Матеріали до уроку "Формула повної ймовірності. Формула Байєса"

Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

Ймовірність події , обчислена за умови, що мала місце інша подія , називається умовною ймовірністю події  відносно події  і позначається .

Теорема множення ймовірностей залежних подій. Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, яка обчислена за умови, що перша мала місце:

Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних у сукупності подій дорівнює:

      де ) – ймовірність протилежних подій, ).

Якщо всі ймовірності , то

Подіі і називаються сумісними, якщо поява однієї із них не виключає можливість появи іншої.

Теорема. Якщо випадкові події    і    сумісні, то ймовірність появи хоча б однієї з них дорівнює сумі ймовірностей кожної з них без ймовірності їх одночасної появи 

Теорема. Ймовірність події , яка може відбутися лише за умови появи однієї з n попарно несумісних подій ,  що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події , тобто

Цю формулу називають формулою повної ймовірності, а події   — гіпотезами для події .

Нехай подія може відбутися разом з однією з подій  , які утворюють повну групу. Нехай відомо, що в результаті випробування подія А відбулася.

Знайдемо ймовірність того, що подія відбулася разом з подією . Із рівності і залежності події від В_і за теоремою множення маємо

Звідси

де обчислюється за формулою повної ймовірності.

Цю формулу називають формулою Байєса.

Задача 1. Студент прийшов на екзамен, знаючи лише 20 з 25 екзаменаційних питань. Яка ймовірність того, що він знає відповіді на всі три запитання?

Розв’язування. Нехай маємо наступні події:

подія  – студент знає відповідь на перше запитання;

подія – студент знає відповідь на друге запитання;

подія  –студент знає відповідь на третє запитання.

Оскільки студент знає відповіді лише на 20 запитань із 25, то події , ,  – залежні. Тому для розв’язання задачі скористаємося формулою

для випадку трьох залежних подій. Де , ,

Маємо

Відповідь: 

Задача 2. Прилад складається з чотирьох елементів, що працюють незалежно один від одного. Ймовірність того, що перший елемент не вийде з ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,95. Для другого, третього і четвертого елементів ця ймовірність дорівнює відповідно 0,9; 0,85; 0,8. Яка ймовірність того, що під час роботи приладу з ладу не вийде хоча б один елемент?

Розв’язування. Нехай — імовірність того, що перший елемент не вийде з ладу. Для другого, третього та четвертого елементів ця ймовірність становитиме відповідно = ; .

Ймовірності того, що ці елементи вийдуть із ладу, дорівнюватимуть відповідно:

q₄

На підставі формули маємо:

Відповідь:

Задача 3. Перевезення вантажів для підприємства забезпечують два автогосподарства, які з цієї метою щодня в першу зміну мають виділяти по одному автомобілю. Ймовірність виходу автомобіля на лінію в першому автогосподарстві дорівнює 0,7, а в другому — 0,6. Знайти ймовірність того, що в першу зміну на підприємстві перевозитимуться вантажі.

Розв’язування. Розглянемо події: — «на підприємстві в першу зміну перевозитимуться вантажі»; — «для перевезення вантажів прибув автомобіль із першого автогосподарства»; — «для перевезення вантажів прибув автомобіль із другого автогосподарства». Тоді . Події сумісні, тому Очевидно, що події незалежні і .  Остаточно дістаємо:

Відповідь:

Задача 4.  Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця ; для другого  -  . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.

    Розв’язування. Подія : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези:

: обидва не влучили; : обидва  влучили;   -  перший влучив, другий не влучив; -  другий влучив, перший не влучив.

     Обчислимо ймовірності цих гіпотез:

.

Перевіримо:

   Оскільки умовні ймовірності =0, , то за формулою повної ймовірності 

      Отже, шукана ймовірність  

Відповідь:

Задача 5. Два автомата виробляють одинакові деталі, які поступають на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша продуктивності другого. Перший автомат виробляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а   другий – 84%. Навмання взята з конвейєра деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.

Розв’язування. Позначимо через подію – деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення   ( гіпотези ): – деталь вироблена  першим  автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей,  у порівнянні з другим);    – деталь вироблена другим автоматом,

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості,  якщо вона вироблена першим автоматом, 

Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості,  якщо вона вироблена другим  автоматом, 

Ймовірність того,  що навмання взята деталь виявиться  відмінної  якості, за  формулою повної ймовірності дорівнює

Шукана ймовірність того,  що взята деталь відмінної якості вироблена першим автоматом,  за  формулою  Байєса  дорівнює

Відповідь:

Задача 6. На заводі перший цех виробляє , другий третій – всіх деталей. В їх продукції браку, відповідно . Випадково вибрана деталь виявилась дефектною. Знайти ймовірність того, що вона виготовлена другим цехом.

Розв’язування. Нехай подія – деталь дефектна. Висунемо гіпотези: – деталь виготовлена першим цехом, – деталь виготовлена другим цехом, – деталь виготовлена третім цехом. За умовою задачі, відповідні ймовірності гіпотез Умовні ймовірності події дорівнюють:

За формулою Байєса  маємо:

Відповідь:

Задача 7. В урну,  яка містить дві кулі, покладена  біла куля, після чого з неї навмання вилучена одна куля. Знайти ймовірність того, що вилучена куля буде білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення щодо початкового складу білих куль .               

Розв’язування. Нехай подія  А – вилучена біла куля. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль: – білих куль немає.  – одна біла куля.  – дві білі кулі. Оскільки є всього три гіпотези, причому за умовою задачі вони рівноможливі, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює одиниці (оскільки вони утворюють повну групу подій),  то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює , тобто . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля,  при умові, що спочатку  в  урні не було білих куль, . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля,  при умові, що спочатку  в  урні булa 1 білa куля, . Умовна ймовірність того, що буде вилучена біла куля,  при умові, що спочатку  в  урні було 2 білі кулі, . Шукану ймовірність того,  що буде вилучена біла куля,  знаходимо за формулою повної ймовірності

Відповідь:

Завдання для самостійного виконання

1. Партія містить 12 стандартних і чотири нестандартні деталі. Навмання беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей: усі три нестандартні.
2. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалежно один від одного. Ймовірності виходу з ладу першого, другого і третього елементів відповідно рівні 0,1; 0,15; 0,2. Знайти ймовірність того, що прилад вийде з ладу, якщо для цього достатньо, щоб відмовив хоча б один елемент.
3. Три дослідники, незалежно один від одного, проводять вимірювання деякої фізичної величини. Ймовірність того, перший дослідник допустить помилку при зніманні показів приладу, дорівнює 0,1. Для другого та третього дослідників ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,15 та 0,2. Знайти ймовірність того, що при одному вимірюванні хоча б один дослідник зробить помилку.
4. Стрілець стріляє по цілі 6 разів, ймовірність попадання в ціль дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що хоча б раз стрілець влучить в ціль.
5. На двох верстатах-автоматах виробляються однакові заготівки, які транспортером перекидаються в одне і те саме місце. Продуктивність другого верстата в 1,5 рази більша, ніж першого. Перший верстат дає 5 % нестандартних заготівок, а другий — 93 % стандартних. Знайти ймовірність того, що взята навмання заготівка буде: 1) стандартна; 2) нестандартна.