Фрактали

                           Геометрія мистецтва… 

Фрактал - його цифровий вираз…

Бенуа Мандельброт

Розділ: науки, природа, мистецтво.

Рівень: 8-11 клас

Тема: наука

Мета: Дізнатися, що таке фрактал, які фрактали зустрічаються в математиці, природі, де і як використовуються в комп’ютерній графіці.

 

Яка інформація мене тут чекає:

     Що таке фрактал у нашому житті

     Які фрактали розглядають математики

     Де зустрічаються фрактали у природі та мистецтві

     Який зв'язок між фракталами і комп’ютерною графікою.

 

6 розгорток з предметів:

          

Вступ

Ми живемо у світі фракталів, про які написано багато статей, наукових монографій. Зображення фракталів вражають нас різноманітністю форм і надзвичайною красою. Світ фракталів нас очаровує. Який зв'язок мають фрак тали з контурами хмар, блискавкою, димом, деревами, береговою лінією, руслами річок, бронхами легенів, артеріями?

 Майкл Бернслі у своїй книзі «Фрактали всюди» написав: «Фрактальна геометрія змусить вас на все дивитись іншими очима… Ви ризикуєте втратити своє дитяче уявлення хмар, лісів, галактик, листя, квітів, скель, гір та багато чого іншого. Ваше сприйняття цих речей ніколи більше не буде, як колись».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ми починаємо цікаву подорож у світ фракталів.

 

 

 

 

 

 

Математика

Що таке фрактал? Чи має математика відношення до фракталів?

Фракта́л (лат. fractus — подрібнений, дробовий) — нерегулярна, самоподібна структура. В широкому розумінні фрактал означає фігуру, малі частини якої в довільному збільшенні є подібними до неї самої. Термін фрактал увів у  1975 року Бенуа Мандельброт.

Простим прикладом фракталу є «п’ятикутник Дарера», який має вигляд зв’язки п’ятикутників. Фактично його утворено з використанням п’ятикутника у якості ініціатора та рівнобедрених трикутників у якості генератора, для яких відношення більшої сторони до меншої точно дорівнює так званій золотій пропорції (1,618). Ці трикутники вирізаються з середини кожного п’ятикутника, у результаті чого отримується фігура, яка схожа на п’ять маленьких п’ятикутників, приклеєних до одного великого.

У математиці розглядають - геометричні, алгебраїчні та стохастичні фрактали.

Історія фракталів починалася саме з геометричних фракталів. Їх отримують шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай береться «приманка»  - набір відрізків, на підставі яких будуватиметься фрактал. Далі до цієї «приманки» застосовують набір правил, який перетворить її у будь-яку геометричну фігуру. Існує проста процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевою кількістю ланок, так званий генератор. Далі, замінимо в ній кожен відрізок ламаною, подібною до генератора. В отриманій ламаній знову замінимо кожний відрізок генератором. Продовжимо так до нескінченності, гранична крива буде фрактальною кривою. Розглянемо  дуже цікавий і відомий фрактал «Сніжинка Коха», яка будується на стороні рівностороннього трикутника.

Як це відбувається?

 

 

 

 

 

 

Ще один відомий фрактал «Трикутник Серпинського» (описаний у 1915 році польським математиком Вацлавом Серпинським).

 

Завдання. Поясніть побудову цього фрактала.

 

Друга велика група фракталів - алгебраїчні. Вони будуються на основі алгебраїчних формул, іноді дуже простих. Один з методів одержання алгебраїчного фракталу - це неодноразовий розрахунок функції Z_n+1=f(z₁), де z - комплексне число. До алгебраїчних фракталів відносять фрактал П’єра Фату, який вивчав процеси виду z=z²+c. Починаючи з точки z₀ на комплексній площині можна за допомогою цієї формули одержати нові точки. Класичний зразок фрактала – множина Мандельброта – множина точок комплексної площини c=iy.

https://www.youtube.com/watch?v=aUoA5vUA6bo

 

Чорний колір у середині показує, що у цих точках функція прямує до нуля – це і є множина Мандельброта. За межами цієї множини функція прямує до нескінченності. На межі множина веде себе непередбачувано, межі є фрактальними. Алгебраїчні фрактали натхнули комп’ютерних художників на створення композицій дивовижної краси.

Стохастичні фрактали утворюють шляхом багатьох повторень випадкових змін якихось параметрів. У результаті ітераційного процесу одержують об’єкти дуже схожі на природні фрактали – несиметричні дерева, берегові лінії островів і т.п. Двомірні стохастичні фрактали використовують частіше усього при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання. Створити фрактал, використовуючи пластилін, палички або наліпки. Приклади:

 

      

Природа

Що спільного мають дерево, беріг моря, хмара або кровоносні судини нашої руки? Існує одна властивість, що притаманна усім цим речам – вони  самоподібні. Від гілки, як і від стовбура дерева, відходять паростки дрібніші, від них – ще  дрібніші, і т.п., тобто гілка подібна до дерева. Схожим чином облаштована і кровоносна система: від артерій відходять артеріоли, від них – капіляри, по яких кисень попадає до органів та тканин. Якщо подивитися на космічні знімки морського узбережжя, ми побачимо заливи та півострови, але з висоти пташиного польоту – бухти і миси, а якщо ми стоїмо на пляжі і дивимося собі під ноги, то завжди знайдуться камінці, які далі занурені у воду, ніж інші. Тобто, берегова лінія при збільшенні масштабу залишається схожа на себе. Цю властивість об’єктів американський (французького походження) математик Бенуа Мандельброт назвав фрактальністю, а самі об’єкти – фракталами.

Фрактальна  геометрія використовується при моделюванні природних явищ, при аналізі коливання курсу валют (економіка). Фрактали застосовуються у фізиці твердого тіла, електроніці. Фрактальні алгоритми лежать в основі росту кристалів, коралів, рослин, використовують для генерування поверхні місцевості, штучних хмар, гір, поверхні моря тощо.

Структури, що схожі на фрактали, можна знайти в навколишньому середовищі: контури хмар і  морських берегів, турбулентні потоки в рідинах, тріщини в породах, зображення структур деяких речовин, отримані під мікроскопом тощо. Звичайна сніжинка (багатократно збільшена) є фрактальним об’єктом. Фрактали описують природні форми більш витончено і точніше, ніж об’єкти евклідової геометрії.

Об'єкти, що володіють фрактальними властивостями, в природі.

У живій природі:  корали, морські зірки і їжаки, морські раковини, квіти і рослини (броколі, капуста), плоди (ананас), крони дерев і листя рослин, кровоносна система і бронхи людей і тварин. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У неживій природі:  межі географічних об'єктів (країн, областей, міст), берегові лінії, гірські хребти, сніжинки, хмари, блискавки, утворені на склі візерунки, кристали, сталактити, сталагміти, геліктити.

.

 .

   

 

 

 

 

 

 

 

Архітектура

Ми живемо у світі, де нас оточують будівлі різної форми. Яке місце посідають фрактали в архітектурі? Що таке фрактальна архітектура? Вона  може бути створена штучно або виникає природно. Наприклад, протягом тисячоліть вітер і дощ поступово руйнували шари вулканічного попелу, щоб створити неповторні ландшафти.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каміни Фей. Каппадокія. Турція

 

Багато шедеврів світової архітектури минулого фрактальність використовували інтуїтивно. Б. Мандельброт першим написав про фрактальність архітектури, для порівняння посилаючись на форму Парижської опери.

Ось ряд прикладів фрактальних форм в архітектурі. Це, в першу чергу, самоподібність форм в архітектурі будівлі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По-друге, це фрактальні прообрази і архітектура пірамідальних фасадів.

 

      І, безумовно, фасади готичних будівель.

 

    

     Міланський собор. Італія                    Собор Святого Петра. Ватікан

 

 

 

 

 

 

 

 

Собор Святого Сімейства. Барселона. Іспанія.

А який фрактал ми бачимо в соборі під куполом Принципи фракталоподібного формоутворення в архітектурі застосовуються з давніх часів. Архітектори сучасності, яких натхнула складна геометрія фракталів, вирішили втілити математичні образи в прості, зрозумілі оку та логіці, форми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мистецтво

 

Фрактальні структури були відомі людині ще з давніх часів, але описувалися вони за допомогою мистецтва Мандельброт.

Фрактали дуже давно і щільно полонили живопис, починаючи з цивілізацій ацтеків, інків і майя. Пейзажні традиції давнього і середньовічного Китаю – це найбільш ранні та яскраво виражені зірці фрактального живопису.

 

 

Нідерландьский художник Мауріц Корнелис Ешер застосовував при створенні робіт методи, які були засновані на математичних принципах.

                 «Метелики»                                    «Усе менше та менше»     

 

Ешер також є автором так званих «неможливих фігур», які створювали оптичні ілюзії, вводили в оману глядачів.

«Сфера спіралей»

 

 Сьогодні створення фракталів не є  складним. Існує багато комп’ютерних програм, які дозволяють синтезувати їх дуже багато. Але існують ще автори, що працюють як в давнину  і використовують  відчутні засоби, а не цифрові. Один з них – доктор нейробіології  Пенсильванського університету Грег Данс.

 Вчений застосовує звичайні матеріали і техніку: алюмінієві пластини, золото, емаль, слюду, чорнила і т.п. Він зізнається: «Я захоплююсь японськими, китайськими і корейськими митцями живопису, їх самодостатністю і простотою. Я намагаюсь наслідувати їх приклад».

Елементи фрактального живопису у своїй творчості використовували:

Вінсент Ван Гог

«Дорога з кіпарісами»                                        «Зоряна ніч» 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Піт Мондріан                                                   Чюрльоніс 

 «Церква Святого Якоба»                          «Весна»                    

 

                                                                    «Гора»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Сальвадор Далі                                              Василь Кандінський

          «Галатея сфер»                          «Кола у колі»           «Декілька кругів»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Микола Реріх

                  «Христос в пустелі»                  «Паління темряви»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Павло Філонов

«Формула всесвіту»

 

 

 

 

 

 

Традиційний український художній стиль – Петриківський розпис, цікавий, автентичний, неповторний. У ньому безліч мальовничих квітів та дивних птахів, що манять своєю красою та барвистими візерунками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Точковий розпис (Point-to-point) — це техніка декорування предметів інтер'єру шляхом нанесення на них точок. Візерунок або наносять по заздалегідь обраним шаблонам, або зображують самостійно з окремих ліній і фігур, листочків або ромбів, імпровізуючи в процесі роботи. Точковим розписом можна прикрашати будь-яку поверхню: скло, дерево, шкіру, метал, пластик.

Завдання: за допомогою точкового розпису створити візерунок для розмальовки ялинкових прикрас.

Фізика

 Фрактали знаходять все більше застосування у сучасній науці. Вони описують реальний світ навіть краще, ніж традиційна фізика або математика.

У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентна течія рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум’я, хмари тощо. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії, для опису кривизни поверхні. Нерівна поверхня характеризується комбінацією з двох різних фракталів.

             Радіотехника. Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який мешкав у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будівлях. Натан вирізав з алюмініевої фольги фігуру у формі кривої Коха і наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коен став засновником власної компанії і налагодив серійний випуск антен.  

Механіка рідин. Як зявляються морозні візерунки на вікнах? Чому нас зачаровують ці зимові картини?

Взимку повітря біля вікон сильно охолоджується і частина водяної пари з нього попадає на холодне скло у вигляді кристаликів льоду. Потім ці кристали починають розростатися і малюють на склі дивовижні візерунки.

 

 

 

 

 

 Вивчення турбулентності у потоках дуже добре підстроюється під фрактали. Турбулентні потоки хаотичні, тому їх досить важко моделювати. І тоді допомогає перехід до фрактальних уявлень, що досить сильно полегшує роботу інженерам і фізикам, дозволяє їм краще зрозуміти динаміку складних потоків. Наприклад, атмосфера Юпітера – це одне з самих захоплюючих видовищ у Сонячній системі.

 

 

 

 

 

Між крижаним холодом космічного простору і тисячоградусною спекою в глибинах атмосферного океану гігантської планети зароджуються циклопічні хмарні віхорі самих неймовірних форм.

Будова атома. Як відомо, атом – найменша хімічно неподільна частинка речовини. Фізична модель атома розкриває подробиці його будови. Атом складається з щільного ядра з позитивно заряджених протонів та електрично нейтральних нейтронів. Ядро оточене набагато більшою за розміром оболонкою з негативно заряджених електронів.

 Раніше вважали, що протони – елементарні  частинки, які не мають внутрішньої структури. Однак сучасні дослідження показують, що протон є дуже складною системою. При дослідженні була виявлена деревоподібна фрактальна структура, яка в динаміці відтворювала яруси само подібних блоків все більших розмірів, що повторювалися. Для протона знайдено фрактал нового типу. Є підстави вважати, що фрактал протона лежить в основі природних структур, що відкриває шлях до розкриття генетичного коду будови речовини у Всесвіті.

Фрактал протону.

 

Інформатика

Фрактали широко використовуються у комп’ютерній графіці для побудови зображень природних об’єктів. Для цього створені так звані генератори фракталів – спеціальні комп’ютерні програми, які дозволяють обрати алгоритм генерації фрактальних зображень, збільшити той чи інший фрагмент зображення, поміняти кольорову гаму, редагувати деякі топологічні параметри і зберігати отримане зображення в одному з популярних графічних форматів, таких як JPEG, TIFF, PNG.

Теорія фракталів використовується у різних сферах людської діяльності. Крім фрактального живопису, фрактали використовують в теорії інформації для стискання графічних даних, оскільки для збереження невеликого фрагмента малюнка і перетворень, за допомогою яких можна одержати інші частини, потрібно набагато менше памп’яті, ніж для збереження усього файлу. У радіоелектроніці почали виготовляти антени, які мають фрактальну форму. Вони займають мало місця, але забезпечують досить якісний прийом сигналу. Економісти використовують фрактали, щоб описувати криві коливання курсів валют.    

   Програми фрактальної графіки автоматично генерують зображення (візерунки) шляхом математичних розрахунків. Для генерації фрактальних зображень використовуються програмні засоби (Art Dabbler, Ultra Fractal, Fractal Explorer, ChaosPro, Apophysis, Mystica).   

 Apophysis − програма для генерації фракталів на основі базових фрактальних формул. Створені за готовими формулами фрактали можна редагувати і змінювати, регулюючи різноманітні параметри.

 Earth Watch призначений для моделювання та демонстрації тривимірного зображення метеоумов над Землею, будувати топологічні поверхні на основі космічних знімків.

 

Завдання: Використовуючи програми та он-лайн сервіси в мережі Інтернет спробувати створити фрактал (фрактальне зображення).

Підведення підсумків кейс-уроку

№	Назва	Зміст
1	Результати уроку можна доповнити такими знахідками
2	Які три сайти допомогли знайти важливу інформацію	https://uk.wikipedia.org/ https://www.youtube.com/ http://edufuture.biz/
3	На допомогу учню і коучу	http://edufuture.biz/ https://uk.wikipedia.org/ https://www.youtube.com/
4	Де знаходити інформацію для кейсу	https://uk.wikipedia.org/   https://www.youtube.com/watch?v=aUoA5vUA6bo   http://www.berlogos.ru/article/fraktaly-v-arhitekture/   http://symphonya.info/publ/prosnis_i_poj/ehto_interesno/fraktalnaja_arkhitektura/133-1-0-1896   https://www.youtube.com/watch?time_continue=33&v=Plere3Crj5Q
5	Локація проведення кейс - уроку	Кейс- урок проходить у класі, бібліотеці
6	Змагання	Команди хлопчиків і дівчат. Завдання: Створити фрактал з використанням олівців, пластиліна, наліпок.
7	Домашнє завдання	За допомогою точкового розпису створити фрактальний візерунок для розмальовки ялинкових прикрас      Використовуючи програми та он-лайн сервіси в мережі Інтернет спробувати створити фрактал (фрактальне зображення).
8	Тривалість	90 хвилин (спарений урок)
9	Можливість схеми заняття з учнем-дублером	Можливо
10	Отримані знання і напрацьовані компетенції	  Уміння швидко знайти необхідну інформацію і креативно користуватися нею в практичних цілях.   Знання про фрактали в області математики, фізики, мистецтва, архітектури, природи.   Уміння конструювати «нові знання» на основі отриманих знань та їх сегментів.
11	Теги	Фрак тали, стохастичні фрак тали, фрактальна графіка,  фрактальна структури, трикутник Серпинського,  множина Мандельброта, комп’ютерна графіка, фрактальні антени
12	Автори	Постнікова Тетяна Володимирівна, вчитель математики Марганецької спеціалізованої природничо-математичної школи І-ІІІ ступенів № 11 вищої кваліфікаційної категорії, «Вчитель-методист»
13	Брали участь у апгрейді кейсу	Учні9-х, 11-х класів Марганецької ПМШ №11