Чотирикутники. Їх види. Обчислення площі

Обчислення площі чотирикутників

Історичні відомості

Основою основ науково-технічного прогресу є подальший розвиток науки, зокрема математики, прикладне значення якої дуже велике. А всебічний розвиток будь-якої науки неможливий без глибокого аналізу її історії. Лейбніц застерігав, що хто хоче обмежитися сучасним без знання минулого, той ніколи не зрозуміє сучасного.

Історія математики має особливу привабливість. Задачі і теореми, доведені сотні і тисячі років тому, захоплюють нас своєю красою, витонченістю логічних міркувань так само, як захоплювали всі попередні покоління.

Перегортаючи сторінки минулого науки, ми переконуємось, що найбільші поклади математичних ідей, понять, задач містяться у практичній діяльності людини.

Найдавніші математичні тексти до нас дійшли від цивілізацій Стародавнього Сходу – Єгипту й Вавилону. У цих країнах не було великих земельних площ і господарська діяльність вимагала проведення значних робіт землевпорядкування, зокрема межування ділянок після повеней, які приносили річковий намул, що руйнував  межі наділів. Саме із практики землеробства і будівництва виникли геометричні задачі. Термінів «трикутник», «чотирикутник» ще не було. Скрізь мова йде про пряме, косе чи кругле поле. Історично, обчислення площі називалося квадратурою. Фігура, що має площу, називалася квадрованою. Площі прямокутників і трапецій обчислювали за точними правилами, площу довільного чотирикутника – наближено, як добуток півсум його протилежних сторін a, c і b, d:  .  Порівняно з єгиптянами вавилонські математики зробили крок вперед і в розвитку геометрії. Квадрат вавилоняни сприймали як абстрактну фігуру, про прямокутник говорили – «те, що має  довжину і ширину», про трапецію – «лоб бика». У задачах йшлося про обчислення елементів плоских фігур, з якими приходилося зустрічатись архітектору, будівнику, господарнику. Поряд з точними використовувались і наближені методи обчислення. Цій точності відповідає π=3.

З VІ ст. до н. е. математика починає швидко збагачуватися новими фундаментальними фактами завдяки грекам. Першими вченими Античної Греції були  Фалес Мілетський і легендарний Піфагор Самоський. Саме вони перетворили геометрію із зібрання рецептів розв’язування різних задач в абстрактну науку, що розглядала вже не площі полів, а геометричні фігури – абстракції, ідеалізації певних властивостей реальних об’єктів. У школі Піфагора зародилося вчення про правильні многокутники, зокрема чотирикутники.  У  V ст. до н. е. були сформульовані три знамениті задачі про квадратуру круга, подвоєння куба й трисекцію кута. За допомогою піфагорових трійок можна утворити скільки завгодно трикутників, у яких довжини сторін і площі виражаються натуральними числами. Піфагор довів теорему, в якій площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновелика сумі площ квадратів, побудованих на його катетах. У давньогрецьких математиків навіть числа називалися квадратні – n² і прямокутні – n(n+1).

В епоху еллінізму творили видатні вчені античного світу: Евклід, Архімед і Сіракуз. «Начала» Евкліда були зразком викладу наукових теорій і підручником, за яким вивчало геометрію не одне покоління. Справою життя Архімеда була математика. Він створив нові методи обчислення площ фігур, відкрив багато глибоких залежностей у  геометричних фігурах, наприклад, що площа круга, описаного навколо квадрата, вдвічі більша за площу круга, вписаного в квадрат.

Значно менших успіхів досягли індійські вчені у галузі геометрії. Великих праць з геометрії не було. Геометричний матеріал містився в астрономічних і математичних трактатах. Однак Брахмагупта (нар. 598 р.) знаходить формулу, за якою можна обчислити площу чотирикутника, вписаного в коло: . Він не застерігає, що його формула правильна тільки для чотирикутників, вписаних в коло. Але він розглядає два типи чотирикутників – рівнобедрені трапеції й чотирикутники, в яких діагоналі перетинаються під прямими кутами. Для цих чотирикутників формула точно справджується.

Загальні відомості про чотирикутники

          Систематизуємо основні теоретичні відомості про чотирикутники, їх види і формули для обчислення їхніх площ.

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх з’єднують, - сторонами чотирикутника.

                                            С

             А D             Рис. 1.1

Вершини  чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін (А і В). Вершини, які не є сусідніми ( А і С), називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. У чотирикутнику на рис.1.1  діагоналями є АС, ВD.

 Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. На рис.1.1 протилежними є сторони АВ і СD, ВС і АD. Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник на рис.1.1 позначено так: АВСD. У запису чотирикутника вершини, що стоять поряд, повинні бути сусідніми. Чотирикутник АВСD можна позначити ВСDА або СDАВ, але не можна позначити АВDС.

 Площа — величина, що визначає розмір поверхні, одна з основних властивостей геометричних фігур. Площу нескладних геометричних фігур можна визначити двома способами: 1) підраховувати кількість одиничних квадратів, якими фігури можна покрити; 2) за допомогою відповідної формули.

 Для довільного опуклого чотирикутника , де d₁ і d₂ – його діагоналі, а φ – кут між ними.

           Розглянемо основні види чотирикутників:

             ПАРАЛЕЛОГРАМ

 Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих.

      В                         С

                 А          D       Рис. 1.2

Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикутник  паралелограм.

Теорема 2. Діагоналі паралелограма перетинаються і точці перетину діляться пополам.

Теорема 3. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні.  

          Площу паралелограма можна обчислити за формулами:

;  ; , де а, в – довжини нерівних сторін паралелограма, α – кут між ними; h – його висота; d₁ і d₂ – діагоналі, а φ – кут між ними.

ПРЯМОКУТНИК

 Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути   прямі.

  В                         С

             А                         D      Рис. 1.3

Прямокутник має всі властивості паралелограма.

Теорема 1. Діагоналі прямокутника рівні.

Площа прямокутника:  ; .

РОМБ

Ромб –  це паралелограм, у якого всі сторони рівні.

                     В                С

                                    Рис. 1.4

     А              D

Ромб має всі властивості паралелограма.

Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.

          Площа ромба дорівнює:  ; ; .

КВАДРАТ

Квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні.

     В                     С

    А                      D     Рис. 1.5

Квадрат є також ромбом, тому він має властивості прямокутника і ромба.

Площа квадрата: ;  .

          ТРАПЕЦІЯ

Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами.

      В                 С

А                             D   Рис. 1.6

Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні. Трапеція, у якої одна бічна сторона перпендикулярна основам, називається прямокутною.

   Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції (МР).

Теорема 1. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

Теорема 2. Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Площу трапеції можна обчислити: ;  ,

a і b-її основи, h –висота .

Але серед усіх зазначених видів чотирикутників, саме трапеція відрізняється тим, що для обчислення її площі існує великий набір формул і жодної з них ( крім названих вище) немає  в шкільних підручниках. Наприклад:

Площа рівнобічної трапеції, у якої діагоналі перпендикулярні, дорівнює квадрату її висоти, або квадрату середній лінії. Отже, , .

Площа трапеції вписаної в коло, дорівнює добутку проекції діагоналі на основу і висоти:  .

Площа трапеції, в яку можна вписати коло, дорівнює добутку бічної сторони на висоту: .

Площа прямокутної трапеції, описаної навколо кола, дорівнює добутку її основ: .

Діагоналі трапеції ділять її на чотири трикутники. Якщо площі двох трикутників, що містять основи дорівнюють S₁ і S₂, то площа трапеції  .

ВПИСАНІ І ОПИСАНІ ЧОТИРИКУТНИКИ

Якщо усі вершини чотирикутника лежать на колі, то чотирикутник називається вписаним у коло, а коло описане навколо чотирикутника.

                    Рис. 1.7

Чотирикутник є вписаним тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180⁰.

Описаний чотирикутник — чотирикутник, в який можна вписати коло. При цьому усі сторони чотирикутника є дотичними до кола.       

                                                               Рис. 1.8

В чотирикутник можна вписати коло тоді й тільки тоді, коли суми його протилежних сторін рівні.

Якщо формули для площі вписаного чотирикутника ми не вивчаємо, то для описаного така формула є в підручниках. Його площа дорівнює: , де р – півпериметр чотирикутника, r – радіус вписаного у нього кола.

Всі  вище названі формули вивчаються в курсі геометрії 8 і 9 класу, крім останніх формул для трапеції.

А формула для чотирикутника, який є вписаним і описаним навколо кола не зустрічається в жодному з них. Вона має такий вигляд: , де a, b, c, d – довжини  сторін. Не вивчається у школі і формула Брахмагупти: .