Дослідження функцій на екстремум та монотонність

Дослідження функцій на екстремум та монотонність.

Що означає дослідити ФУНКЦІЮ? Дослідити функцію — означає виявити її властивості: вказати її область визначення й область значень, проміжки зростання і спадання, проміжки, на яких функція набуває додатних значень, а на яких — від’ємних, з’ясувати, чи є дана функція парною або непарною тощо.

Для визначення проміжків зростання і спадання функції користуються такими твердженнями:якщо похідна функції в кожній точці деякого проміжку додатна, то функція на цьому проміжку зростає; якщо похідна в кожній точці проміжку від’ємна, то функція на цьому проміжку спадає; якщо похідна в кожній точці проміжку тотожно дорівнює нулю, то на цьому проміжку функція стала.

Визначимо скільки критичних має графік:

Точками екстремуму функції можуть бути тільки її критичні точки. Це — необхідна умова існування екстремуму. Нехай критична точка x = a є внутрішньою точкою деякого інтервалу (b; c) і такою, що на кожному з інтервалів (b; a) та (a; c) похідна функції існує і зберігає знак. Така критична точка, переходячи через яку в напрямі зростання аргументу похідна змінює знак з «+» на «–», є точкою максимуму, а точка, переходячи через яку похідна змінює знак з «–» на «+», — точкою мінімуму.

Якщо ж похідна функції в точці x0 дорівнює нулю, а зліва і справа від x0 похідна функції додатна (мал. 126) або зліва і справа — від’ємна, то x0 не є точкою екстремуму.

Схема дослідження функціїФункцію можна дослідити, користуючись такою схемою:• знайти область визначення функції; • дослідити функцію на парність, непарність, періодичність;• знайти точки перетину графіка функції з осями координат; • дослідити функцію на монотонність, тобто знайти проміжки зростання і спадання функції;• знайти точки екстремуму та екстремальні значення; • побудувати графік функції.

Дослідження функції на монотонність Зростаючі функції і спадаючі функції називаються монотонними функціями.  Дослідження функції на зростання і спадання називається дослідженням функції на монотонність.

Повторення: Функцію у=f(x) називають зростаючою на проміжку X, якщо з нерівності x1f(x2).«!» Функція спадає, якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.

Дослідження функції на монотонність. Теорема 1. Якщо у всіх точках відкритого проміжку X виконується нерівність f′(x)≥0 (причому рівність f′(x)=0 виконується лише в окремих точках і не виконується ні на якому суцільному проміжку), тоді функція y=f(x)) зростає на проміжку X.

Дослідження функції на монотонність. Теорема 2. Якщо у всіх точках відкритого проміжку X виконується нерівність f′(x)≤0 (причому рівність f′(x)=0 виконується лише в окремих точках і не виконується ні на якому суцільному проміжку), тоді функція y=f(x) спадає на проміжку X. Отже:якщо існує похідна функції в інтервалі (a,b) і в даному інтервалі1) f'(x)≥0, тоді функція в ньому не спадає;2) f'(x)≤0, тоді функція в ньому не зростає;3) f'(x)>0, тоді функція в ньому зростає;4) f'(x)<0, тоді функція в ньому спадає.