Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Тема. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту поняття «(найменший) спільний знаменник» для даних раціональних дробів, змісту алгоритму знаходження найменшого спільного знаменника для раціональних дробів, а також алгоритму додавання і віднімання раціональних дробів із різними знаменниками; сформувати вміння відтворювати вивчені алгоритми та виконувати дії за цими алгоритмами для запису суми або різниці раціональних дробів із різними знаменниками у вигляді (нескоротного) раціонального дробу.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Додавання і відніман­ня раціональних дробів».

Хід уроку

I. Організаційний етан

II. Перевірка домашнього завдання

На початку уроку вчитель збирає на перевірку зошити з виконаним домашнім завданням (щоб перевірити засвоєння учнями знань та вмінь з теми «Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменни­ками» та, за умови успішного виконання, оцінити роботу учнів) або, організувавши роботу учнів з перевірки домашнього завдання за зраз­ком та скорегувавши можливі помилки, пропонує учням виконати завдання аналогічного змісту (тестова робота № 3).

Тестова робота № 3

Варіант 1

1. Чому дорівнює сума ?

2. Знайдіть різницю дробів і .

3. Знайдіть суму дробів і .

4. Виконайте додавання: .

Варіант 2

1. Чому дорівнює сума дробів ?

2. Знайдіть різницю дробів і .

3. Знайдіть суму дробів і .

4. Знайдіть суму дробів .

III. Формулювання мсти і завдань уроку

Свідомому сприйняттю мети уроку може сприяти бесіда, в ході якої учні відповідатимуть на такі запитання вчителя:

1. Як додати (відняти) звичайні дроби з однаковими знаменниками?
2. Як виконується додавання (віднімання) звичайних дробів із різни­ми знаменниками?
3. Як додати (відняти) раціональні дроби з однаковими знаменниками? Чи схоже це правило на відповідне правило для звичайних дробів?
4. Чи можна раціональний дріб подати у вигляді рівного йому раціо­нального дробу з іншим знаменником? Як це зробити (як нази­вається така дія та який механізм її виконання)?

Після закінчення бесіди учні мають усвідомити, що важливого зна­чення набуває вивчення додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками. Вивчення питання про можливість виконан­ня та алгоритм додавання (віднімання) раціональних дробів із різними знаменниками с основною дидактичною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 Відповідно до обговорених на попередньому етапі моментів пе­ред вивченням нового матеріалу слід активізувати знання і вміння учнів щодо виконання додавання і віднімання звичай­них дробів із різними знаменниками, розкладання многочленів на множники, зведення раціонального дробу до нового зна­менника, а також перетворення суми або різниці раціональних дробів на раціональний дріб.

Виконання усних вправ

1. Зведіть дроби: ; ; ; ; до знаменника 42.
2. Подайте вирази у вигляді добутку:

а) 10х + 15у; б) а² – 25; в) 42у² – 21у; г) 7х² – 7у²; д) 6m – 2n; є) 16x – xy;

ж) а² – 4а + 4; з) а⁸ – a⁷.

3. Який знаменник є найменшим спільним знаменником для дробів:

а) і ; б) і ; в) і ?

4. Яке число слід підставити замість *, щоб утворилась тотожність:

а) ; б) ; в) ; г) ?

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Поняття спільного знаменника для раціональних дробів.

2. Алгоритми зведення дробів до спільного знаменника.

3.* Загальне правило додавання та віднімання раціональних дробів із різними знаменниками.

 Вивчення питання про додавання та віднімання раціональних дробів із різними знаменниками слід розпочати якраз із форму­вання уявлення учнів про зміст поняття найменшого спільного знаменника поданих раціональних дробів та способу його зна­ходження. При цьому можна для наочності використовувати знання учнів щодо способів знаходження найменшого спільно­го знаменника звичайних дробів та алгоритму зведення раціо­нального дробу до нового знаменника (див. вище). Розглянувши типові випадки знаходження спільного знаменника для раціональних дробів, можна узагальнити спостереження, скла­вши алгоритм відшукання найменшого спільного знаменника для пропонованих раціональних дробів. Складений алгоритм слід «випробувати» на розглянутих раніше прикладах. Після вивчення питання про знаходження спільного знаменника по­вторюємо алгоритм зведення раціональних дробів до нового знаменника та об'єднуємо їх у загальний спосіб дій під назвою «зведення раціональних дробів до спільного знаменника».

Розглянувши питання про зведення раціональних дробів до спіль­ного знаменника, переходимо до вивчення питання про застосування цих дій під час додавання або віднімання раціональних дробів із різни­ми знаменниками:   складається алгоритм додавання і віднімання раціональних дробів із різними знаменниками. При цьому слід зроби­ти акцент на тому, що цей алгоритм ґрунтується на відомому алгоритмі додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменни­ками, до якого додано алгоритм зведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Під час вивчення теми можуть виникнути труднощі, зумовлені, крім усього іншого, ще й тим, що додавання та віднімання дробів із різними знаменниками передбачає більш довгу послідовність дій, що потребує достатньо розвиненої уваги учнів та вміння переключатись з одного алго­ритму на інший. При цьому слід зауважити, що в деяких учнів на початку вивчення теми виникають труднощі саме тому, що названі психологічні механізми ще недостатньо розвинені. Тому вчитель, уже виходячи із знання рівня підготовки учнів, може прийняти рішення про те, чи слід на цьому уроці вивчати алгоритми зведення дробів до спільного знаменника і додавання та віднімання дробів із різними знаменниками, чи зосереди­тись на цьому уроці тільки на одному алгоритмі зведення дробів до ново­го знаменника і відпрацювати стійкі вміння його застосування, а вже на наступному уроці розпочати вивчення алгоритму додавання та відніман­ня дробів із різними знаменниками (див. 3) плану).

VI. Засвоєння вмінь

Виконання усних вправ

Знайдіть найменший спільний знаменник дробів:

а) і ; б) і ; в) і ; г) і ; д) і ; є) і .

Із названих пар дробів виберіть ті, що мають спільним знаменником:

а) добуток їхніх знаменників;

б) один із знаменників поданих двох дробів;

в) вираз, складений з усіх різних множників знаменників даних дробів.

Виконання письмових вправ

 *Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'яза­ти завдання такого змісту.

1. Зведення до (найменшого) спільного знаменника раціональних
   дробів.

1) Зведіть до спільного знаменника дроби:

а) і ; б) і ; в) і ; г) і ; д) і ;

є) і ; ж) і ; з) і .

2) Зведіть до спільного знаменника дроби:
а) і ; б) і ; в) і ; г) і .

2. Зведення до (найменшого) спільного знаменника та додавання або
   віднімання раціональних дробів із різним знаменниками.

1) Подайте у вигляді дробу:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) .

2) Виконайте додавання (віднімання) дробів:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; є) .

3) Виконайте додавання (віднімання) дробів:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) : є) ; ж) ; з) ;

и)

4) Спростіть вираз:

а) б) ; в) .

3. Виконання логічних вправ та завдань підвищеного рівня склад­ності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Знайдіть числа а і b, за яких рівність виконується при всіх допус­тимих значеннях х.

а) ; б) .

2) У двох посудинах місткістю по 10 л разом було 10 л концентрова­ної кислоти. Першу посудину долили доверху водою і здобутою сумішшю доповнили другу посудину. Після цього у другій посудині стало кислоти на 5 л більше, ніж у першій. Скільки кислоти було в кожній посудині спочатку?

3) Знайдіть пропущений вираз:

4. Виконання вправ на повторення: завдання на закріплення та вдос­коналення вмінь виконувати перетворення раціональних дробів, вивчені раніше.

1) При яких значеннях змінної вираз не має змісту:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Скоротіть дріб:

а) ; б) ; в) ; г) .

3) Спростіть вираз:

а) ; б) ; в) .

Вправи, що пропонуються для розв'язування на цьому уроці, ма­ють сприяти формуванню сталих навичок:

1.   знаходження найменшого спільного знаменника та зведення до цього спільного знаменника дробів зі знаменниками - одночлена­ми (різного рівня складності);
2.   знаходження найменшого спільного знаменника та зведення до нього спільного знаменника дробів, знаменники яких є многочле­нами (від лінійних виразів до виразів вищих степенів, що потребу­ють попереднього розкладання на множники).

Під час розв'язування вправ слід постійно слідкувати за дотриман­ням учнями правильної послідовності дій, передбачених алгоритмом зведення дробів до спільного знаменника: спочатку знаходимо спіль­ний знаменник, потім знаходимо додаткові множники для кожного з дробів, а вже після цього знаходимо дроби з новим спільним знамен­ником, що дорівнюють даним).

VII. Підсумки уроку

Серед рівностей виберіть правильну. Поясніть свій вибір.

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити схему дій, що дозволяє виконувати зведення дробів до но­вого знаменника.
2. Виконати вправи на закріплення навичок пошуку найменшого спільного знаменника та зведення дробів до спільного знаменника.
3. На повторення: вправи на відновлення вмінь виконувати дода­вання та віднімання дробів із протилежними знаменниками та до­давання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.