Департамент освіти і науки Київської обласної державної адміністрації

Київський обласний інститут післядипломної освіти педагогічних кадрів

Відділ освіти Богуславської районної державної адміністрації

Богуславська академічний ліцей № 1

Богуславської районної ради Київської області

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Галина Тропотяга

 

 

Алгебра та початки аналізу

10 клас профільний рівень

 

Збірник завдань для контролю знань

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Богуслав

2020

 

 

 

 

 

 

 

Тропотяга Г. О. Алгебра та початки аналізу. 10 клас. Профільний рівень: Збірник завдань для контролю знань/ Г. О. Тропотяга. – Богуслав, 2020 –  43 с.

 

 

 

 

Посібник відповідає чинній програмі з математики для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів (профільний рівень), містить розробки завдань самостійних та контрольних робіт.

Матеріал, наведений у збірнику, об’єднаний у 6 тем. Кожна тема містить самостійні та контрольні роботи у двох варіантах.

Адресовано  вчителям математики загальноосвітніх навчальних закладів,  учням 10 класу.

 

ЗМІСТ

ВСТУП

Діагностична контрольна робота

І. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Тема 1. Числові множини. Числові функції та їх властивості

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 1

Тема 2. Рівняння та нерівності

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 2

ІІ. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Тема 3. Степенева функція

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 3

Тема 4. Ірраціональні рівняння та нерівності

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 4

III. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Тема 5. Властивості та графіки тригонометричних функцій

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 5

Тема 6. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Самостійна робота 3

Контрольна робота № 6

IV. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Тема 7. Обернені тригонометричні функції. Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 7

Тема 8. Тригонометричні нерівності

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Самостійна робота 3

Контрольна робота № 8

V. ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА її ЗАСТОСУВАННЯ

Тема 9. Похідна функції

Самостійна робота 1

Контрольна робота № 9

Тема 10. Дослідження функцій за допомогою похідної

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Самостійна робота 3

Контрольна робота № 10

Тема 11. Застосування похідної до розв’язування задач, зокрема прикладного змісту

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Контрольна робота № 11 з теми

VI. ПОВТОРЕННЯ, УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ   НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ, РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Самостійна робота 1

Самостійна робота 2

Самостійна робота 3

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

ВСТУП

Збірник містить повну добірку самостійних та контрольних робіт з курсу алгебри та початків аналізу для 10 класу профільного рівня; складений відповідно до вимог чинної програми.

Контрольні роботи розраховані на один урок, самостійні роботи – на 25-40 хвилин, у залежності від теми та рівня підготовки учнів.

Матеріал, наведений у збірнику, об’єднаний у 6 тем, відповідно до навчальної програми 10 класу профільного рівня: «Функції, многочлени, рівняння і нерівності», «Степенева функція», «Тригонометричні функції», «Тригонометричні рівняння і нерівності», «Границя та неперервність функції. Похідна та її застосування», «Повторення, узагальнення та систематизація навчального матеріалу». Кожна тема містить самостійні та контрольні роботи у двох варіантах.

Об’єм самостійних та контрольних робіт є орієнтовним, учитель може варіювати його, виходячи з рівня підготовки учнів та особливостей психолого-педагогічної характеристики класу.

Зміст і структура запропонованого дидактичного матеріалу дозволяє здійснити диференційований контроль навчальних досягнень та об’єктивно оцінити рівень засвоєння учнями програмового матеріалу, підготувати учнів до олімпіад та ЗНО з математики.

Діагностична контрольна робота

Варіант 1

1. Яке з чисел є розв’язком нерівності

а) -1;

б) 0;

в) 1;

г) 2.

2. Яка з наведених систем нерівностей не має розв’язків?

а)

б)

в)

г)

3. На рисунку зображено графік функції Укажіть найбільше значення функції.

а) 1;

б) 3;

в) 2;

г) 4.

4. Розв’яжіть нерівність
5. Вкладник поклав до банку 15000 грн. під 10% річних. Яку суму він отримає через 2 роки?
6. Розв’яжіть систему рівнянь
7. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей

Варіант 2

1. Оцініть значення виразу , якщо

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

2. Розв’язком якої з наведених нерівностей є число 1?

а)	б)
в)	г)

3. На рисунку зображено графік функції Розв’яжіть нерівність

а)	б)
в)	г)

4. Розв’яжіть нерівність
5. Вартість дитячого велосипеда зросла з 260 грн. до 312 грн. На скільки відсотків зросла ціна?
6. Розв’яжіть систему рівнянь
7. Знайдіть область визначення функції
   

І. ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Тема 1. Числові множини. Числові функції та їх властивості

Під множиною в математиці розуміють зібрання, сукупність будь-яких предметів, об’єктів, об’єднаних між собою деякою загальною для них усіх ознакою. Предмети (об’єкти), з яких складається множина, називаються її елементами. Для позначення множин, застосовують великі букви A, В, С..., для позначення елементів — малі а, b, с... Той факт, що елемент а є елементом множини А, записують так: (читається: а є елементом множини А, або а належить А, або а міститься в А, або А містить а). Якщо елемент x не є елементом множини А, то це записується так: (читається: x не є елементом множини А, або x не належить А, або x не міститься в А, або А не містить х).

 Множину можна задати перерахуванням її елементів. Наприклад, якщо A — множина дільників числа 30, то .  Запис означає, що множина A складається із всіх чисел x, що задовольняють нерівності . Умова «x – розв’язок нерівності » називається характеристичною властивістю множини A.

Множина, що має певну кількість елементів називається скінченною. Якщо множина має нескінчену кількість елементів, її називають нескінченною множиною. Множину, яка не має жодного елемента, називають порожньою і позначають так .

Запис означає, що множина А називається підмножиною множини В,  тобто кожний елемент множини А є елементом множини В. 

Загальноприйняті позначення деяких числових множин.

N – множина всіх натуральних чисел;

Z – множина всіх цілих чисел;

Q – множина всіх раціональних чисел;

R – множина всіх дійсних чисел.

Перерізом множин А і В є множина, що складається з елементів, які належать кожній із множин А і В. Позначається : (AB – добуток множин).

Об’єднанням множин А і В є множина, що складається з елементів, які належать хоча б одній із множин А або В. Позначається: (AB – сума множин).

Різницею множин А і В є множина, що складається з усіх елементів множини А, які не належать множині В. Позначається: (A-B – різниця множин).

Між множинами А і В установлено взаємно однозначну відповідність, якщо кожному елементу поставлено у відповідність один елемент , і при цьому кожний елемент b з B відповідає одному й тільки одному елементу a з A.

Множини А і В називаються еквівалентними, якщо між їхніми елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність. Говорять, що множини А і В мають однакову потужність.

Нескінченна множина називається зліченною, якщо вона еквівалентна множині натуральних чисел. Будь-яка нескінченна підмножина A натурального ряду чисел N зліченна.

Незліченні множини – нескінченні множини, елементи яких не можна пронумерувати. Найпростіший приклад – множина всіх точок відрізка Такі множини називаються континуальними. Ірраціональні числа утворюють континуальні множини. Рахункова і континуальна множини не є еквівалентними.

Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу х із множини D (області визначення) ставиться у відповідність єдине число у. Записують цю відповідність так: .

Позначення і терміни:   – область визначення, – область значень,  х – аргумент (незалежна змінна), у – функція (залежна змінна),  – функція, – значення функції у точці .

Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами, де перша координата х «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата – це відповідне значення функції у точці х.

Функцію називають зростаючою на деякому проміжку області визначення функції, якщо для будь-яких двох точок і цього проміжка з нерівності випливає нерівність Якщо для кожних двох точок і даного проміжка з нерівності випливає нерівність, то функцію називають спадною на даному проміжку.

Означення. Монотонною називається функція, яка зростає (або спадає) на всій області визначення.

Якщо з нерівності випливає нерівність, то функцію називають неспадною.

Якщо з нерівності випливає нерівність, то функцію називають незростаючою.

Функція парна, якщо для всіх х з області визначення. Графік парної функції симетричний відносно осі Оу.

Функція непарна, якщо для всіх х з області визначення. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат – точки

Значення аргументу, при яких функція дорівнює 0, називаються нулями функції. Графік функції при таких значеннях аргументу перетинає вісь Ox.

♦ Схема розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля

1. а)

б)

в)

 

2. а) 

                    або

    б) 

 

3. Метод інтервалів для виразів, що містять знак модуля

Алгоритм перетворення виразу, що містить декілька знаків модуля:

1. Прирівняйте кожний вираз, що стоїть під знаком модуля, до нуля і розв’яжіть отримані рівняння.
2. Розмістіть отримані числа на координатній прямій, розбивши її таким чином на інтервали.
3. Дослідіть знак кожного виразу, що стоїть під знаком модуля, на кожному з інтервалів.
4. Знайдіть розв’язок рівняння чи нерівності на кожному з інтервалів, враховуючи те, що:

Оскільки , то граничні точки проміжків будуть враховані двічі.

 

Самостійна робота 1

Множини, операції над множинами. Функції, властивості функцій

Варіант 1	Варіант 2
Знайдіть об’єднання та переріз множин А і В:
Знайдіть значення функції:
якщо	якщо
Знайдіть нулі функції:
;
Чи є парною чи непарною функція:
1)          2) .	1)          2) .
Знайти область визначення функції:

 

Самостійна робота 2

Перетворення графіків функцій. Оборотна та обернена функція

Варіант 1	Варіант 2
Чи є оборотною функція:
Знайти функцію, обернену до даної:
1)    2)	1) 2)
Побудуйте графік функції:

 

Контрольна робота № 1

«Числові множини. Числові функції та їх властивості»

Варіант 1

1. Знайдіть перетин і об’єднання множин А і В, де  А – множина дільників числа 12, В – множина дільників числа 30.
2. Задайте функцію, обернену до функції 
3. Функцію задано графічно. Укажіть:

1) нулі функції;

2) проміжки зростання та спадання;

3) проміжки знакосталості.

4. Дослідіть функцію на парність:

1)           2) ;         3) .

5. Побудувати графік функції:

         2)   

 

 

Варіант 2

1. Знайдіть перетин і об’єднання множин А і В, де А – множина дільників числа 18, В – множина дільників числа 24.
2. Задайте функцію, обернену до функції 
3. Функцію задано графічно. Укажіть:

1) нулі функції;

2) проміжки зростання та спадання;

3) проміжки знакосталості.

4. Дослідіть функцію на парність:

1)       2)

3)

5. Побудувати графік функції:

1) ;             2) .

 

Тема 2. Рівняння та нерівності

Самостійна робота 1

Розв’язування рівнянь та нерівностей

Варіант 1	Варіант 2
Розв’язати рівняння:
1)    2)        3)	1)     2)         3)
Розв’язати нерівність:
1)     2)         3)	1)    2)         3)

 

Самостійна робота 2

Розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля

Варіант 1	Варіант 2
Розв’язати рівняння:
2)
Розв’язати нерівність:
1) ; 2) .	1) ; 2) .
Розв’язати нерівність:
4. При яких значеннях параметра b рівняння не  має коренів.	4. При яких значеннях параметра a рівняння має два різні корені.

 

Контрольна робота № 2

«Рівняння та нерівності»

Варіант 1	Варіант 2
Розв’яжіть нерівність:
1)     2)	1)     2)
Розв’яжіть рівняння:
.	1)       2) .
3. При якому  значенні параметра a остача від ділення многочлена    на двочлен дорівнює 9?	3. При якому  значенні параметра a остача від ділення многочлена       на двочлен дорівнює ?
Розв’яжіть рівняння:
.	.
Розв’яжіть нерівність:
Знайдіть усі значення параметра а, при яких система має єдиний розв’язок:

 

ІІ. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ

Тема 3. Степенева функція

♦ Корінь n–го степеня

Означення. Коренем n–го степеня з числа a називається таке число, n–ий степінь якого дорівнює a (n – натуральне число).

Прийнято такий запис: – показник кореня, a – підкореневий вираз.

Арифметичний корінь – невід’ємне значення кореня.

При – позначення  арифметичного значення кореня.

:

1. при
2. при

 

 

♦ Властивості кореня n – го степеня

=
,
– основна властивість кореня

 

♦ Наслідки

1. Винесення множника з-під знака кореня Корінь непарного степеня

Корінь парного степеня

2. Внесення множника під знак кореня

Корінь непарного степеня

Корінь парного степеня

 

3. Якщо

 

♦ Розв’язування ірраціональних рівнянь та нерівностей

Рівняння або нерівність називаються ірраціональними, якщо невідоме знаходиться під знаком кореня.

1. Рівняння:

а)

б)

2. Нерівності:

а)       

б)

в)     

г)

 

Самостійна робота 1

Перетворення виразів n–го степеня

Варіант 1	Варіант  2
1. Знайдіть значення виразу:
1)       2) 3) ;           4) .	1)       2) 3) ;           4) .
2. Розв’яжіть рівняння:
2) 3)   4)	2) 3)        4)
3. Спростіть вираз:
1)          2).	1)          2).
4. Обчисліть:
5. Побудувати графік функції:

Самостійна робота 2

Степінь із раціональним показником

Варіант 1	Варіант 2
1.Знайдіть значення виразу:
1) ;     2) ;   3) ;     4) .	1) ;             2) ;   3) ;             4) .
2. Спростіть вираз:
1) ;    2) ;    3) ;    4) .	1) ;  2) ;    3) ;   4) .
3. Скоротіть дріб:
1) ;      2) ;     3) .	1) ;      2) ;     3) .

 

Контрольна робота № 3

«Степенева функція»

Варіант 1	Варіант 2
ЧАСТИНА I   (3 бали) Завдання 1-3  містять по 4 варіанти відповідей, з яких тільки ОДНА відповідь є ПРАВИЛЬНОЮ. Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь і запишіть її в зошит.
1. Обчисліть:
1)
а) –128;      б) –2;      в) 2;    г) Інша	а) 513;    б) –3;     в) 9;      г) Інша
2)	2)
а) 9;        б) 13;        в) 3;     г) –1.	а) –8;      б) –10;     в) 14;    г) 152.
3)	3)
а) 81;      б) 20,25;     в) 3;     г) 9.	а) 81;       б) 9;        в) 3;      г) 20,25.
ЧАСТИНА II    (6 балів) 2. Спростіть вираз
3. Розв’яжіть рівняння:
.
4. Знайти область визначення функції
.
ЧАСТИНА III  (3 бали ) 5. Розв’яжіть систему рівнянь

 

 

Тема 4. Ірраціональні рівняння та нерівності

Самостійна робота 1

Розв’язування ірраціональних рівнянь

Варіант 1	Варіант 2
1. Розв’язати рівняння:
1)    2)  3)  4)	1)   2) 3) 4)
2. Розв’язати систему рівнянь:

 

Самостійна робота 2

Розв’язування ірраціональних нерівностей

Варіант 1	Варіант 2
1. Розв’язати нерівність:
1) 2) 3) 4)	1) 2) 3) 4) 4)

 

Контрольна робота № 4

«Ірраціональні рівняння та нерівності»

Варіант 1	Варіант 2
1. Розв’яжіть рівняння :
1) 2)	1) 2)
2. Розв’яжіть нерівність:
2)	2)
3. Розв’яжіть рівняння :
1)     2) 3)	1)     2) 3)
4. Розв’яжіть нерівність:
1)      2) .	1)      2) .
5. Розв’яжіть систему рівнянь:

III. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Тема 5. Властивості та графіки тригонометричних функцій

Означення. Синусом кута (в радіанах) називається ордината точки одиничного кола, яку отримують внаслідок повороту точки на кут навколо точки .

Означення. Косинусом кута (в радіанах) називається абсциса точки одиничного кола, яку отримують внаслідок повороту точки на кут навколо точки .

Означення. Тангенсом кута називається відношення

Означення. Котангенсом кута називається відношення

♦ Значення тригонометричних функцій деяких кутів

	в град.
	в рад.

♦ Знаки тригонометричних функцій

♦ Деякі властивості тригонометричних функцій

Парність і непарність

– парна,

– непарні.

Періодичність

– період тоді

– період , тоді

Якщо – період функції, то – також періоди цієї функції – загальний період для всіх функцій .

♦ Графіки тригонометричних функцій

1. .

2. .

3. .

4. .

 

Самостійна робота 1

Властивості тригонометричних функцій. Період функцій

Варіант 1	Варіант 2
1. Знайти значення виразу :
1) 2) 3)	1) 2)  3)
2. Визначити знак виразу :
1)      2)     3)	1)     2) 3)
3. Обчисліть значення тригонометричних функцій:
4. Знайдіть період функції:
5. Спростіть вираз:
.	1) 2)

 

Самостійна робота 2

Властивості тригонометричних функцій.

Побудова графіків тригонометричних функцій

Варіант 1	Варіант 2
Побудувати графік функції:
;        ;	;

Контрольна робота № 5

«Властивості та графіки тригонометричних функцій»

Варіант 1	Варіант 2
Знайдіть значення виразу:
	1) 2)
Визначте знак виразу:
.	.
Спростіть вираз:
1) 2)	1) 2)
Знайти період функції
Знайдіть значення тригонометричних функцій, якщо
Побудувати графік функції
.

 

Тема 6. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

♦ Формули додавання

1. 
2. 
3. 
4. .

♦ Формули подвійного аргументу

1)

2)

3)

4)

♦ Формули перетворення суми в добуток

1)

2)

3)

4)

♦ Формули перетворення добутку в суму

1. 
2. 
3. 

♦ Формули потрійного аргументу

1. 
2. 
3. 

♦ Формули половинного аргументу

1. 
2. 
3. 
4. ,  

♦ Формули пониження степеня

1. 
2. 
3. 
4. 

♦ Правила зведення

Правило:

1. якщо зміна кута відбувається навколо вертикального діаметра , то назва даної функції змінюється на кофункцію (синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки);
2. якщо зміна кута відбувається навколо горизонтального діаметра , то назва даної функції не змінюється;
3. перед утвореною функцією ставиться той знак, який має функція, що перетворюється.

Самостійна робота 1

Тригонометричні формули додавання. Формули зведення

Варіант 1	Варіант 2
Обчисліть:
1) 2) 3)	1) 2)    3)
Спростіть вираз, використовуючи формули зведення:
Спростити вираз:
1) 2) .		1) 2)  .
Знайти значення виразу:
5. Дано:   ; ; Знайти : .		5. Дано : Знайти : .

 

Самостійна робота 2

Тригонометричні формули

Варіант 1										Варіант 2
Обчисліть:
1)									1)
												1								0
2)									2)
3)									3)
4. Установіть відповідність між виразами (1-4) і виразами, отриманими в результаті їх спрощення (А-Д)
																	1
5. Перетворіть суму на добуток:											5. Перетворіть кожну суму на добуток і спростіть:     .
6. Перетворіть добуток на суму:
7. Спростіть:

 

 

Самостійна робота 3

Перетворення тригонометричних виразів

Варіант 1		Варіант 2
Спростіть вираз:
1) 2) ; 3) 4)		1) 2) ; 3) 4)
Встановіть відповідність між виразами (1-4) та рівними їм виразами (А-Д)
	8; 7;		;
Спростіть вираз:
Подайте у вигляді добутку вираз:
Доведіть тотожність:

 

Контрольна робота № 6

 «Співвідношення між тригонометричними функціями

одного аргументу»

Варіант 1	Варіант 2
Обчисліть:
1)                 2)	1)               2)
Визначте знак виразу:
Обчисліть:
1)        2)	1)        2)
Спростіть вираз:
3)	1) 2)       3)
Знайдіть значення тригонометричних функцій, якщо
Спростіть вираз:
1) 2) 3)	1) 2) 3)
Доведіть тотожність:

 

IV. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Тема 7. Обернені тригонометричні функції. Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь

♦ Означення.

Арксинусом числа b, де називають таке число з проміжку синус якого дорівнює b. Позначається:

Арккосинусом числа b, де називають таке число з проміжку косинус якого дорівнює b. Позначається:

Арктангенсом числа b, де називають таке число з проміжку тангенс якого дорівнює b. Позначається:

Арккотангенсом числа b, де називають таке число з проміжку котангенс якого дорівнює b. Позначається:

♦ Властивості

1. 
2. 
3. 
4. 

♦ Найпростіші тригонометричні рівняння

1. 

частинні випадки:

2. 

частинні випадки: 

3. 
4. 

♦ Деякі типи тригонометричних рівнянь

Рівняння виду або де – деякі числа, є однорідними.

1. Рівняння    зводяться до квадратних відносно  нової змінної  t, де  або
2. Рівняння  зводиться до рівняння або почленним діленням на   або
3. Рівняння  виду можна розв’язати за допомогою розкладання на множники (звести до одного аргументу, застосувавши формулу подвійного кута).
4. Рівняння можна подати у вигляді де – допоміжний кут, такий що ,
5. Використання рівності однойменних тригонометричних функцій при розв’язуванні тригонометричних рівнянь:

якщо то

якщо

6.  Універсальна підстановка для розв’язуванні тригонометричних рівнянь:

             

7. Формули пониження степеня:

;          

Найпростіші тригонометричні нерівності – це нерівності виду   (аналогічні нерівності для функцій та ).

Вісь синусів співпадає з віссю Оу, вісь косинусів – з віссю Ох, вісь тангенсів – це пряма х = 1, вісь котангенсів – це пряма у = 1.

♦ Схема розв’язування нерівності .

1. на осі позначити число .
2. провести пряму (через число а паралельно осі Ох).
3. позначити точки перетину прямої у = а з одиничним колом у вигляді порожнього кружечка, якщо нерівність строга, або зафарбованого, якщо вона нестрога, та вкажіть відповідні точки
4. якщо нерівність містить
   знак ), то вибрати дугу кола, розташовану вище прямої , а якщо знак ) – нижче прямої .
5. за допомогою стрілки вказати на дузі додатний напрям.
6. записати відповідь у вигляді проміжку від початку дуги до кінця (стрілки), враховуючи періодичність функції.

♦ Схема розв’язування нерівності

1. на осі Ох позначити число а.
2. провести пряму (через число а паралельно осі Оу).
3. позначити точки перетину прямої з одиничним колом у вигляді порожнього кружечка, якщо нерівність строга, або зафарбованого, якщо вона нестрога, та вкажіть відповідні точки
4. якщо нерівність містить знак ), то вибрати дугу кола, розташовану праворуч від прямої х = а, а якщо знак)  –  ліворуч від прямої.
5. за допомогою стрілки вказати на дузі додатний напрям.
6. записати відповідь у вигляді проміжку від початку дуги до кінця (стрілки), враховуючи періодичність функції.

♦ Схема розв’язування нерівності

1. провести вісь тангенсів (пряма паралельна осі Оу і є дотичною до одиничного кола у точці ).
2. на осі тангенсів позначити точку .
3. cполучити точку А з початком координат і позначити точку перетину відрізка ОА з одиничним колом  
4. якщо нерівність містить знак , то вибрати дугу кола від точки до точки , а якщо знак –  вибрати дугу кола від точки до точки .
5. записати відповідь у вигляді проміжку від початку дуги до кінця (стрілки), враховуючи періодичність функції.

Функція визначена при .

♦ Схема розв’язування нерівності

1. провести вісь котангенсів (пряма паралельна осі Ох і є дотичною до одиничного кола у точці ).
2. на осі котангенсів позначити точку
3. сполучити точку з початком координат і позначити точку перетину відрізка ОА з одиничним колом  
4. якщо нерівність містить знак , то вибрати дугу кола від точки до точки , а якщо знак –  вибрати дугу кола від точки до точки
5. Записати відповідь у вигляді проміжку від початку дуги до кінця (стрілки), враховуючи періодичність функції.

Функція визначена при

 

Самостійна робота 1

Найпростіші тригонометричні рівняння.

Тригонометричні рівняння виду

Варіант 1	Варіант 2
Розв’язати рівняння:
3)              4) 5)            6) 7) 8) 9)	2) 3)            4) 5)            6) 7) 8) 9)

 

 

Самостійна робота 2

Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь

Варіант1	Варіант 2
Розв’яжіть рівняння:

 

 

 

Контрольна робота № 7

«Обернені тригонометричні функції. Основні способи розв’язування тригонометричних рівнянь»

Варіант 1		Варіант 2
Обчисліть:
Встановіть відповідність:
3. Розв’язати рівняння:
4. Знайдіть корені рівняння:
на проміжку .		на проміжку .
5. Знайдіть найбільший від’ємний  корінь рівняння:		5. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

 

 

Тема 8. Тригонометричні нерівності

Самостійна робота 1

Розв’язування систем тригонометричних рівнянь

Варіант1	Варіант 2
Розв’яжіть системи рівнянь:

 

Самостійна робота 2

Розв’язування тригонометричних нерівностей

Варіант 1	Варіант 2
Розв’язати нерівність:
;       ; ;   ; .	;      ; ;   ; .

 

Самостійна робота 3

Розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей
з параметрами

Варіант 1	Варіант 2
1. Розв’язати нерівність:
1)      2) 3)	1)      2) 3)
2. Розв’язати рівняння:
3. Розв’язати рівняння для всіх значень параметра a:
1) 2)	1) 2)

 

Контрольна робота № 8

«Тригонометричні нерівності»

Варіант 1	Варіант 2
Розв’яжіть систему рівнянь:
2. Розв’язати нерівність:
3)	1) 2) 3) 4)
При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки?

V. ГРАНИЦЯ ТА НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ПОХІДНА ТА її ЗАСТОСУВАННЯ

Тема 9. Похідна функції

Означення. Число А називається границею функції при , що прямує до a , якщо для будь-якого існує число таке, що із нерівності випливає нерівність Записують так:

♦ Теореми про границю

1. Якщо функція має границю при то ця границя – єдина.
2. Границя неперервної функції при дорівнює значенню функції в точці a.
3. Границя сталої функції дорівнює цій же сталій

де – стала.

4. Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) їхніх границь, при умові, що границі доданків існують

5. Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують

6. Сталий множник можна виносити за знак границі

7. Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю 

♦ Перша визначна границя  

Нехай функція визначена на всій числовій прямій. Число В називається границею при , якщо для довільного знайдеться таке число що для всіх які задовольняють виконується нерівність

Якщо то

Якщо то

Якщо і то

♦ Способи обчислення границь

1. Для будь-якого многочлена  
2. Якщо число входить до області визначення дробово-раціональної функції то .
3. Якщо в результаті підстановки одержали вираз , то:

а) спробувати розкласти чисельник та знаменник на  множники і скоротити дріб;

б) якщо дріб не можна скоротити, то слід чисельник і знаменник домножити на вираз, спряжений із знаменником (або чисельником), а потім скоротити дріб;

в) якщо під знаком границі стоять тригонометричні функції або обернені тригонометричні функції, то зводимо до першої визначеної границі якщо  

Означення. Похідною функції у даній точці x називається границя відношення приросту функції до відповідного приросту аргументу за умови, що тобто

  (за умови, що ця границя існує). Функція, яка має похідну, називається диференційованою.

♦ Геометричний зміст похідної. Дотичною до кривої в даній точці А називається граничне положення січної АВ, коли точка В прямує вздовж кривої до точки А. Значення похідної в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної.

– кутовий коефіцієнт дотичної з рівнянням .

  

– рівняння дотичної до графіка функції в точці з абсцисою .

♦ Механічний зміст похідної. Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу; похідна за часом є міра швидкості зміни, застосована до найрізноманітніших фізичних величин. Якщо функція описує рух матеріальної точки, тобто залежність пройденої відстані від часу , то її похідна задає залежність миттєвої швидкості  від часу , ; похідна швидкості відповідно є прискоренням

 

♦ Таблиця похідних  функцій

Функція	Похідна
	1

 

♦ Таблиця похідних  складених функцій

Функція	Похідна

 

♦ Правила диференціювання

1. Сталий множник можна виносити за знак похідної.

– константа.

2. Похідна суми функцій:
3. Похідна добутку функцій:

4. Похідна частки функцій:
5. Похідна складеної функції (функції від функції):

 

Самостійна робота 1

Похідна функції. Похідна складеної функції. Рівняння дотичної

Варіант 1	Варіант 2
Знайти похідну функції:
1)       2) ; 3)             4)	1)     2) ; 3)            4)
Складіть рівняння дотичної до графіка функції в точці :
,	,
Знайти похідну функції:
4. Знайти рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна прямій	4. Знайти рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна прямій

 

Контрольна робота № 9

«Похідна функції»

Варіант 1	Варіант 2
Знайти похідну функції:
1)         2) 3)          4) 5)          6) .	1)         2) 3)                    4) 5)      6) .
Скласти рівняння дотичної до графіка функції
в точці	в точці
Точка рухається прямолінійно за законом
Знайти швидкість  руху в момент часу	Знайти швидкість руху в момент часу
4. Скласти і розв’язати рівняння  , якщо	4. Розв’язати нерівність , якщо
5. Знайти множину розв’язків нерівності , якщо	5. Скласти і розв’язати рівняння , якщо

 

Тема 10. Дослідження функцій за допомогою похідної

♦ Застосування похідної.

1. Рівняння дотичної, яка проходить через точку знаходимо:

1. записуємо рівняння дотичної   ;
2. знаходимо ;
3. знаходимо
4. значення і підставляємо у рівняння.

♦ Проміжки монотонності та екстремуми функції.

Достатні умови:

1. Якщо функція диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не від’ємна. Тобто, якщо на проміжку, то функція зростає на цьому проміжку.
2. Якщо функція диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна. Тобто, якщо на проміжку, то функція спадає на цьому проміжку.
3. Внутрішні точки області визначення функції , у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними. Отже, для того щоб точка  була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.
4. Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від’ємна, а праворуч – додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.
5. Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а праворуч – від’ємна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює знак з «+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму.
6. Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна або від’ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.

♦ Проміжки опуклості й точки перегину.

Функція , визначена на проміжку , називається опуклою донизу (догори), якщо на цьому проміжку її графік розміщено не нижче (не вище) дотичної до графіка, проведеної в довільній його точці.

Якщо функція неперервна у точці  і змінює характер опуклості при переході через цю точку, тоді точка  називається точкою перегину.

Достатня умова для визначення характеру опуклості функції:

Якщо при функція є диференційованою і виконується нерівність , то функція опукла донизу на цьому проміжку.

Якщо при виконується нерівність , то функція опукла догори на цьому проміжку.

Якщо , причому ліворуч і праворуч від точки   має різні знаки, то  – точка перегину.

♦ Найбільше та найменше значення функції.

Теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на відрізку то серед її значень на цьому відрізку є найменше і найбільше.

Алгоритм знаходження найменшого та найбільшого значення функції , яка має на відрізку скінченну кількість критичних точок:

1. знайти критичні точки функції на інтервалі ;
2. обчислити значення функції у критичних точках;
3. обчислити і
4. серед знайдених значень функції вибрати найбільше і найменше.

Це і будуть найбільше: та найменше: значення функції на відрізку .

♦ Досліждження функції та побудова її графіка.

Алгоритм досліждження функції та побудова її графіка:

1. Знаходимо область визначення функції
2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями.
3. З’ясовуємо парність (непарність), періодичність функції.
4. Знаходимо похідну та стаціонарні точки.
5. Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму та екстремальні значення функції.
6. З’ясовуємо поведінку функції на кінцях області визначення.
7. На підставі проведеного дослідження будуємо графік функції.

Самостійна робота 1

Проміжки монотонності функції. Екстремуми функції

Варіант 1	Варіант 2
1. Знайдіть стаціонарні точки функції :
2. Знайдіть екстремуми функції
3. Знайдіть проміжки монотонності функції:
.	.
4. Знайдіть точки екстремуму функції :
.	.

 

 

Самостійна робота 2

Дослідження функції за допомогою похідної.

Побудова графіка функції

Варіант 1	Варіант 2
Дослідіть функцію та побудуйте її графік:
.	.

 

 

Самостійна робота 3

Найбільше та найменше значення функції

Варіант 1	Варіант 2
1. Знайдіть найменше та найбільше значення функції на заданому відрізку :
, ; ,	, ;
2. З усіх прямокутників з діагоналлю 18 см знайдіть прямокутник з найбільшої площі.	2. З усіх прямокутників з площею     25 знайдіть прямокутник з найменшим периметром.
3. Знайдіть найменше та найбільше значення функції на відрізку	3. Знайдіть найменше та найбільше значення функції на відрізку

 

Контрольна робота № 10

«Дослідження функцій за допомогою похідної»

Варіант 1	Варіант 2
Знайти проміжки монотонності функції:
.	.
Знайти екстремуми функції:
.	.
Знайдіть найбільше і найменше значення  функції
на відрізку .	на відрізку .
Дослідити функцію та побудувати її графік:
.	.
5. З усіх прямокутників з діагоналлю 18 см знайдіть прямокутник найбільшої площі.	5. Число 12 представити у вигляді суми двох додатних доданків так, щоб сума їх квадратів була найменшою.
6. При яких значеннях параметра а точка є точкою мінімуму функції	6. При яких значеннях параметра а точка є точкою максимуму функції

 

 

 

Тема 11. Застосування похідної до розв’язування задач, зокрема прикладного змісту

Самостійна робота 1

Проміжки опуклості та увігнутості  функції

Варіант 1	Варіант 2
Знайдіть проміжки опуклості та увігнутості функції:
Дослідіть функцію та побудуйте її графік:
.

 

Самостійна робота 2

Застосування похідної до розв’язування рівнянь та нерівностей

Варіант 1	Варіант 2
Визначте кількість коренів рівняння:
Укажіть тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції
у точці	у точці
Розв’яжіть рівняння:
Доведіть, що:
при

 

Контрольна робота № 11

«Застосування похідної до розв’язування задач,

зокрема прикладного змісту»

Варіант 1	Варіант 2
Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції
в точці .	в точці .
Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом
(S – в метрах, t – в секундах). Визначте в який момент часу з проміжку швидкість точки буде найбільшою, і знайдіть значення швидкості в цей момент.	(S – в метрах, t – в секундах). Визначте в який момент часу з проміжку швидкість точки буде найбільшою, і знайдіть значення швидкості в цей момент.
3. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної проведеної до графіка функції , в точці Запишіть рівняння цієї дотичної.	3. Знайдіть тангенс кута нахилу дотичної проведеної до графіка функції , в точці Запишіть рівняння цієї дотичної.
4. Число 14 представити у вигляді суми трьох додатних доданків так, що перший відноситься до другого як 1:3, а сума куба першого та квадратів другого і третього набуває найменшого значення.	4. Число 24 представити у вигляді суми трьох додатних доданків так, що перший відноситься до другого як 1:2, а сума кубів першого і другого та квадрата третього набуває найменшого значення.
5. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції   у точці з абсцисою	5. Складіть рівняння дотичної до графіка функції яка проходить через точку

 

VI. ПОВТОРЕННЯ, УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ   НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ, РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ 

 

Самостійна робота 1

Функції, їхні властивості та графіки.

Розв’язування рівнянь та нерівностей

(повторення)

Варіант 1	Варіант 2
Розв’язати рівняння:
	1)      3)
Знайти область визначення функції:
Побудувати графік функції:
.	.

 

Самостійна робота 2

Степеневі функції, їхні властивості та графіки

 (повторення)

Варіант 1	Варіант 2
Знайдіть значення виразу:
.	1)     2)    3) .
Спростити вираз:
1)        2)	1)        2)
Розв’яжіть рівняння:
1) 2) ; 3)	1) 2) ; 3)

 

Самостійна робота 3

Тригонометричні  функції.

Тригонометричні рівняння та нерівності (повторення)

Варіант 1	Варіант 2
1. Розв’яжіть нерівності :
.	.
2. Розв’язати  рівняння :
1) ;  2)	;
3. При яких значеннях параметра a рівняння
має розв’язки?	має розв’язки?

 

Підсумкова контрольна робота за рік

Варіант 1	Варіант 2
1. Спростити вираз:
;         2)	;          2)      3)
2. Розв’яжіть нерівність:
.
3. Складіть рівняння дотичної до графіка функції  у точці його перетину з віссю абсцис.	3. Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції
4. Дослідити функцію та побудувати її графік.
5. Знайти, при яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Сімонова Н.Д. Помічник з алгебри та початків аналізу. Довідник з алгоритмами розв’язання задач. – Харків.: Видавнича група «Основа», 2004. – 186 с.
2. Гальперіна А.Р., Золотарьова І.О. Алгебра і початки аналізу. 10 клас: Збірник завдань для контролю знань. – ТОВ «Видавництво «Ранок», 2010. – 176 с. 
3. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., та ін. Алгебра. 11 клас: Збірник задач і контрольних робіт. – Харків.: Гімназія, 2016. – 95 с.
4. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., та ін. Алгебра і початки аналізу. 10 клас. Профільний рівень.: Збірник задач і контрольних робіт. – Харків.: Гімназія, 2018. – 143 с.
5. Єршова А.П., Голобородько В.В. Алгебра і початки аналізу. 10 – 11 клас.: Самостійні та контрольні роботи. – Харків.: Гімназія, 2004. – 176 с.
6. Роганін О.М. Шкільний курс математики.: Короткий довідник. – Харків.: «Факт», 2005. – 144 с.
7. Алгебра і початки аналізу в таблицях. 7 – 11 класи. Навчальний посібник. Науково-методичний центр^тм, 2003. – 248 с.
8. Пастушенко С.М., Підченко Ю.П. Вища математика. Основні поняття, формули, зразки розв’язування задач.: Посібник для студентів вищих закладів освіти. – Київ, 2003. – 160 с.
9. https://www.slideshare.net/Lou24112013/ss-41298284
10. https://subject.com.ua/mathematics/zno/99.html
11. https://znanija.com/task/23758981
12. https://mathab.com.ua/pochatki-analizu/poxidna/poxidna-funkciї-її-geometrichnij-ta-mexanichnij-zmist.html