"ДПА та ЗНО. Обчислюємо раціонально: добування квадратних коренів без калькулятора"
Всі обчислення під час ДПА та ЗНО виконуються письмово або усно. Проте у шкільному курсі математики не приділено достатньої уваги способам усного та письмового добування квадратних коренів із чисел. Пропоную розглянути, на мою думку, найцікавіші й найраціональніші з них, які прості для вивчення та зручні у застосуванні.
Віктор Кицун
вчитель математики
Старосинявської ЗОШ
І-ІІ ступенів №1
ДПА та ЗНО. Обчислюємо раціонально:
добування квадратних коренів без калькулятора
Під час ДПА та ЗНО заборонено користуватися технічними засобами. Всі обчислення виконуються письмово або усно. Проте у шкільному курсі математики не приділено достатньої уваги письмовому та усному добуванню квадратних коренів з чисел. Під час розв’язування квадратного рівняння 9х2 – 48х + 28 = 0, учні зазвичай знаходить його дискримінант так:
D = 482 - 4·9·28 = 2304 - 1008 = 1296. Далі, щоб добути квадратний корінь із нього, використовують калькулятор або таблицю квадратів натуральних чисел. З метою формування культури усних обчислень можна запропонувати інший спосіб:
D = 482 - 4·9·28 = 22 ·32 ·82 - 4·9·4·7 = 4·9·4· (16 - 7) = 16·9·9;
= 
= 4·3·3 = 36.
Існує багато способів для усного та письмового добування квадратних коренів із чисел. Пропоную розглянути, на мою думку, найцікавіші й найраціональніші з них, які прості для вивчення та зручні у застосуванні.
Щоб навчитися добувати квадратні корені з чисел швидко, усно і правильно необхідно вивчити напам’ять квадрати чисел від 1 до 10.
|
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
а2 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
|
Остання цифра |
1 |
4 |
9 |
6 |
5 |
6 |
9 |
4 |
1 |
0 |
Аналіз таблиці показує, що квадрати чисел не можуть закінчуватися цифрами 2; 3; 7 і 8. Тому і квадратні корені із чисел, запис яких закінчується однією із зазначених цифр, точно не добуваються. Лише для чисел, запис яких закінчується цифрою 0 або 5, остання цифра квадрата чи квадратного кореня визначається однозначно.
|
Остання цифра квадрата числа |
0 |
1 |
4 |
5 |
6 |
9 |
Остання цифра підкореневого числа |
|
Остання цифра числа |
0 |
1; 9 |
2; 8 |
5 |
4; 6 |
3; 7 |
Остання цифра квадрат- ного кореня з числа |
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
n |
|
n2 |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
n2 |
|
n |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
n |
|
n2 |
100 |
121 |
144 |
169 |
196 |
225 |
256 |
289 |
324 |
361 |
400 |
n2 |
Дві останні цифри квадратів чисел від 11 до 20 не повторюються (різні).
Розпочнемо із чисел, квадратний корінь із яких добувається точно, тобто чисел, які є повними квадратами. Як знайти число, квадрат якого дорівнює 5929? Як обчислити ( добути ) квадратний корінь із цього числа?
= ? Оцінюємо число сотень: 49 < 59 < 64, 72 < 59 < 82, шукана відповідь – це число між 70 і 80. Тому першою цифрою відповіді є число 7. Останньою цифрою числа, квадратний корінь із якого добуваємо – 9. Тому другою цифрою відповіді може бути 3 або 7, оскільки 32 = 9 і 72 = 49. Тобто квадратним коренем із числа 5929 буде 73 або 77. Можна знайти квадрати цих чисел і вибрати правильну відповідь. Але зручніше порівняти дане число з квадратом числа 75: 752 = 5625 < 5929. Отже, = 77.
Можна спочатку обмежити відповідь квадратами чисел, кратними 10:
4900 < 5929 < 6400? 702 < 5929 < 802 . Отже, шуканий корінь – це число між 70 і 80. Далі виконати дії, описані вище.
Квадратний корінь з повного квадрата зручно добувати і методом підбору з використанням формули квадрата суми.
= ? 1156 = (30 + х)2 = 900 + 60х + х2; 60х + х2 = 1156 - 900 = 256.
Підбором встановлюємо, що х = 4: 60·4 + 42 = 256.
Отже, 30 + 4 = 34 – шукана відповідь: = 34.
= 100 + 3 = 103; 
= 80 + 4 = 84;
10 000 6 400
609 = 200х+х2 656 = 160х+х2
Х = 3 х = 4 (656 = 160·4 + 42)
Щоб добути корінь квадратний із даного числа, можна знайти два
такі числа, квадрат суми яких дорівнює йому, і додати їх.
Перше число – це найбільше число, квадрат якого найближчий до даного.
Від даного числа віднімаємо квадрат першого числа. Отриману різницю записуємо (уявляємо) як суму подвоєного добутку першого і другого та квадрата другого числа і шляхом підбору знаходимо невідоме друге число. Шуканою відповіддю буде сума цих чисел.
Навчаємось, усміхаючись!
– Будь, онучко, чемною та слухняною. І вивчи вже нарешті табличку
множення, бо прийде Вовк і з'їсть тебе, як Червону Шапочку...
– Знаю, знаю! Але він спершу з'їв бабусю...
У статті використано матеріали посібника «Цікаво. Про100. Зручно» Способи та прийоми раціональних обчислень для школярів та студентів і не тільки…/ упоряд. Кицун В. П.,
Кицун О.В – Хмельницький., ФОП Мельник А. А. 2018. – 150 с.
ISBN 978-617-7600-26-7
УДК 519.813
При копіюванні матеріалів посилання на видання обов’язкове.
Всі права застережені
All rights reserved
про публікацію авторської розробки
Додати розробку