18 травня о 18:00Вебінар: Інтерактивний урок математики: алгоритми та приклади створення дидактичних матеріалів

"ДПА та ЗНО. Обчислюємо раціонально: добування квадратних коренів без калькулятора"

Про матеріал

Всі обчислення під час ДПА та ЗНО виконуються письмово або усно. Проте у шкільному курсі математики не приділено достатньої уваги способам усного та письмового добування квадратних коренів із чисел. Пропоную розглянути, на мою думку, найцікавіші й найраціональніші з них, які прості для вивчення та зручні у застосуванні.

Перегляд файлу

                                                                              Віктор Кицун

                                                                              вчитель математики

                                                                              Старосинявської ЗОШ

                                                 І-ІІ ступенів №1

 

ДПА та ЗНО.  Обчислюємо раціонально:

добування квадратних коренів без калькулятора

 

Під час ДПА та ЗНО  заборонено користуватися технічними засобами. Всі обчислення виконуються письмово або усно. Проте у шкільному курсі математики не приділено достатньої уваги  письмовому та усному добуванню квадратних коренів з чисел. Під час розв’язування квадратного рівняння 9х2 – 48х + 28 = 0,  учні зазвичай знаходить його дискримінант  так: 

D = 482 - 4·9·28 = 2304 - 1008 = 1296.  Далі, щоб  добути квадратний корінь із нього,  використовують  калькулятор або таблицю квадратів натуральних чисел. З метою формування культури усних обчислень  можна  запропонувати інший спосіб: 

D = 482 - 4·9·28 = 22 ·32 ·82 - 4·9·4·7 = 4·9·4· (16 - 7) = 16·9·9; 

= = 4·3·3 = 36.

Існує багато  способів  для усного та письмового добування квадратних коренів із чисел. Пропоную  розглянути, на мою думку, найцікавіші й  найраціональніші  з  них, які  прості  для  вивчення та зручні у застосуванні.

Щоб навчитися добувати квадратні корені з чисел швидко, усно і правильно  необхідно  вивчити напам’ять квадрати чисел від 1 до 10.

 

a

1

2

  3

  4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

а2

1

4

  9

16

  25

  36

  49

  64

  81

  100

Остання цифра

1

4

  9

  6

    5

    6

    9

    4

    1

      0

 

Аналіз таблиці показує, що  квадрати    чисел   не можуть закінчуватися цифрами 2; 3; 7 і 8.   Тому і квадратні корені  із чисел, запис яких закінчується однією із зазначених цифр, точно не добуваються.  Лише для  чисел,  запис яких  закінчується цифрою 0 або 5,  остання цифра  квадрата чи квадратного кореня визначається однозначно.

 

Остання цифра  квадрата числа

   0

  1

   4

  5

   6

    9

Остання цифра підкореневого числа

Остання цифра числа

   0

1; 9

 2; 8

  5

 4; 6

  3; 7

Остання цифра   квадрат- ного  кореня з числа

 

n

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n

n2

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

n2

n

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

n

n2

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

400

n2

 

Дві останні цифри квадратів чисел від 11 до 20  не повторюються (різні).

Розпочнемо із чисел, квадратний корінь із яких добувається   точно, тобто чисел, які є повними квадратами.  Як знайти  число, квадрат  якого дорівнює  5929?   Як  обчислити ( добути )   квадратний корінь із цього числа? 

  = ?  Оцінюємо число сотень:  49 < 59 < 64,  72 < 59 < 82, шукана відповідь – це число  між 70 і 80. Тому першою цифрою відповіді є число 7.  Останньою цифрою числа, квадратний корінь із якого добуваємо –  9. Тому другою цифрою відповіді може бути   3  або  7,  оскільки   32 = 9    і  72 = 49.  Тобто квадратним  коренем із числа 5929   буде  73 або  77. Можна знайти квадрати цих чисел і вибрати правильну відповідь. Але зручніше порівняти дане число з квадратом числа  75:   752 = 5625 < 5929.  Отже,  =  77.

Можна спочатку обмежити  відповідь  квадратами  чисел,  кратними  10:

4900 < 5929 < 6400?     702 < 5929 < 802 .  Отже, шуканий корінь – це число між 70 і 80.  Далі  виконати  дії,  описані вище.

Квадратний корінь  з повного квадрата зручно добувати і методом  підбору  з  використанням формули  квадрата суми.

 

=  ?    1156 = (30 + х)2 = 900 + 60х + х2;   60х + х2 = 1156 - 900 = 256.

Підбором встановлюємо, що  х = 4:    60·4 + 42 = 256.

Отже,  30 + 4 = 34 – шукана відповідь:  =  34.

 

= 100 + 3 = 103;           = 80 + 4 = 84;         

   10 000                                              6 400

         609 = 200х+х2                                656 = 160х+х2

              Х = 3                                              х = 4     (656 = 160·4 + 42)

Щоб добути корінь квадратний  із даного числа, можна  знайти два

такі числа,  квадрат суми  яких   дорівнює йому,  і  додати їх.

Перше число  – це найбільше число, квадрат якого  найближчий до даного.

Від даного числа віднімаємо квадрат  першого числа. Отриману різницю записуємо (уявляємо) як  суму  подвоєного добутку   першого  і другого  та квадрата другого числа  і шляхом підбору знаходимо невідоме друге число.  Шуканою відповіддю буде сума  цих   чисел.

 

 Навчаємось, усміхаючись!

 

     Будь, онучко, чемною  та слухняною.  І  вивчи вже нарешті табличку

            множення, бо прийде Вовк і з'їсть тебе, як Червону Шапочку... 
         Знаю, знаю!   Але він спершу з'їв бабусю... 

 

У статті  використано  матеріали посібника   «Цікаво. Про100. Зручно» Способи та прийоми раціональних обчислень для школярів та студентів і не тільки…/ упоряд. Кицун В. П.,

Кицун О.В – Хмельницький., ФОП Мельник А. А. 2018. – 150 с.

ISBN 978-617-7600-26-7  

УДК 519.813      

При копіюванні матеріалів посилання на видання обовязкове.

 

Всі права застережені

All rights  reserved 

docx
Додано
24 грудня 2018
Переглядів
1009
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку