Ірраціональні нерівності з параметрами та модулями

Ірраціональні нерівності з модулями та параметрами

 

Ірраціональні нерівності з модулем

 

Зміст завдань з математики, які  пропонуються на олімпіадах, на курсах у ВНЗ, а також на ЗНО, як правило, містить задачі з модулями та параметром. Серед них трапляються і ірраціональні нерівності з модулями і параметрами.

Нерівності з модулями можна розв’язувати згідно такого алгоритму:

1. Підмодульний вираз прирівняємо до нуля.
2. Розбиваємо числову пряму отриманими значеннями на проміжки.
3. Розкриваємо модуль на кожному проміжку і розв’язуємо отриману нерівність.

Для прикладу розв’яжемо нерівність .

 

2                      х

 

 

 

 

 

Якщо , то   тобто           

Для f(х)=,   D(f)=(.

Нулі цієї функції знайдемо розв’язавши рівняння

,                   D = 5,                   .

+                +              -                       1    х

 

 

 

.

 

Якщо то   

D(f)=

D = 1 – 12 = -11  Функція не має нулів.

•  

                      3                       х

Отже, нерівність не має розв’язків.

Відповідь: .

 

Нерівності з параметрами

 

«Нерівностями з параметрами називають нерівності виду F(х,а₁, а₂,…, а_m) або F(х,а₁, а₂,…, а_m) де х – невідоме число, яке знаходимо, а  а₁, а₂,…, а_m – змінні параметри»

Розв’язування таких нерівностей залежить від допустимих значень параметрів а₁, а₂,…, а_m.

При розв’язуванні нерівностей з параметрами область зміни параметрів може бути заданою. Якщо не вказані проміжки зміни параметрів, то вважається, що параметри можуть набувати усіх значень, при яких функція F(х,а₁, а₂,…, а_m) має зміст.

Під час розв’язування ірраціональних нерівностей краще застосовувати метод інтервалів, хоча можна замінювати нерівність рівносильною системою нерівностей. Але при розв’язуванні рівносильної системи нерівностей, слід стежити за рівносильністю переходів від однієї системи до іншої.

Для прикладу розв’яжемо нерівність

Маємо функцію   D(f)=

Нулі цієї функції знайдемо з рівняння:        

D = 1- 4(1 - a) = 4a – 3.

Якщо D то то рівняння не має коренів.

-                                                    0,75                     х

 

 

Отже, нерівність не має розв’язків.

 

 

Якщо D = 0, то і рівняння має один корінь

-                -                 -0,75         -0,5                      х

 

 

 

 

 

Тому нерівність має один розв’язок.

 

Якщо D тобто то .

-                +              -                 х

 

 

 

 

 

Тобто, розв’язком нерівності є: .

Відповідь: якщо то нерівність не має розв’язків;

                   якщо  , то х=0,5;

                   якщо    то х є   .