Інтеграл та його застосування

Інтеграл та його застосування. Урок засвоєння нових знань, умінь та навичок

Дидактична: пояснити та систематизувати знання учнів про інтеграл, відпрацювати навички знаходження інтегралів , їх застосування до розв'язування задач, навчати учнів бачити єдину математичну модель у різних ситуаціях, складати її в нестандартних умовах. Розвиваюча: розвивати навики самостійного мислення, інтелектуальні навики (аналіз, синтез, порівняння, співставлення), увагу, пам’ять, спостережливість, формувати вміння виступати перед аудиторією. Виховна: виховувати вміння раціонально використовувати робочий час,математичну культуру учнів, підвищувати інтерес до предмету шляхом звернення до історичних джерел. Мета уроку

“Ми ніколи не станемо математиками, навіть знаючи напам'ять усі чужі доведення, якщо наш розум не здатний самостійно розв'язувати які б то не було проблеми” Рене Декарт

У — успіх, увага Р — радість, робота О — обдарованість, організованість. К — кмітливість, колективізм

Думаємо колективно,Працюємо оперативно,Сперечаємось доказово. Це для всіх обов'язково!Гасло уроку:“Швидкість потрібна, а поквапливість шкідлива”О. Суворов

Застосування інтеграла. Визначити масу

Застосування інтеграла. Визначити роботу

Історична довідка. Як відомо,Ньютон використовував у ролі інтеграла позначку квадрата(перед позначенням функції або навколо неї),але використовувати таке позначення було досить незручно. Сучасну позначку визначеного інтеграла ввів Лейбніц у 1675 році. Він утворив інтегральний символ ∫ з літери S – скорочення латинського слова summa. Сучасне поняття визначеного інтеграла з вказаними межами інтегрування були вперше запропоновані Жаном Батистом Фурье в 1819-20 роках.

Криволінійна трапеція. Криволійною трапецією називається фігура на площині, обмежена графіком невід'ємної неперервної функції у = f(x), визначеною на відрізку [a; b], віссю абсцис і прямими х = a і х = b

Визначений інтеграл  - це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Геометричний зміст визначеного інтеграла — це площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції. Числа a і b називають відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування.

Формула Ньютона-Лейбніца. Якщо f(x) визначена і неперервна на відрізку [a;b] , а F(x) її довільна первісна на цьому відрізку(F`(x)=f(x)) то :- формула Ньютона-Лейбніца Приклад:

Визначений інтеграл. Для кожної неперервної на відрізку [а;b] функції визначений iнтеграл існує. За формулою Ньютона-Лейбнiца потрібно: 1) знайти будь-яку первісну F функції f(х) на відрізку [а; b];2) обчислити значення первісної у точках х = b та х = а;3) знайти різницю F(b) - F(а).𝑎𝑏𝑓𝑥𝑑𝑥=𝐹𝑏−𝐹𝑎=𝐹(𝑥)𝑏𝑎  Властивості визначеного інтеграла

Таблиця інтегралів

Вправи1. Обчислити інтеграл

Геометричний зміст. Геометричним змістом визначеного інтеграла є знаходження площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [a;b] на осі ОХ задано функцію f(x), яка набуває на цьому відрізку тільки невід’ємних значень. Фігуру обмежену графіком функції f(x) відрізком [a;b] осі ОХ, прямими х=а і х=в, називають криволінійною трапеціею.

Застосування інтеграла. Тільки той себе вважає сильним,Кому з математикою дружити стильно. Без інтегралів можна прожити,Та чи не краще все охопити?Застосування в побутіЕкономічні задачіЗнаходження величини заряду. Визначення роботи. Визначення маси. Обчислення шляху. Знаходження об’ємів. Обчислення площ

Застосування інтеграла. Обчислити площу

Застосування інтеграла. Знайти об’єм

Застосування інтеграла. Обчислити шлях

Які із замальованих фігур є криволінійними трапеціями,а які - ні?1)2)3)4)

5)6)

Алгоритм обчислення площі криволінійної трапеції Приклад: Обчисліть площу фігури , обмеженої лініями y=0,x=1,x=4 Зображаючи ці лінії, бачимо, що задана фігура – криволінійна трапеція.  

Запишіть за допомогою інтеграла площі фігур,зображених на рисунку:а) б) 

в)г)  

Побудуйте схематично фігури,площі яких виражаються такими інтегралами:a) 

б) 

Інтерактивна вправа“Перевір себе”Вкажіть неправильну рівність стосовно властивостей визначених інтегралів., сє [a,b]1.2.3.4.5.

Інтерактивна вправа“Випробування площами”Назвати формули для обчислення площ фігур, зображених на рисунку:

в) 

г) 

Обчислення площ плоских фігурrrrr

 1)

Усне тестове завдання. Встановити відповідність між криволінійними трапеціями і формулами для обчислення їх площ: Відповідь: S1 → A, S2 → Г, S3 → В, S4 → Б

Приклад:  

Приклад: знайти площу фігури,обмеженої лініями Розв`язання:  

 Розв`язання:  Приклад: знайти площу фігури,обмеженої лініями

f(x)≥g(x) 

Індивідуальні практичні завдання. Учень 1. Учень 2. Учень 3.

     Приклад: Знайдемо площу фігури, обмеженої лініями: Розв`язання:

  Приклад: знайти площу фігури,обмеженої лініями

Виконання усних вправ Укажіть формулу, за допомогою якої можна обчислити площу фігури, зображеної на малюнку:1)2)

3)4)

Застосування інтеграла. Знайти величину заряду (ємність конденсатора)

Застосування інтеграла. Задачі економічного характеру

Застосування інтегралаІнтеграл в побутіЩоб каша була смачною, потрібно таке відношення води і круп:

Застосування інтеграла у фізиці і техніці № п/п Величини Співвідношення Знаходження похідної Знаходженняінтеграла 1 S– переміщенняv -- швидкість 2 A - робота. F - сила 3 A - робота. N - потужність 4m– маса тонкого стержня - лінійна густина 5q– електричний заряд. I – сила струму 6 Q – кількість теплотиc- теплоємність

Експрес-опитування“Теоретичний марафон”Що таке первісна?Сформулювати основну властивість первісних. Що називають невизначеним інтегралом?Сформулювати означення визначеного інтеграла. Записати на дошці формулу Ньютона-Лейбніца і дати пояснення кожного символу. В чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла?Дати визначення криволінійної трапеції. Записати формулу для знаходження площі фігури,обмеженої зверху і знизу графіками неперевних функцій та прямими х=a і х=b (a

Робота в групахгрупа по обчисленню площ фігур та об'ємів тіл;група по розв'язуванню задач фізичного змісту;група по розв'язуванню рівнянь та нерівностей;група по розв'язуванню нестандартних завдань.

ВЕЛИЧНІСТЬ ІНТЕГРАЛІще одну вершину підкорили: Його величність інтеграл. Для себе ми відкрили.І від тепер об’єми тілІ площі всіх фігур. Підвладні нам. Низький уклін тобі Величність ІНТЕГРАЛ!

Домашнє завдання. Опрацювати конспект та виконати завдання __________________

Робота в групах. Група по розв'язуванню рівнянь та нерівностей1) Розв’язати нерівність: Відповідь: х є [-4;4] . 2) Розв’язати рівняння: Відповідь: ±π/3+πn, n є Z.

Робота в групах. Група по обчисленню площ фігур та об'ємів тіл. Задача 1. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій у=|4-х2|, та у=4+2|x|у0124-4-22 Відповідь

Робота в групах. Група по обчисленню площ фігур та об'ємів тіл. Задача 2. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням криволінійної трапеції, обмеженої лініями: у=х2+2, х=0 і дотичної до параболи y=х2+2, проведеної в точці з абсцисою х0=1, навколо осі Ох. Відповідьxyy = x2+2y = 2x + 1 O211

Робота в групах. Група по розв'язуванню задач фізичного змісту. Задача 1. Два тіла почали рухатися одночасно по прямій із однієї точки в одному напрямі. Одне тіло рухалось із швидкістю v1(t)=3t2+2t( м/с); друге-із швидкістю v2(t)=2t(м/с). Чому буде дорівнювати відстань між тілами через 6 с.?Відповідь: 216 м . Задача 2. З підручника №4, §26. Яку роботу потрібно витратити на стискання пружини на 4 см, якщо відомо, що сила 2 Н стискає цю пружину на 1 см?Відповідь: 0,16 Дж .

Робота в групах. Група по розв'язуванню нестандартних завдань. Задача 1. При яких значеннях S1 більше від S2 на 0,125 кв.од.?Відповідь: t=arcsin0,25. Задача 2. Знайти всі додатні числа a, для кожного з яких Відповідь: a=1. Задача 3. При якому значенні a пряма х=а ділить фігуру, обмежену графіком функції та прямими y=0, x=2,x=8 на дві рівновеликі частини?Відповідь: a=4.

Учнівська презентаціяна тему“ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІПРО ІНТЕГРАЛ”Автор: Матвіїв Анастасія

Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального числення пов’язана з потребою в знаходженні площ фігур, а також поверхонь і об’ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального числення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального числення можна знайти в роботах давньогрецьких вчених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.).

Математики XVII ст. вчилися на працях Архімеда. Німецький астроном Й. Кеплер застосував подібні методи. Італійський математик Б. Кавальєрі, уявивши кожну фігуру утвореною з відрізка, а тіло із плоских фігур, сформулював принципи, які вважав очевидними й приймав без доведення. Символ ∫ - змінену латинську букву S (summa) – запровадив Г. Лейбніц, слово «інтеграл» - швейцарець Я. Бернуллі. Й. Кеплер. Г. Лейбніц. Я. Бернуллі

К. Фур’єЖ. Лагранж Більш раннє поняття «примітивна функція», введене Ж. Лагранжем, пізніше було замінено на поняття «первісна для функції», що його застосовують і зараз. Позначення визначеного інтеграла увів К. Фурьє.

Слід зазначити, що в XVII ст. інтегрального обчислення як такого ще практично не було. Зв’язок між операціями диференціювання й інтегрування, узагальнення ідей, на яких ґрунтується розв’язання багатьох задач, було знайдено І. Ньютоном і Г. Лейбніцем: незалежно один від одного учені відкрили вираз, відомий зараз як формула Ньютона – ЛейбніцаІ. Ньютон

У XIX ст. методи інтегрального числення активно розвивав Л. Ейлер, також значний внесок зробили російські математики М. В. Остроградський, В. Я. Буняковський та П. Л. Чебишев. М. Остроградський. П. Чебишев. В. Буняковський

В XX ст. теорія інтегралів була строго викладена в роботах О. Коші, Б. Рімана, Г. Дарбу. Відповіді на низку питань, пов’язаних з обчисленням площ і об’ємів фігур, були отримані разом зі створенням К. Жорданом (1838-1922) теорії міри. О. Коші