3 листопада о 18:00Вебінар: Використання онлайн-тестів під час дистанційного навчання

Етапи формування навичок розв’язання нерівностей з двома змінними

Про матеріал
Для активізації пізнавальної діяльності учнів і логічного мислення перед вивченням теми необхідно провести відповідну роботу з повторення знань та вмінь учнів щодо означення функції, властивостей основних елементарних функцій та деяких властивостей нерівностей. Методом поступового ускладнення завдань дійти до вивчення нового матеріалу
Перегляд файлу

 

ЕТАПИ ФОРМУВАННЯ НАВИЧОК РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕРІВНОСТЕЙ І СИСТЕМ НЕРІВНОСТЕЙ З ДВОМА ЗМІННИМИ

1. Розвиток математичних компетентностей – важливе завдання шкільного курсу математики

 Для активізації пізнавальної діяльності учнів і логічного мислення перед вивченням теми необхідно  провести відповідну роботу з повторення знань та вмінь учнів щодо означення функції, властивостей основних елементарних функцій та деяких властивостей нерівностей. Методом поступового ускладнення завдань дійти до вивчення нового  матеріалу ( див. схему).

 

Підготовча тематика навчальної діяльності учнів при вивченні теми «Системи нерівностей з двома змінними»

 

Основні етапи викладання теми « Розв’язування нерівностей і систем нерівностей з двома змінними»

  1. Мотивація вивчення теми: вибір прикладних задач, які зводяться до складання нерівностей і систем нерівностей з двома змінними.
  2. Складання математичної моделі задач.
  3. Використання інноваційних методів проведення  даного уроку.
  4. Розкриття графічних методів розв’язання .
  5. Творча діяльність при виборі методів розв’язування систем нерівностей з двома змінними: порівняльний аналіз множини розв’язків нерівностей в системі ( використання палетки).
  6. Узагальнення і систематизація знань учнів по даній темі.

В роботі з мотивації за даною темою я пропоную прикладні задачі, математичною моделлю розв’язування яких є нерівності. Основна мета цієї роботи – практична спрямованість уроків математики за рахунок правильного добору задач, які демонструють можливості застосування вивченого матеріалу та реалізацію ключових компетентностей учнів.

 Варто розпочати з найпростіших задач, у яких поняття нерівності закладено в умові, але для розв’язання задачі можна обійтися і рівнянням, або розв’язати задачу добором. Важливо переконати учнів в тому. що кожна абстрактна задача може бути математичною моделлю деякої прикладної задачі. Розкриття практичного і прикладного значення матеріалу, що вивчається, – один з ефективних прийомів прикладного спрямування шкільного курсу математики. Цьому сприяють задачі-запитання, розв'язування яких супроводять розглядом навколишніх об'єктів.

Умови таких задач наближують до практичних потреб, якими цікавляться учні. Працюючи над цією  проблемою, я застосовую у своїй роботі такі методи і прийоми: 1) розв'язування задач за готовими

 малюнками ; 2) роботу в групах; 3) прийом "Знайди помилку!"; 4) прийом "Заповни пусті місця!"; 5) вправу "Продовжити речення!; 6) дослідити математичний об’єкт і зробити висновки; 7) обзорові  графічні диктанти;

8) уроки презентації розв’язку задач з параметрами.

 

 

2. Методика розв’язування рівнянь з двома змінними графічним способом

Рівняння виду F (x; y) = 0,  де х і у – змінні, називається рівнянням з двома змінними.

Степінь цілого рівняння з двома змінними F (x; y) = 0 визначається як степінь многочлена F (x; y), якщо він зведений до стандартного вигляду.

а) Рівняння першого степеня: ах + bу + с = 0, ( а2 + b2 ≠ 0);

б) рівняння другого степеня: ах2 + bу2 + сху + dх + еу + f = 0,

 ( а2 + b2 + с2 ≠ 0).

 Розв’язком рівняння з двома змінними х і у є впорядкована пара (x; y), яка перетворює рівняння на правильну рівність.

 Графіком рівняння з двома змінними х і у є множина точок координатної площини з координатами (x;y), де пара (x;y) є розв’язком даного рівняння.

Графіком рівняння першого степеня є пряма; графіком рівняння (х − a)2 + (y − b)2 = R2, де R2 ≠ 0 є коло з центром в точці  (а;b) і радіусом R; графіком рівняння у = ах2 + bх + с, де а ≠ 0 є парабола.

Лінійні рівняння з двома змінними

Рівняння виду ах + bу = с, де а, b і с — деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними х і у. Якщо коефіцієнти при змінних х і у не дорівнюють нуль, то таке рівняння називають рівнянням першого степеня з двома змінними.

Розв’язком рівняння з двома змінними називається пара чисел х і у, при яких рівняння перетворюється на правильну рівність.

Задача 1. Складіть рівняння з двома змінними за умовою задачі: « На 22 грн. купили кілька книжок по 5 грн. і географічних карт по 3 грн. Скільки купили книжок і карт?

Нехай купили книжок по 5 грн. - х, а географічних карт по 3 грн. - у. Тому книжок і карт купили 5х+3у = 22

Як розв’язати таке рівняння?

  1.  Знайти розв'язки рівняння 5х + 3у = 22 можна так: підставити в нього замість х довільне число, наприклад 2. Дістанемо рівняння з однією змінною: 5·2+3 у = 22. Розв'язавши його, знайдемо, що у=4. Пара чисел (2;4) — розв'язок рівняння  5х+3у = 22.
  2.  Виразити одну змінну через другу.

Для знаходження розв'язків рівняння 5х+3у = 22 зручно виразити одну змінну через другу. Виразимо, наприклад, змінну х через у. Для цього перенесемо доданок 3у до правої частини, змінивши його знак: 5х = 22-3у. Поділимо обидві частини цього рівняння на 5, дістанемо: х = 4,4-0,6у. Враховуючи вище зазначене, можна зробити висновок, що рівняння  х = 4,4-0,6у рівносильне рівнянню 5х + 3у = 22. Із формули х = 4,4-0,6у можна знайти скільки завгодно розв’язків рівняння 5х + 3у = 22. Наприклад, якщо у=1, то х =4,4 - 0,6 = 3,8; якщо у = 2, то х = 4,4·0,6-2 = 3,2 і т. д. Отже, рівняння 5х + 3у = 22 має безліч розв'язків.

Розв’яжемо дане рівняння графічним методом.

Виразимо у через х: у = , графіком цієї функції є пряма, яку ми будуємо в координатній площині (див. рис.)

н12Наприклад, точки А(3,2;2),F(3,8;1),D,E належать прямій у =, тому координати цих точок є розв’язками даного рівняння. Графік рівняння підтверджує нескінченну множину його розв’язків.

 

Як побудувати графік рівняння з двома змінними?

  1. Якщо рівняння можна звести до вигляду (х − а)2 + (у − b)2 = R2 де а і b ─ довільні числа, а R > 0, то графіком цього рівняння буде коло з центром (а; b) і радіусом R.
  2. Якщо рівняння можна звести до вигляду у = ах2 + bх + с, де а ≠ 0, то графіком буде парабола.
  3. В інших випадках (якщо немає модуля) виражаємо у через х і будуємо графік утвореної функції у = f (х).

Рівняння другого степеня

Задача 2. Знайти точку, яка рівновіддалена від точок В(2,3), С(6,-1) та лежить на осі абсцис.

Нехай шукана точка має координати (х, у).Тоді за умовою задачі складаємо рівняння  (х-2)2 +(у-3)2 = (х-6)2 + (у+1)2 (*) . Оскільки за умовою задачі шукана точка має координати (х,0), то рівняння перетворюється на рівняння виду

(х-2)2 +(-3)2 = (х-6)2 + (0+1)2 , звідси х = 3. Шукана точка А(3,0).

 Розв’яжемо рівняння (*) графічним методом.

Побудуємо графіки функцій лівої і правої частин рівності в координатній площині.

f(x)= (х-2)2 +9, g(x)= (х-6)2 +1(див. рис.). Параболи перетинаються в точці, координата х якої дорівнює 3.

н13Задача 3. Знайти декілька розв’язків рівняння

 х2 + у2 = 4(**).

Графіком рівняння є коло з центром (0,0) і R=2.

 Підставляємо в рівняння замість х довільне число, наприклад 4. Дістанемо рівняння з однією змінною: 16+ у2 = 4. Розв'язуючи його, отримуємо

 у2 = -12, що неможливо і робимо висновок, що х=4 не може бути розв’язком рівняння. Спробуємо інший метод. Виразимо у2 через х, у2 = 4 - х2 . Нехай х =, тоді у2  = 1, у = -1 або у = 1. Пара чисел

 (;-1), (;1) — розв'язки рівняння.

Розв’яжемо рівняння (**) графічним методом (див. рис.).

н11Точки С(;1), A(2,0), B(0,2)  належать колу, тому їх координати (х, у) є розв’язками рівняння(**).

Кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв’язків.

На даному етапі доцільне виконання усних вправ.

Усні вправи:

  •                    а) чи є розв’язком рівняння х2 + у = 10 пара чисел ?

(3; 1); 2) (−2; 6); 3) (1;−3)

  •                    б) виразіть одну змінну через іншу і знайдіть два будь-які розв’язки

рівняння:1) х2 − у + 15 = 0; 2) 2х + 3у + ху = 2;

  •                    в) чому пара чисел х = -1; у = 5 не є розв’язком цього рівняння

 х + у2 = 30?

  •                    г) наведіть приклади рівнянь з двома змінними, графіками яких є:

1) коло;2) пряма;3) гіпербола;4) парабола;

  •                    д) підберіть декілька розв'язків рівняння:1) х - у = 10; 2) х у = 10;

3) х /у = 10;

  •                    е) яку загальну властивість має будь-яка точка графіка даного рівняння з двома змінними?

.3 Нерівності з двома змінними та їх геометричний зміст

Розв’язування алгебраїчних та геометричних задач часто призводить до необхідності розв’язувати системи рівнянь з двома змінними. Одним із ефективних методів їх розв’язання є графічний метод. Метод координат дозволяє геометрично тлумачити не тільки рівняння, а також і нерівності.   Подібно тому, як ми говоримо, що рівняння з двома змінними х та у

F(х, у) = 0 визначає на площині деяку лінію, можна сказати, що нерівність з двома змінними х та у F(х, у) < 0 визначає множину точок площини, координати яких задовольняють цій нерівності. Таким чином геометрично тлумачать і нерівність F (х, у) > 0.

Якщо вираз F (х, у) є лінійним, тобто F (х, у) = Ах + Ву + С, де А, В, С сталі, то ми маємо лінійне рівняння Ах + Ву + С = 0 (*)

та дві лінійні нерівності Ах + Ву + С < 0 (**), Ах + Ву + С > 0 (***).

Якщо коефіцієнти А і В не дорівнюють одночасно нулю, то рівняння (*) визначає на площині пряму, а нерівності (**) і (***) — відповідно дві півплощини, на які пряма (*) розбиває всю координатну площину. Для того щоб з'ясувати, яка із цих двох півплощин визначається заданою лінійною нерівністю, можна застосувати, наприклад, такий спосіб.

Виберемо яку-небудь точку, підставляємо її координати в нерівність, що перевіряється.

Якщо координати точки задовольняють нерівність, то нерівність визначає ту площину, в якій знаходиться вибрана точка; якщо ж координати точки не задовольняють нерівність, то нерівність визначає площину, яка не містить вибраної точки.

Рішенням нерівності F(x;y)>0 називають всяку пару чисел (x;y), яка задовольняє цій нерівності, тобто обертає її в правильну числову нерівність.

Задача1. Записати з допомогою нерівності ту півплощину, в якій лежить точка А(4;5) та границею якої є пряма 3х+2у+5 = 0. Перевірити, лежить в цій же півплощині початок координат.

н10Розв'язок. Підставимо координати точки А в ліву частину рівняння заданої прямої: 12+10+5 = 27. Одержана величина додатна. Отже, точка А не лежить на заданій прямій, а шукана площина визначається нерівністю 3х+2у+5 > 0.

Геометричний розв’язок( див. рис.)

Виражаємо змінну у через змінну х:

у = -2,5-1,5х (графік-пряма). Будуємо графік в координатній площині і показуємо область розв’язків нерівності 3х+2у+5 > 0 (див. рис.). Точка А належить півплощині, множина точок якої є розв’язком нерівності. За малюнком можна привести немало прикладів точок, координати яких задовольняють нерівність.

Приклад. Розв'язати нерівність 2x+3y > 0.

Побудуємо графік рівняння 2x+3y = 0 - пряму.

Рішенням нерівності є точки напівплощини вище або нижче побудованої прямої.
Для правильного визначення потрібної напівплощини виберемо будь-яку точку з неї, координати якої підставимо в таку нерівність.

lineara nevienad.pngЯкщо нерівність буде вірною, то напівплощина вибрана вірно(див. рис.).

Вибравши контрольну точку (1;1) з верхньої напівплощини, отримаємо правильну числову нерівність: 21+31 > 0.

Значить, рішенням даної нерівності є верхня напівплощина.

Задача 2. Мишко, Віталік та Олег вирішили купити одну книжку. Мишкові не  вистачило на покупку книжки 15 грн., Віталікові - 37 грн., а Олегові - 25 грн. Склавши гроші, хлопці виявили, що отриманої суми знов не вистачає на покупку. Скільки коштує книжка, якщо її вартість виражається цілим числом гривень?

72Нехай книжка коштує х грн., тоді в Мишка було (х-15) грн., у Віталіка – (х-37) грн., а в Олега – (х-26) грн.. Складаємо та розв’язуємо нерівність

(х-15)+(х-37)+(х-26) < х; 3х-78 < х, х < 39. З другого боку, х > 37, оскільки у Віталіка була деяка сума грошей. Отже, 37 <х< 39, тобто х = 38 (грн.) ( див. рис.).

Приклад. Розв'язати нерівність х2- 4х+у2+6у-12 > 0.

Виділяємо повний квадрат: (х-2)2+(у+3)2 > 25.

н9Графіком рівняння (х-2)2+(у+3)2 = 25 є коло з центром (2,-3) і R=5. Вибираємо пробну точку з внутрішньої області (2,-3) і підставляємо її координати в нерівність: (2-2)2+(-3+3)2 >25, 0 > 25- невірно. Робимо висновок, що дана нерівність не виконується у  внутрішній області. Вибираємо пробну точку ззовні (8,-3): (8-2)2+(-3+3)2 = 36 > 25, тому нерівність виконується у зовнішній області, границя області - коло ( зображено пунктирною лінією, оскільки нерівність строга, див. рис.)

На даному етапі доцільне виконання усних вправ.

Усні вправи:

з/ п

Вправи

Схематичний розв'язок

1.

Сьогодні у Києві 0ºС, а в Харкові температура не вища за київську.

Температура в Харкові (х): х ≤ 0

2.

Вода піднялася на висоту не менше 5м

Висота(у): у ≥ 5

3.

Температура води в стані рідини при нормальному тиску не менше 0ºС і не більше 100ºС

Температура води (х): 0ºС≤х≤100ºС

4.

Якщо сторони прямокутника зменшити, одну на 2м, а іншу на 3м, то отримаємо квадрат, площа якого буде відрізнятися від площі прямокутника менше, ніж на 16 м2 Знайти сторони квадрата та прямокутника, знаючі, що міри довжини вимірюється цілими числами.

х - сторона квадрата, тоді (х+3)-довжина, (х+2) –ширина прямокутника. Площа квадрата - х2, площа  прямокутника (х+2)(х+3).-х2< 16, 5 х < 10; х < 2, але х належить N. Сторона квадрата 1м, сторони прямокутника 3м і 4м.

5.

Довжина розбігу літака під час зльоту не менше 80 м

z- довжина розбігу, тому

z ≥ 80

6.

Яка ймовірність того, що навмання взяте число, що менше 100 ділиться на 5 або на 7?

31/99

7.

Що є графіком нерівності х > a, x < a?

х > a – усі точки координатної площини, які розташовані праворуч від цієї прямої; x < a – розташовані ліворуч.

8.

Що є графіком нерівності

х2+ у2 < R2, х2+ у2 > R2?

Усі точки координатної площини, які розташовані всередині кола (поза колом).

9.

Графік якої нерівності зображено на рисунку?

н6н4

      а)                                                          б)

 

а) х2+ у24;

б)у х2-1.

10.

На якому рисунку зображено графік нерівності: у н7    а)

н8    б)

а)

 

 

 

doc
Додано
29 березня
Переглядів
317
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку