Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Алгебра - 9 клас

 

Тема уроку: Арифметична й геометрична прогресії, їх означення та властивості. Формули n – го члена кожної прогресії.

Мети уроку:

• ввести означення арифметичної й геометричної прогресій;
• працювати над засвоєнням учнями відповідної термінології (різниці арифметичної прогресії та знаменника геометричної прогресії; рекурентної формули та характеристичних властивостей прогресій);
• вивести формули n – го члена для кожної прогресії;
• формувати навички використання формул для розв’язування задач основного рівня;
• розвивати здатність установлювати залежності, визначати подібність і відмінність між об’єктами;
• виховувати самостійність у вивченні нового матеріалу; культуру математичної мови.

Тип уроку: засвоєння нових знань, формування вмінь і навичок.

 

ХІД   УРОКУ

 

1. Організаційний момент.

2. Слово вчителя: Добрий день! Сьогодні ми з вами здійснимо захоплюючу подорож у країну ПРОГРЕСІЙ. На  шляху подорожі ми будемо зупинятися на різних станціях і виконувати всі запропоновані завдання з нової теми. Пропоную вам девізом нашої подорожі такі слова (написані на плакаті й висять над дошкою):

„У математиці варто пам’ятати не формули,

а  процеси мислення”.

У подорожі по країні Прогресій  будуть допомагати учні вашого класу, які спеціально готувалися до сьогоднішнього уроку, мали випереджальні завдання з нової теми. Отже, щасливої дороги й міцних знань!

 

3. Етап актуалізації опорних знань.

 

Зупинка „Воруши мозком!”

* Перед вами кілька числових послідовностей. Вам необхідно продовжити кожну з них ще двома членами, але при цьому ви повинні усвідомити закон, за яким складена кожна з послідовностей:

 

1) 6, 8, 10...    2) 25, 21, 17…  3) –2, 4, –8…

4) –5, –7, –9...   5) 32, 16, 8…  6), , …

 А тепер постарайтеся розділити ці послідовності в два стовпчики, сформулювавши загальний закон їхнього складання.

 

Зупинка „Теоретична”

*   Вводиться означення арифметичної й геометричної прогресій:

(підручник А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір. Алгебра 9 кл. – Харків, „Гімназія”, 2009):

ст. 220 – ар. пр.                 ст. 235 – геом. пр. 

* Вводиться назва й означення різниці арифметичної й знаменника геометричної прогресій:

d = а_n+1 – а_n      q = b_n+1: b_n

 

Для записаних у зошитах прогресій назвіть різницю й знаменник.

 

* Вводиться поняття рекурентного способу задання прогресій (за підручником). Розгляд прикладів (ст. 221, 236). Наведіть свої приклади.

 

*    Вивід формули n – го члена прогресій.

 

Ар. пр.:       Геом. пр.:

 

а₂ = а₁ + d       b₂ = b₁q

a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d   b₃ = b₂q = (b₁q)q = b₁q²

a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d   b₄ = b₃q =(b₁q²)q = b₁q³

a₅ = a₄ + d = (a₁ + 3d) + d = a₁ + 4d   b₅ = b₄q = (b₁q³)q = b₁q⁴

a₆ = a₁ + 5d       b₆ = b₁q⁵

...........................................................   ...........................................

a_n = a₁ + d (n – 1)      b_n =  b₁ · q^n-1  

 

*   Формулюється характеристична властивість кожної прогресії.

 

Для арифметичної:	Для геометричної:
Будь-який член ар. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої ар.пр.), дорівнює середньому ариф-метичному двох сусідніх із ним членів:      an = (аn-1 + an+1): 2	Квадрат будь-якого члена геом. пр., крім першого (і останнього у випадку кінцевої геом. пр.), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів:          bn2 =  bn-1 · bn+1

 

 

Зупинка „Логіка плюс мислення”

* Завдання: нескінченна послідовність (a_n): –3; –1,5; 0; … є ар. пр.

Побудуйте графік цієї послідовності для 1 ≤ n ≤ 6.

Напишіть рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка цієї послідовності.

 

Розв’язання:

Знайдемо різницю ар. пр і її члени а₄, а₅, а₆.

d = –1,5 – (–3) = 1,5;

а₄ = 0 + 1,5 = 1,5;

а₅ = 1,5 + 1,5 = 3;

а₆ = 3 + 1,5 = 4,5.

 

У координатній площині будуємо точки:

(1;–3), (2; –1,5), (3;0), (4;1,5), (5;3), (6;4,5).

За формулою n – го члена знаходимо:

a_n = –3 + 1,5 (n – 1) = 1,5n – 4,5

a_n =1,5n – 4,5 – це рівняння прямої, на якій розташовані точки графіка даної послідовності.

Висновок: послідовність (a_n), що задана формулою виду a_n= kn + b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.

 

Зупинка „Історична”

* Коротка довідка про поняття „прогресія” (Глейзер Г.И. История математики в школе,  – Москва, «Просвещение». 1982).

 

4. Етап формування навичок і вмінь.

Зупинка „Практична”

 

 * усні вправи  №№ 663, 670, 767, 770( 1,2);

 * письмові вправи з коментуванням  №№ 665, 667, 768.

 

Зупинка „Математичні терміни”

* За 1 хвилину потрібно написати найбільшу кількість математичних термінів, які починаються з букв слова «прогресія» (наприклад, площа, периметр, різниця, радіус, ромб, об'єм, одиниця, гіпербола, градус, графік, ступінь, сума)

 

Зупинка „Хто більше?” (робота в групах по 4 учні)

* Використовуючи наступні дані, скласти опорні задачі з даної теми, використовуючи формулу n – го члена прогресій:

1) а₁ = 5, а₂ = 7, d = 2, a_n = 19, n = 8;

2) b₁ = 5, b₂ = 25, q = 5, b_n = 625, n = 4.

 

Типи задач:

• Означення арифметичної (геометричної) прогресії, різниця (знаменник) даної прогресії.
• Застосування формули n – го члена для знаходження  довільного  члена даної прогресії.
• Застосування формули n – го члена для знаходження першого члена даної прогресії.
• Застосування формули n – го члена для знаходження номера  члена даної прогресії.

Зупинка „Навчаючи – вчуся!”

(працюють учні, що одержали випереджальне завдання додому).

 

Задача 1. Довжини сторін прямокутного трикутника є послідовними членами арифметичної прогресії з різницею d см. Знайдіть три трійки чисел, що виражають довжини сторін цього трикутника.

Розв’язання:

Нехай х (см) – довжина меншого катета; (х + d) см – довжина іншого катета;

(х + 2d) см – довжина гіпотенузи.

За т. Піфагора:  (х + 2d)² = х² + (х + d)².

Розв’язуючи  дане рівняння, прийдемо до наступного: х² – 2хd – 3d = 0;

х₁ = 3d;      х₂ = –d – не задовольняє умові задачі.

Нехай d = 1, тоді довжини сторін трикутника дорівнюють 3, 4, 5 см.

Нехай d = 2, тоді довжини сторін дорівнюють 6, 8, 10 см.

Нехай d = 3, тоді довжини сторін дорівнюють 9, 12, 15 см.

 

Задача 2. Периметр трикутника дорівнює 111 см, а довжина найменшої сторони 27 см. Знайти довжини двох інших сторін цього трикутника, якщо відомо, що довжини сторін трикутника являють собою послідовні члени геометричної прогресії.

Розв’язання:

Нехай довжини сторін трикутника – члени геометричної прогресії зі знаменником q, тоді друга сторона дорівнює ( 27q) см, а третя – ( 27q²) см.

Р = 27 + 27q + 27q²  або 111 см.

Складемо й розв’яжемо  рівняння:

27 + 27q + 27q² = 111;

9q² + 9q – 28 = 0;

q₁ = ; q₂ = – –  не задовольняє умові задачі.

Отже, в₂ = 27 · = 36 (см), в₃ = 36 · = 48 (cм).

 

5.Етап підведення підсумків уроку

* (у формі математичного бою „Ми –  вам, ви – нам”):

учні класу задають питання один одному з теорії уроку (можна користуватися підручником ст.222, 240).

 

* Оцінювання учнів.

 

6.Завдання додому:  прочитати теоретичний матеріал пп.21, 23;

      вивчити конспект;

     виконати №№ 666, 673, 775, 778.