотикаються одне одного. Знайдіть радіус кола, яке дотикається до заданих кіл і їх спільної зовнішньої дотичної.

497. Три кола, радіуси яких дорівнюють дм, дм і дм, лежать в одній площині та попарно дотикається між собою. Знайдіть площу фігури, яка обмежена меншими дугами цих кіл.

498. Два кола перетинаються в точках і . Через точку , яка належить відрізку , проведено хорду першого кола і хорду другого кола. Доведіть, що точки , , , лежать на одному колі.

499. Відрізок є діаметром кола, а точка лежить поза цим колом. Відрізки і перетинаються з колом у точках і відповідно. Знайдіть кут , якщо площі трикутників і відносяться як .

500. На діаметрі кола з центром у точці взято точки і так, що . Нехай – довільна точка даного кола. Доведіть, що сума не залежить від вибору точки .

501. Відомо, що – точка перетину відрізків і , . Доведіть, що точки , , і належать одному колу.

502. У колі, радіус якого дорівнює , проведено дві хорди і , які перетинаються під прямим кутом. Доведіть, що .

503. З точки , що рухається по колу, опущено перпендикуляри на фіксовані діаметри і . Доведіть, що довжина відрізка, який з’єднує основи перпендикулярів, не залежить від положення точки .

504. У трикутнику на катеті як на діаметрі побудовано коло, що перетинає гіпотенузу у точці . Через точку проведено дотичну, яка перетинає катет у точці . Доведіть, що .

505. Два кола перетинаються в точках і . Через точку проведено діаметри і . Доведіть, що точки , і лежать на одній прямій. Розгляньте випадки розташування центрів кіл в одній і різних півплощинах відносно прямої .

506. Коло, побудоване на більшій основі трапеції як на діаметрі, дотикається до меншої основи і перетинає бічні сторони та ділить їх навпіл. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо радіус кола дорівнює .

507. Коло, побудоване на стороні трикутника як на діаметрі, перетинає сторони і у точках і відповідно. Знайдіть відношення площ трикутників і , якщо .

508. Два кола перетинаються в точках і . Через точку проведено січну, яка перетинає кола в точках і . Доведіть, що величина кута є сталою для будь-якої січної, яка проходить через точку . Розгляньте випадки розташування точок і в одній і різних півплощинах відносно прямої .

509. Коло, побудоване на більшій основі трапеції як на діаметрі, дотикається до меншої основи, перетинає бічні сторони і ділить їх навпіл. Знайдіть бічну сторону трапеції, якщо радіус кола дорівнює .

 

Вписаний та описаний трикутник

510. Доведіть, що точки, симетричні ортоцентру трикутника відносно прямих, які містять його сторони, лежать на описаному колі цього трикутника.

511. Відрізок – висота гострокутного трикутника . Доведіть, що , де точка – центр описаного кола трикутника .

512. До кола, вписаного в трикутник, проведено три дотичні, паралельні сторонам трикутника. Ці дотичні відтинають від даного трикутника три трикутники, радіуси описаних кіл яких дорівнюють , , . Знайдіть радіус описаного кола даного трикутника.

513. Центри вписаного і описаного кіл трикутника лежать по різні сторони від прямої . Сторона дорівнює радіусу описаного кола. Чому дорівнює кут , де точка – центр вписаного кола?

514. Точка – ортоцентр трикутника . Радіус кола, описаного навколо трикутника , дорівнює . Доведіть, що .

515. Доведіть, що описане коло трикутника , бісектриса кута і серединний перпендикуляр сторони проходять через одну точку.

516. Через точку до кола, описаного навколо трикутника , проведено дотичну, яка перетинає пряму у точці . Відрізок – бісектриса трикутника . Доведіть, що .

517. У рівнобедрений трикутник з основою см вписано коло, а до нього проведено три дотичні так, що вони відтинають від даного трикутника три трикутники по одному біля кожної вершини. Сума периметрів трьох утворених трикутників дорівнює см. Знайдіть бічну сторону даного трикутника.

518. Висоти гострокутного трикутника перетинаються в точці . Доведіть, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників , , і , рівні.

519. У гострокутному трикутнику відрізок є висотою. З точки на сторони і опущено перпендикуляри і відповідно. Доведіть, що навколо чотирикутника можна описати коло.

520. У коло, радіус якого см, вписано рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого вдвічі більша за основу. Знайдіть радіус кола, вписаного у цей трикутник.

521. Дано трикутник , у якому см, см, см. – бісектриса трикутника, – центр кола, вписаного у трикутник. Знайдіть відношення .

522. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить гіпотенузу у відношенні . Знайдіть сторони трикутника. Якщо центр вписаного кола віддалений від вершини прямого кута на відстань см.

523. У трикутник зі сторонами см, см і см вписано півколо так, що його центр лежить на середній за довжиною стороні трикутника і півколо дотикається двох інших сторін. Знайдіть довжину цього півкола.

524. Півколо вписано в прямокутний трикутник так, що його центр лежить на гіпотенузі та ділить її на відрізки завдовжки см і см. Знайдіть довжину дуги півкола, що міститься між точками його дотику з катетами.

525. Знайдіть площу прямокутного трикутника, гіпотенуза якого ділиться точкою дотику вписаного кола на відрізки і .

526. Доведіть, що в трикутнику точка перетину бісектриси кута із серединним перпендикуляром до сторони належить колу, описаному навколо трикутника .

527. Доведіть, що відстань від ортоцентра гострокутного трикутника до його вершини удвічі більша за відстань від центра описаного кола до сторони, яка протилежна цій вершині.

528. Бісектриса кута трикутника перетинає описане навколо нього коло в точці . Точка – центр вписаного в трикутник кола. Доведіть, що .

529. Нехай , , – висоти трикутника, – радіус кола, вписаного у трикутник. Доведіть, що .

530. Сторона трикутника дорівнює см, а сума двох інших сторін – см. Знайдіть косинус кута, що лежить проти даної сторони, якщо радіус кола, вписаного у трикутник, дорівнює см.

531. Прямі, які містять висоти гострокутного трикутника , перетинають його описане коло в точках мсоти гострокутного трикутника редини протилежних сторін, дорівнюють , і . Доведіть, що ортоцентр трикутника є центром вписаного кола трикутника .

532. Прямі, які містять бісектриси трикутника , перетинають його описане коло в точках , і . Доведіть, що центр вписаного кола трикутника є ортоцентром трикутника .

533. Бісектриса кута трикутника перетинає описане навколо нього коло в точці . Точка – центр вписаного кола трикутника . Доведіть, що .

534. У гострокутному трикутнику точки , , , , де – ортоцентр, – центр описаного кола, лежать на одному колі. Знайдіть величину кута .

535. Висота прямокутного трикутника , проведена до гіпотенузи, ділить його на два трикутники. Відстань між центрами кіл, вписаних у ці трикутники, дорівнює см. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник .

536. У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, дорівнює см, а медіана, проведена до бічної сторони, – см. Знайдіть радіус вписаного у цей трикутник кола.

537. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо відношення його радіусів описаного і вписаного кіл дорівнює .

538. У прямокутному трикутнику гострий кут дорівнює , а протилежний до нього катет дорівнює см. З вершини другого гострого кута проведено бісектрису, яка ділить цей трикутник на два трикутники. Знайдіть відстань між центрами кіл, вписаних в одержані трикутники.

539. Коло вписано в прямокутний трикутник. Точка дотику ділить менший з катетів у відношенні . Знайдіть кути цього трикутника.

540. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює . Знайдіть відношення радіуса кола, вписаного в цей трикутник, до радіуса описаного кола.

541. Сторони трикутника відносяться як . Знайдіть відношення площ описаного та вписаного в нього кругів.

542. Коло, вписане у прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на два відрізки. Доведіть, що добуток довжин цих відрізків дорівнює площі трикутника.

543. У рівносторонній трикутник вписано коло. До цього кола і до сторін трикутника дотикаються три менші кола. Знайдіть сторону даного трикутника, якщо радіус малого кола дорівнює .

544. У коло, радіус якого дорівнює , вписано трикутник. Вершини трикутника ділять коло на три частини у відношенні . Знайдіть площу трикутника.

545. У рівнобедрений трикутник вписано коло радіуса . До кола проведено дотичну, паралельну основі. В отриманий трикутник вписано коло радіуса . Доведіть, що косинус кута при основі цього трикутника дорівнює .

546. Висоти гострокутного трикутника перетинаються в точці . Пряма, що містить висоту, проведену з вершини , вдруге перетинає описане коло трикутника в точці . Доведіть, що сторона перетинає відрізок в його середині.

547. Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює піврізниці катетів. Знайдіть гострі кути трикутника.

548. У прямокутному трикутнику відрізок – висота. Радіуси кіл, вписаних у трикутники і , відповідно дорівнюють і . Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник .

549. У трикутнику центри описаного та вписаного кіл симетричні відносно прямої . Знайдіть кути трикутника .

550. Прямі, що містять бісектриси кутів , , трикутника , перетинають описане навколо цього трикутника коло в точках , , відповідно. Доведіть, що відрізки і перпендикулярні.

551. У гострокутному трикутнику проведено висоти і . Точка – центр кола, описаного навколо трикутника . Доведіть, що відрізки і перпендикулярні.

552. Бісектриси кутів трикутника перетинаються в точці . Навколо даного трикутника описано коло. Бісектриса кута перетинає це коло в точці . Доведіть, що .

553. Точка належить стороні трикутника . Доведіть, що відношення радіусів кіл, описаних навколо трикутників і , не залежить від вибору точки на стороні .

554. На стороні трикутника взято точку . Кола, які вписано у трикутники і , дотикаються. Доведіть, що .

555. Довжини сторін трикутника утворюють арифметичну прогресію. Доведіть, що радіус кола, вписаного в даний трикутник, дорівнює висоти, проведеної до середньої за величиною сторони трикутника.

556. У трикутник вписано коло. Дотична до кола перетинає сторони і у точках і відповідно. Периметр трикутника дорівнює . Знайдіть довжину сторони , якщо периметр трикутника дорівнює .

557. Навколо трикутника описано коло. З довільної точки кола проведено перпендикуляри і до прямих і відповідно. Знайдіть положення точки , для якого довжина відрізка є найбільшою.

558. Сума радіусів вписаного та описаного кіл прямокутного трикутника дорівнює одному з катетів. Знайдіть гострі кути трикутника.

559. У трикутнику центри описаного та одного із зовніописаних кіл симетричні відносно прямої . Знайдіть кути трикутника .

560. Продовження висот гострокутного трикутника , проведених до сторін , і , перетинають описане навколо цього трикутника коло в точках , , відповідно. Доведіть, що точка перетину бісектрис трикутника збігається з ортоцентром трикутника .

561. Через вершини і трикутника проведено коло, яке перетинає сторони і у точках і відповідно. Пряма – дотична до кола, описаного навколо трикутника . Доведіть, що прямі і паралельні.

562. У прямокутний трикутник вписано коло. Точка дотику ділить один із катетів у відношенні , рахуючи від вершини прямого кута. Відстань від центра вписаного кола до вершини прямого кута дорівнює см. Знайдіть сторони трикутника.

563. Бісектриси кутів трикутника перетинаються в точці . Точка – центр зовнівписаного кола, яке дотикається до сторони . Бісектриса кута перетинає описане навколо трикутника коло в точці . Доведіть, що .

564. Доведіть, що коло, яке проходить через ортоцентр трикутника і дві його вершини, дорівнює колу, описаному навколо трикутника.

565. Дотична в точці до кола, яке описане навколо трикутника , перетинає пряму у точці , відрізок – бісектриса трикутника . Доведіть, що .

566. На стороні трикутника взято точку так, що . Доведіть, що кола, вписані в трикутники і , дотикаються.

567. Радіус кола, вписаного в трикутник, дорівнює однієї з його висот. Доведіть, що довжини сторін трикутника утворюють арифметичну прогресію.

568. У трикутник , периметр якого дорівнює , вписано коло. Дотична до кола перетинає сторони і у точках і відповідно. Знайдіть периметр трикутника , якщо .

 

Вписаний та описаний чотирикутник

569. Діагоналі описаного чотирикутника перетинаються в точці . Радіуси описаних кіл трикутників , , , відповідно дорівнюють , , , . Доведіть, що .

570. Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються в точці . Радіуси описаних кіл трикутників , , , відповідно дорівнюють , , , . Відомо, що . Доведіть, що в чотирикутник можна вписати коло.

571. Знайдіть діагональ чотирикутника , якщо навколо нього можна описати коло і см, см, см, см.

572. Навколо рівнобічної трапеції з гострим кутом описано коло, і в цю трапецію вписано коло. Знайдіть відношення радіуса вписаного кола до радіуса описаного кола.

573. Центр кола, вписаного у прямокутну трапецію, віддалений від кінців її бічної сторони на см і см. Знайдіть периметр трапеції.

574. Основи трапеції дорівнюють см і см. Знайдіть радіуси двох кіл: вписаного в трапецію й описаного навколо неї, коли відомо, що такі кола існують.

575. У рівнобічну трапецію вписано коло. Відстань від центра кола до точки перетину діагоналей трапеції відноситься як . Знайдіть відношення периметра трапеції до довжини кола.

576. У рівнобічну трапецію вписано коло, радіус якого дорівнює см. Відстань між точками дотику, що лежать на її бічних сторонах, дорівнює см. Знайдіть площу трапеції.

577. Периметр рівнобічної трапеції вдвічі більший за довжину вписаного в цю трапецію кола. Знайдіть гострий кут трапеції.

578. Висота рівнобічної трапеції вдвічі менша від бічної сторони. У цю трапецію вписано круг. Знайдіть відношення площі трапеції до площі вписаного круга.

579. У прямокутну трапецію вписано коло. Доведіть, що площа цієї трапеції дорівнює добутку її основ.

580. В опуклий чотирикутник можна вписати коло. Доведіть, що кола, вписані в трикутники і , дотикаються одне до одного.

581. У прямокутну трапецію (, ) вписано коло з центром . Знайдіть площу трапеції, якщо см, см.

582. Трапеція вписана в коло. Точка – центр цього кола. Знайдіть площу трапеції, якщо і .

583. Опуклий чотирикутник такий, що кола, вписані в трикутники і , дотикаються одне до одного. Доведіть, що в чотирикутник можна вписати коло.

584. У прямокутну трапецію (, ) вписано коло з центром . Знайдіть площу трапеції, якщо см, см.

585. Трапеція вписана в коло. Точка – центр цього кола. Знайдіть площу трапеції, якщо , а висота трапеції дорівнює .

586. Доведіть, що радіус кола, вписаного в прямокутну трапецію, обчислюється за формулою , де і – довжини основ трапеції.

 

Координати

587. Запишіть рівняння кола з центром у точці , яке дотикається до прямої .

588. Запишіть рівняння кола з центром у точці , яке дотикається до прямої .

589. Дано коло . Знайдіть рівняння кола з центром , яке дотикається до даного кола.

590. Дано коло . Знайдіть рівняння кола з центром , яке дотикається до даного кола.

591. Дано точки і . Складіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої і перетинає відрізок у точці такій, що .

592. Дано точки і . Знайдіть рівняння прямої, яка перпендикулярна до прямої і перетинає відрізок у точці такій, що .

593. Знайдіть рівняння кола, описаного навколо трикутника з вершинами в точках , , .

 

Вектори

594. Відомо, що , , . Знайдіть .

595. Відомо, що , , . Знайдіть .

596. Дано вектори і , , , кут між векторами і дорівнює . Знайдіть .

597. Нехай точки і – середини відрізків і відповідно. Доведіть, що .

598. Нехай точки і – відповідно середини діагоналей і чотирикутника . Доведіть, що .

599. Знайдіть кут між векторами і , якщо вектори і – перпендикулярні між собою і рівні за модулем.

600. Знайдіть кут між векторами і , якщо вектори і – перпендикулярні між собою і рівні за модулем.

 

Перетворення алгебраїчних виразів

1. .

4. .

5. .

6. і .

7. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

18.

19. .

22. .

23. .

25. або .

26. або .

27. .

28. і .

 

Властивості функції

38. .

39. .

40. .

41. .

 

Побудова графіків функцій, рівнянь та нерівностей

42. Рис. до завдання.

43. Рис. до завдання.

45. Рис. до завдання.

47. Рис. до завдання.

48. Рис. до завдання.

49. Рис. до завдання.

 

52. Рис. до завдання.

53. Графік – точки виду .

54. Графік – точки виду .

55. Рис. до завдання.

56. Рис. до завдання.

57. Рис. до завдання.

58. Рис. до завдання.

 

Побудова на координатній площині рівнянь, нерівностей та їх систем

59. Рис. до завдання.

 

61. Рис. до завдання.

63. Рис. до завдання.

64. Рис. до завдання.

65. Рис. до завдання.

66. Рис. до завдання.

67. Рис. до завдання.

 

Елементи комбінаторики та теорії ймовірностей

68. .

69. .

70. .

71. .

72. .

73. .

74. .

75. .

76. .

77. .

78. .

79. .

80. .

81. .

82. .

83. .

 

Рівняння

84. .

85. ; .

86. ; .

87. .

88. .

89. .

90. ; .

91. .

92. .

93. ; .

94. ; .

95. ; ; ; .

96. ; ; ; .

97. ; ; ; .

98. ; ; ; .

99. ; ; .

100. ; ; ; .

101. ; .

102. ; .

103. ; ; ; .

104. ; ; ; .

105. ; ; ; .

106. ; ; ; .

107. ; ; ; .

108. ; .

109. ; ; ; .

110. ; ; ; .

111. ; ; ; .

 

Теорема Вієта

112. .

113. .

114. .

116. .

117. .

 

Рівняння з параметрами

118. При або .

119. При .

120. При .

121. При .

122. При .

123. При .

124. При .

125. При .

126. При .

127. При або .

128. При .

130. При .

131. При або .

132. При .

133. При .

134. Якщо , то два розв’язки; якщо , то три розв’язки.

135. Якщо і , то два розв’язки; якщо і , то три розв’язки.

136. При або .

137. При або .

138. При або .

139. При або .

140. При або .

141. Якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

142. Якщо , то ; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

143. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

144. Якщо , то розв’язків немає; якщо або , то два розв’язки; якщо , то три розв’язки; якщо , то чотири розв’язки.

145. Якщо , то розв’язків немає; якщо або , то два розв’язки; якщо , то три розв’язки; якщо , то чотири розв’язки.

146. При або .

147. При або .

148. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то три розв’язки; якщо , то шість розв’язків; якщо , то чотири розв’язки; якщо , то два розв’язки.

149. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то три розв’язки; якщо , то шість розв’язків; якщо , то чотири розв’язки; якщо , то два розв’язки.

150. Якщо , то розв’язків немає; якщо або , то два розв’язки; якщо , то три розв’язки; якщо , то чотири розв’язки.

151. Якщо , то розв’язків немає; якщо або , то два розв’язки; якщо , то три розв’язки; якщо , то чотири розв’язки.

152. Якщо , то безліч розв’язків; якщо , то два розв’язки; якщо , то розв’язків немає.

153. Якщо або , то безліч розв’язків; якщо , то один розв’язок; якщо або , то розв’язків немає.

154. При .

155. При .

156. При .

157. При або .

158. Якщо , або , або , або , то або ; якщо або , то ; якщо , то розв’язків немає

159. При .

160. При .

161. При або .

162. .

163. При , або , або .

164. При , або , або .

165. При , або , або .

166. При або .

167. При або .

168. При .

169. При .

170. При , .

171. При , .

172. Якщо , то розв’язків немає; якщо або , то два розв’язки; якщо , то три розв’язки; якщо , то чотири розв’язки.

173. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то один розв’язок; якщо , то два розв’язки.

174. При .

175. Якщо , то , ; якщо , то , ; якщо , то , ; якщо , то ; якщо , то розв’язків немає.

176. Якщо або , то ; якщо , то ; якщо , то , ; якщо , то ; якщо , то .

177. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то , ; якщо , то , , ; ; якщо , то , , ; якщо , то , .

178. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то ; якщо , то , .

179. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то ; якщо , то , або , або , або ; якщо , то , або , або ; якщо , то або .

180. Якщо або , то розв’язків немає; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то або .

181. При .

182. При .

183. При .метра ї трапеції, описаної навколо кола, дорівнює добутку її основ.ю

184. При .

 

Нерівності

185. .

186. .

187. .

188. .

189. .

190. .

191. .

192. .

193. .

194. .

195. .

196. .

197. .

198. .

199. .

200. .

201. .

202. .

203. .

204. .

205. .

206. .

207. .

208. .

209. .

210. .

211. .

212. .

213. .

214. .

215. .

216. .

217. .

218. .

219. .

220. .

 

Нерівності з параметрами

243. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то ; якщо або , то ; якщо , то .

244. Якщо , то ; якщо , то розв’язків немає; якщо або , то ; якщо , то .

245. Якщо , то або ; якщо , то .

246. Якщо , то ; якщо , то .

247. Якщо , то ; якщо , то , або , або ; якщо , то , або , або ; якщо , то , або , або ; якщо , то або .

248. Якщо , то або ; якщо , то , або , або ; якщо , то , або , або ; якщо , то , або , або ; якщо , то або .

249. Якщо , то ; якщо , то ; якщо , то розв’язків немає; якщо , то .

250. При .

251. При .

252. При .

253. При .

254. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то ; якщо , то або .

255. Якщо , то ; якщо , то розв’язків немає.

256. Якщо , то безліч розв’язків; якщо , то або ; якщо , то або .

 

Системи рівнянь

257. ; .

258. ; .

259. ; .

260. ; ; ; .

261. ; ; ; .

262. ; ; ; .

263. ; ; ; .

264. .

265. ; .

266. ; .

267. ; .

268. ; ; .

269. ; .

270. ; .

271. .

272. .

273. ; ; ; .

274. ; ; ; .

275. ; ; ; .

276. ; ; ; .

277. ; ; ; .

278. ; ; ; .

279. .

280. ; .

281. .

282. .

283. .

284. .

 

Системи рівнянь та нерівностей з параметрами

285. При .

286. При .

287. При .

288. При .

289. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то один розв’язок; якщо , то два розв’язки.

290. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то один розв’язок; якщо , то два розв’язки.

291. При .

292. При .

293. При .

294. При або .

295. При або .

296. При або .

297. При або .

298. При .

299. При .

300. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то один розв’язок.

301. Якщо , то розв’язків немає; якщо , то один розв’язок.

302. При .

303. При .

304. Таких значень параметра не існує.

305. При або .

306. При .

307. При .

308. При .

309. При .

310. При або .

311. При .

312. При .

313. При .

314. При .

 

Кути та відрізки на площині

315. Рис. до завдання.

318. см.

320. см.

 

Трикутник та його елементи

322. .

323. .

324. , .

325. .

326. .

327. .

328. .

329. .

330. .

331. см.

332. см, см, см.

333. .

334. см.

335. , , .

336. см.

337. , , .

338. см.

339. , .

340. .

341. .

342. .

343. .

344. .

345. .

346. см, см.

347. см.

348. см.

349. см.

350. , , .

 

Геометричні побудови у трикутнику

389. Рис. до завдання.

390. Рис. до завдання.

 

Площа трикутника

396. .

397. .

398. .

399. .

400. .

401. .

402. .

403. см².

404. см².

405. см².

407. .

408. .

409. .

410. .

 

Чотирикутник

420. см².

421. см².

422. , .

424. , .

425. дм².

426. .

427. .

428. .

429. .

 

Паралелограм

432. .

433. .

439. см і см або см і см.

443. .

 

Прямокутник і квадрат

444. .

445. , .

447. .

449. см або см.

450. .

 

Трапеція

455. .

456. .

459. см.

460. .

461. см.

464. см, см.

471. см.

472. см, см.

473. .

474. см, см.

475. , .

477. .

478. см².

479. см².

482. см².

 

Коло та його елементи

487. см.

488. .

489. см.

495. .

496. .

497. дм².

499. .

506. .

507. .

509. .

 

Вписаний та описаний трикутник

512. .

513. .

517. см.

520. см.

521. .

522. см, см, см.

523. см.

524. см.

525. .

530. .

534. .

535. см.

536. см.

537. , .

538. см.

539. , .

540. .

541. .

543. .

544. .

547. , .

548. .

549. , , .

556. .

557. Хорда повинна бути максимальною, бути діаметром описаного навколо кола.

558. , .

559. , , .

562. см, см, см.

568. .

 

Вписаний та описаний чотирикутник

571. см.

572. .

573. см.

574. см, см.

575. .

576. см².

577. .

578. .

581. см².

582. .

584. см².

585. .

 

Координати

587. .

588. .

589. .

590. .

591. .

592. .

593. .

 

Вектори

594. .

595. .

596. .

599. .

600. .

Список використаної літератури

 

1. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 9 клас. / М. І. Бурда, О. П. Вашуленко, Н. С. Прокопенко. – Х.: Гімназія, 2010. – 256 с.

 

2. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О. С. Істер, О. І. Глобін, О. В. Комаренко. – К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2011. – 112 с.: іл.

 

3. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9 кл. / О. С. Істер, О. І. Глобін, О. В. Комаренко. – 2-ге вид., доопрац. – К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2012. – 112 с.: іл.

 

4. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9-й кл. / О. І. Глобін та ін. – К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2013. – 168 с.: іл.

 

5. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: 9-й кл. / А. Г. Мерзляк [та ін.]; за ред. М. І. Бурди. – К.: Центр навч.-метод. л-ри, 2014. – 256 с.

 

6. Навчальна програма для загальноосвітніх навчальних закладів “Математика. 5 – 9 класи” (авт. М. І. Бурда, Ю. І. Мальований, Є. П. Нелін, Д. А. Номіровський, А. В. Паньков, Н. А. Тарасенкова, М. В. Чемерис, М. С. Якір).