Винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня

Урок № 41

Тема. Винесення множника з-під знака кореня, внесення множника під знак кореня

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту алгоритму перетворен­ня, що має назву винесення множника з-під знака кореня та змісту ал­горитму перетворення, що має назву внесення множника під знак ко­реня; сформувати вміння учнів виконувати названі перетворення за вивченими алгоритмами, а також застосовувати ці перетворення в роз­в'язуванні вправ на тотожні перетворення цілих ірраціональних ви­разів.

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Перетворення ірра­ціональних виразів».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Зібрати зошити учнів для перевірки якості виконання письмової частини домашнього завдання (у тому числі й самостійної роботи).

III. Формулювання мети і завдань уроку

На початку вивчення цього розділу вчитель повідомляє учням про те, що вивчені означення та властивості арифметичного квадратного кореня можуть бути використані для перетворення деяких видів ви­разів, що містять квадратні корені. З кількома з таких видів перетво­рень учні мають познайомитись на поточному уроці.

З метою усвідомлення учнями необхідності вивчення матеріалу уроку можна на етапі формулювання мети запропонувати виконати за­вдання, в результаті чого вони дійдуть розуміння певної проблеми, яку слід розв'язати на уроці.

Завдання 1

Порівняйте значення виразів і .

Завдання 2

Порівняйте значення виразів і .

Завдання 3

Порівняйте значення виразів і .

Якщо з виконанням першого і другого завдань в учнів не виникає проблем (у неявному вигляді застосовується властивість монотонності функції у = х² на проміжку [0; ∞)), то з третім завданням швидше за все учні не впораються (слід нагадати, що, виконуючи дії з коренями, слід спиратись тільки на вивчені властивості, не вигадуючи неіснуючих властивостей). Порівнявши всі завдання, учні доходять висновку про необхідність оволодіння такими способами дій, що дозволять перехо­дити під час розв'язування вправ, подібних до запропонованих, від «незручних» записів виразів, що містять корені, до «зручних». Таким чином формулюється основна дидактична мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття нового матеріалу слід активізу­вати такі знання і вміння учнів: означення, властивості та основ­на тотожність для арифметичного квадратного кореня з числа; тотожні перетворення цілих раціональних виразів, а також вико­нання арифметичних дій з раціональними числами.

Виконання усних вправ

1. Знайдіть значення виразів: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
2. Подайте у вигляді вирази: ; ; ; .
3. Спростіть вираз: а) 3а – 2а + 5а; б) (а – 2)(а + 3); в) (а – 2);
   г) (а + 3)²; д) (а – 3)(а + 3); є) (а – 1)² + 2а; ж) ; з) .

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Що означає винести множник з-під знака кореня? Як винести множник   з-під знака кореня в числовому та буквеному виразах?
2. Що означає внести множник під знак кореня? Як внести множник під знак кореня в числовому та буквеному виразах?
3. В яких завданнях можна застосовувати ці перетворення? (Зразки завдань).

 Перетворення, що називаються винесенням множника з-під знака кореня та внесенням множника під знак кореня, ґрун­туються на властивості квадратного кореня з добутку та властивості . Зазвичай під час вивчення цих перетворень у 8 класі не формулюються спеціальні правила виконання вказаних перетворень (способи дій на рівні тотожностей уза­гальнюються пізніше, під час вивчення кореня n-го степеня та його    властивостей), схема перетворень пояснюється на конкретних прикладах. Вивчені попередні теми (означення, властивості та основна тотож­ність для квадратного кореня) достатньо підготували учнів до сприй­няття нової теми. Тому у вивченні нового матеріалу використовуємо пошукові методи роботи: учитель формулює завдання знайти два різні способи розв'язання проблемної ситуації, що виникла на етапі форму­лювання мети (ці два способи відповідають умові першого і другого за­вдань). Порівнявши вид записів виразів у першому і другому завдан­нях, можна запропонувати самим учням (нагадавши їм ще раз, що проблема розв'язується незвичним застосуванням вивчених власти­востей арифметичного квадратного кореня) знайти ці способи. Далі, порівнявши спосіб перетворень та вид здобутих після їх виконання ви­разів, учні мають усвідомити, що назва кожного перетворення відобра­жає його зміст. Після цього вчитель формулює опис кожного з розгля­нутих перетворень та ще раз,  розглянувши  приклади  виконання кожного перетворення, дає детальний коментар до кожного з них.

Також важливо на уроці розглянути завдання на застосування ви­вчених перетворень для виконання порівняння виразів, що містять арифметичний квадратний корінь. Розв'язані приклади завдань учні мають записати в зошити як опорні приклади.

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Спростіть вираз: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) .
2. Закінчіть розкладання на множники:

а) ;

б) ;

в) ; г)

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'язати за­вдання такого змісту:

1. Внесення (винесення) числового додатного множника під знак (з-під знака) кореня.

1) Винесіть множник з-під знака кореня: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) ; ж) ; з) .

2) Внесіть множник під знак кореня:

а) 3; б) 4; в) 2; г) 9; д) 4; є) 0,1; ж) 2; з) .

2. Внесення (винесення) буквеного додатного множника під знак
   (з-під знака) кореня.

1) Винесіть множник з-під знака кореня: а) , де х ≥ 0;

б) , де у ≤ 0; в) ; г) ; д) ; є) .

2) Винесіть множник з-під знака кореня: а) ; б) ;

в) , де х ≤ 0; г) ; д) ; є) , де с < 0.

3) Внесіть множник під знак кореня:

а) , де а ≥ 0; б) ; в) .

3. Порівняння значень ірраціональних виразів.

1) Порівняйте значення виразів:

а) 3 і ; б) і 3; в) 5 і 4; г) 2 і 3.

2) Порівняйте значення виразів: а) і ; б) і ;

в) і ; г) і .

4. Розташування ірраціональних чисел у порядку зростання (спадання). Розташуйте в порядку зростання числа:

а) 3, 2, , 4; б) 6, , 3, 2.

5. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Винесіть множник з-під знака кореня:

а) , де а < 0; б) , де а > 0; в) , де а ≤ 0, b ≤ 0;

г) ; д) ; с) ; ж) ; з) .

2) Який вираз пропущено?

6. На повторення: завдання на перетворення раціональних (цілих та дробових) виразів.

1) Спростіть вираз: а) 3(2х – 1) – 2(х + 5); б) (3х + 5)² + (2 – 3х)(2 + 3х);

в) ; г) .

2) Розкладіть на множники:

а) 8х²у³ – 12х³у; б) 3a + 6b – ca – 2cb; в) (а – b)² – 2(а² – b²); г) 8m³ – 27.

3) Чи може значення виразу дорівнювати 1?

 Завдання, запропоновані для розв'язування на уроці, можна умовно поділити на дві групи: завдання, в яких прямо гово­риться про необхідність виконання перетворення — внести (винести) множник під знак (з-під знака) кореня, та завдання, в яких перетворення прямо не називається (учні самі мають вибрати, яке перетворення вони можуть застосувати). Підго­товчими для вивчення наступної теми є завдання на повторення: перетворення раціональних виразів.

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

а) ; б) ; в) ; г) .

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал уроку.
2. Розв'язати вправи на закріплення оперативних умінь, сформованих на уроці.
3. На повторення: правила виконання дій з цілими виразами (з одно­членами, многочленами — довідник, 7 клас); вправи на застосуван­ня повторених правил.