збірник завдань до проекту 10 клас алгебра "Тригонометричні рівняння та нерівності"

Про матеріал

Матеріали до проекту "Тригонометричні рівняння та нерівності" 10 клас алгебра

Перегляд файлу

Назва проекту:

«Тригонометричні рівняння та нерівності»

10 клас алгебра

Збірник

«Різні види тригонометричних рівнянь

і нерівностей та методи їх розв'язування»

Керівник проекту: вчитель математики Мохова Ольга Петрівна

Зміст.

1. Зведення до однієї функції одного виду

2. Зведення до однієї функції другого виду

3. Однорідні рівняння відносно Sinx та Cosx.

4. Рівняння, які приводять до однорідних.

5. Використання формули $a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0$

6. Заміна $\sin2x\to\sin x\cos x\to\sin x+\cos x,\sin x-\cos x$

7. Розкладання на множники

8. Зниження степеня

9. Порівняння лівої та правої частини

Основні прийоми рішення тригонометричних

рівнянь та нерівностей.

Деякі тригонометричні рівняння можна привести шляхом тотожних перетворень до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.

1. Зведення до однієї функції

$\cos^2x$ заміняємо на $\sin^2 x$ , ${\rm tg}\, x$ – на ${\rm ctg}\, x$ .

Приклад 1.
$\begin{array}{l} \sin^2 x+2\sin x-3\cos^2x+1=0,\\ \sin^2x+2\sin x-3+3\sin^2x+1=0,\\ \sin x=t,\\ 4t^2+2t-2=0,\\ 2t^2+t-1=0. \end{array}$

$\begin{array}{ll} 1)\ \sin x=-1&2)\ \sin x=1/2\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}& \displaystyle x=(-1)^k{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z} \end{array}$

Приклад 2.
$\begin{array}{l} {\rm ctg}\, x-3{\rm tg}\, x=0,\\ \displaystyle {1\over {\rm tg}\, x}-3{\rm tg}\, x=0,\\[3mm] 1-3{\rm tg}^2x=0\\ \displaystyle {\rm tg}^2x={1\over 3}\quad(\Longrightarrow\cos x\ne0,\sin x\ne0),\\[3mm] \displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{1\over\sqrt{3}},\\[2mm] \displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k. \end{array}$

2. $\cos2x$ заміняємо на $\cos x$ , $\cos2x$ – на $\sin x$ , ${\rm tg}\,2x$ – на ${\rm tg}\, x$ .

Приклад 1.

$\begin{array}{l} 2\cos2x=8\cos x-1,\\ \cos x=t,\\ 4t^2-8t-1=0,\\ {\cal D}/4=20,\\ \displaystyle t={4\pm2\sqrt{5}\over 4}={2\pm\sqrt{5}\over 2}. \end{array}$
1) $\displaystyle\cos x={2+\sqrt{5}\over 2}$ 2) $\displaystyle\cos x={2-\sqrt{5}\over 2}$ ,
В першому випадку рішення немає, в другому $\displaystyle x=\pm\arccos{2-\sqrt{5}\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$ .

Приклад 2.

$\begin{array}{l} {\rm tg}\,2x=3{\rm tg}\, x,\\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}=3{\rm tg}\, x, \end{array}$
$\begin{array}{ll} 1)\ {\rm tg}\, x=0&2)\ {\rm tg}\, x\ne0,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle {2\over 1-{\rm tg}^2x}=3,\\[3mm] &3{\rm tg}^2x-1=0,\\ &{\rm tg}^2x=1/3\Rightarrow\cos x\ne0,\ {\rm tg}^2x\ne1,\\ &\displaystyle {\rm tg}\, x=\pm{\sqrt{3}\over 3},\\[3mm] &\displaystyle x=\pm{\pi\over 6}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Приклад 3.

$\begin{array}{ll} {\rm tg}\,2x=3{\rm ctg}\, x&\\ 1)\ \displaystyle {2{\rm tg}\, x\over 1-{\rm tg}^2x}={3\over {\rm tg}\, x}\ (\cos x\ne0)&\displaystyle \cos x=0\Longleftrightarrow x={\pi\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] 2{\rm tg}^2x=3-3{\rm tg}^2x&\Longrightarrow{\rm tg}\,2x={\rm tg}\,(\pi+2\pi k)=0,\\ 5{\rm tg}^2x=3&{\rm ctg}\, x=0,\\ \displaystyle{\rm tg}\, x=\pm\sqrt{3\over 5}\Longrightarrow\cos x\ne0,{\rm tg}^2x\ne1&\\ \displaystyle x=\pm{\rm arctg}\,\sqrt{3\over 5}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}$

3. Однорідні рівняння відносно $\sin x,\cos x$ .

$\begin{array}{l} a\sin x+b\cos x=0,\\ a\sin^2x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0. \end{array}$
Якщо $a\ne0$ , то поділивши обидві частини рівняння на $\cos x$ или на $\cos^2 x$ , отримаємо рівносильні рівняння. Дійсно, нехай — корінь рівняння і $\cos x_0=0$ . При підстановці у рівняння, отримаємо що і $\sin x_0=0$ , а це неможливо.

Приклад.

$\begin{array}{ll} 2\sin^2x-3\sin x\cos x+\cos^2x=0,&\\ 2{\rm tg}^2x-3{\rm tg}\, x+1=0,&\\ 1)\ {\rm tg}\, x=1&2)\ {\rm tg}\, x=1/2,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{1\over 2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

4. Рівняння, які приводять до однорідних.

а) Множення на $\sin^2x+\cos^2x$

Пример.
$\begin{array}{l} \sin2x(\sin x+\cos x)=4\sin x-2\cos x,\\ \sin2x\sin x+\sin2x\cos x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 2\sin^2x\cos x+2\cos^2x\sin x=4\sin^3x-2\cos x\sin^2x+ 4\sin x\cos^2x-2\cos^3x,\\ 4\sin^3x-4\sin^2x\cos x+2\sin x\cos^2x-2\cos^3x=0,\\ 2{\rm tg}^3x-2{\rm tg}^2x+{\rm tg}\, x-1=0,\\ ({\rm tg}\, x-1)(2{\rm tg}^2x+1)=0,\\ {\rm tg}\, x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

б) Перехід до половинного аргументу

Приклад.
$\begin{array}{l} 11\sin x-2\cos x=10,\\ \displaystyle 22\sin{x\over 2}\cos{x\over 2}-2\cos^2{x\over 2}+2\sin^2{x\over 2}=10\sin^2{x\over 2}+10\cos^2{x\over 2},\\[3mm] \displaystyle 4{\rm tg}^2{x\over 2}-11{\rm tg}\,{x\over 2}+6=0,\\[5mm] \displaystyle {\rm tg}\,{x\over 2}={11\pm\sqrt{121-96}\over 8}={11\pm5\over 8}. \end{array}$

$\begin{array}{ll} \displaystyle \displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}=2&\displaystyle{\rm tg}\,{x\over 2}={3\over 4},\\[3mm] x=2{\rm arctg}\,2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x={\rm arctg}\,{3\over 4}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

5. Використання формули

$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+{\rm arctg}\,(b/a)), a>0$

Приклад.
$\begin{array}{l} \sin x+\cos x=1,\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1,\\ \sin(x+\pi/4)=\sqrt{2}/2,\\ x=\pi k,\ k\in\mathbb{Z};\ x=\pi/2+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

6. Заміна $\sin2x\to\sin x\cos x\to\sin x+\cos x,\sin x-\cos x$ .
Приклад.
$\begin{array}{l} \displaystyle{1\over \sin x}-{1\over \cos x}=1,\\[3mm] \cos x-\sin x=\sin x\cos x,\\ \cos x-\sin x=t,\\ \displaystyle \sin x\cos x={1-t^2\over 2},\\[3mm] 1-t^2=2t,\\ t^2+2t-1=0,\\ t=-1\pm\sqrt{2}. \end{array}$

$\begin{array}{ll} \cos x-\sin x=-1+\sqrt{2}&\cos x-\sin x=-1-\sqrt{2},\\ -\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1+\sqrt{2}&-\sqrt{2}\sin(x-\pi/4)=-1-\sqrt{2},\\ x=\pi/4+{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\emptyset,\\ x=5\pi/4-{\rm arcsin}\,(1-1/\sqrt{2})+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.& \end{array}$

7. Розкладання на множники

1. Формули перетворення суми в добуток

Формулы

$\begin{array}{l} \sin2x=2\sin x\cos x,\\ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x,\\ \sin^2x=1-\cos^2x,\\ \cos^2x=1-\sin^2x. \end{array}$

Приклад 1.

$\begin{array}{ll} \cos2x=\cos x+\sin x,&\\ 1)\ \cos x+\sin x=0,&2)\ \cos x-\sin x=1,\\ 1+{\rm tg}\, x=0,&-\sqrt{2}\sin(x+{\rm arctg}\,(-1))=1,\\ {\rm tg}\, x=-1,&\displaystyle\sin\left( x-\pi/4\right)=-{\sqrt{2}\over 2},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}&\displaystyle x-{\pi\over 4}=-{\pi\over 4}+2\pi k,\ x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] &\displaystyle x-{\pi\over 4}={5\pi\over 4}+2\pi k,\ x={3\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Відповідь. $\displaystyle\left\{ 2\pi k,{3\pi\over 2}+2\pi k|k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Приклад 2.

$\begin{array}{l} \sin x+\sin^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x+1-\cos^2x+\cos^3x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1-\sin^2x)\cos x=0,\\ \sin x(1+\sin x)+(1+\sin x)(1-\sin x)\cos x=0,\\ 1)\ 1+\sin x=0,\\ \sin x=-1,\\ \displaystyle x=-{\pi\over 2}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ 2)\ \sin x+(1-\sin x)\cos x=0,\\ \sin x+\cos x=t,\\ \displaystyle\sin x\cos x={1\over 2}(t^2-1),\\[3mm] \displaystyle t-{1\over 2}t^2+{1\over 2}=0,\\[3mm] \displaystyle {1\over 2}t^2-t+{1\over 2}=0,\\[3mm] t=1\pm\sqrt{2}. \end{array}$

$1)\ \sin x+\cos x=1+\sqrt{2}>\sqrt{2}$ , рішення немає,

$\begin{array}{l} 2)\ \sin x+\cos x=1-\sqrt{2},\\ \sqrt{2}\sin(x+\pi/4)=1-\sqrt{2},\\ \displaystyle x+{\pi\over 4}=\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x=-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x+{\pi\over 4}=\pi-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\[3mm] \displaystyle x={3\pi\over 4}-\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

Відповідь. $\displaystyle\left\{-{\pi\over 2}+2\pi k,-{\pi\over 4}+\arcsin{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\right.$ , $\displaystyle\left.{3\pi\over 4}-{\rm arcsin}\,{1-\sqrt{2}\over \sqrt{2}}+2\pi k\left.\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

8. Зниження степеня

Формули

$\begin{array}{l} \displaystyle \cos\alpha\cos\beta={1\over 2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\sin\beta={1\over 2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \sin\alpha\cos\beta={1\over 2}(\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)),\\[3mm] \displaystyle \cos^2\alpha={1\over 2}(1+\cos2\alpha),\\[3mm] \displaystyle \sin^2\alpha={1\over 2}(1-\cos2\alpha). \end{array}$

9. Порівняння лівої та правої частини

Приклад 1.

$\begin{array}{l} 2\sin^35x+7\cos5x=9,\\ 2\sin^35x\le2,\\ 7\cos5x\le7,\\ 2\sin^35x+7\cos^5x\le9,\\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \sin5x=1,\\ \cos5x=1, \end{array}\right. \end{array}$

А це неможливо. Відповідь: немає рішення
Приклад 2.

$\begin{array}{l} \displaystyle\sin^{19}x+\cos^{19}x={\pi\over 3},\\[3mm] \sin^2x+\cos^2x=1,\\ \left.\begin{array}{l} \sin^{19}x\le\sin^2x,\\ \cos^{19}x\le\cos^2x, \end{array}\right|\Rightarrow\sin^{19}x+\cos^{19}x\le1,\\ \pi/3>1. \end{array}$

Відповідь: немає рішення
Приклад 3.

$\begin{array}{l} \sin3x+\sin7x=2,\\ \left\{\begin{array}{l} \sin3x=1,\\ \sin7x=1, \end{array}\right.\\[5mm] \sin3x=1,\\ \displaystyle x={\pi\over 6}+{2\pi k\over 3},\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}$

нехай
$x\in[0;2\pi[,\displaystyle x\in\left\{{\pi\over 6};{5\pi\over 6};{3\pi\over 2}\right\} . $

Підставимо значення в друге рівняння:

$\displaystyle \sin{7\pi\over 6}\ne1;\ \sin{35\pi\over 6}\ne1;\ \sin{21\pi\over 2}=1.$

Відповідь. $\displaystyle\left\{\left.{3\pi\over 2}+2\pi k\right| k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Приклад 4.
$\begin{array}{l} \cos^3x\cos2x=-1,\\ |\cos x|\le1,\ |\cos2x|\le1,\ |\cos^3x\cos2x|\le1,\\ \left\{\begin{array}{l} \cos x=1,\\ \cos2x=-1, \end{array}\right.\end{array}$