Алгебра та початки аналізу 11 клас

ТЕМА: «Первісна, основна властивість первісної, правила обчислення первісної, невизначений інтеграл»

МЕТА:                                                                                                

Формування поняття первісної функції та поняття невизначеного інтегралу, знання таблиці первісних;                                    

 Відпрацювати таблицю первісних, правила знаходження первісних;

 перевірити рівень знань з теми;

 повторити формули тригонометрії, степінь з цілим показником;

 готувати учнів до незалежного зовнішнього оцінювання;

розвивати логічне мислення, вміння чітко висловлювати думки, грамотно використовувати математичні терміни;

виховувати почуття відповідальності, самоповаги, взаємоповаги.

ОБЛАДНАННЯ: підручники, таблиця первісних, картки для самостійної роботи (тестові завдання за аналогом завдань для зовнішнього оцінювання); бланки для відповідей, картки для роботи в парах.

1.Сприймання і усвідомлення поняття первісної.

Операції в математиці                                                                                         Кожна дія (операція) в математиці має обернену: додавання-віднімання; множення-ділення; піднесення до степеня – добування кореня; логарифмування – потенціювання; множення одночлена на многочлен - розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки.

Основна операція диференціального числення є знаходження похідної даної функції .                                                                   Обернена операція до диференціювання є: за відомою похідною деякої функції знайти (відновити) саму функцію , яку називають первісною F для відомої функції .                                                      Операція знаходження первісної F для даної функції називається інтегруванням.                                                                                        Отже, інтегрування є оберненою операцією до операції диференціювання.

Первісна Означення. Первісною для даної функції y=f(x) на заданому проміжку [a; b] називається така функція F(x), похідна якої для всіх x з інтервалу [a; b] дорівнює f(x), тобто Fʹ(x)=f(x) для всіх x є [a; b].

У фізиці трапляються задачі: відомо прискорення, треба знайти закон руху. 

При вивченні теми «Похідна» ми розв'язували задачу про зна­ходження швидкості прямолінійного руху по заданому закону зміни координати s(t) матеріальної точки. Миттєва швидкість v(t) дорівнює похідній функції s(t), тобто v(t) = s'(t).

У практиці зустрічається обернена задача: по заданій швидкості v(t) руху точки знайти пройдений нею шлях s(t), тобто знайти таку функцію s(i), похідна якої дорівнює v(t). Функцію s(t) таку, що s'(t) = v(t), називають первісною функції v(t). Наприклад, якщо v{t) = gt, то s(t) = є первісною функції v(t), оскільки .

Ще М. Ломоносов зазначив: «Фізик сліпий без математики», – тож на допомогу приходять знання математики: необхідність інтегрування функції.

2.Сприймання і усвідомлення основної властивості первісної, поняття невизначеного інтеграла.

Розглянемо функцію f(x) = х². Доведемо, що функції , , є первісними функції f(х).

Дійсно, , , .

Взагалі будь-яка функція + С, де С — постійна, є первісною функції х². Це випливає з того, що похідна постійної дорівнює нулю.

Цей приклад свідчить, що для заданої функції первісна ви­значається неоднозначне.

Теорема 1. Нехай функція F(x) є первісною для f(х) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + С також є первісною для функції f(х).

Доведення

Оскільки F(x) — первісна функції f(x), то F'(x) = f(x).

Тоді (F(x) + С)' = F'(x) + С' = f(х) + 0 = f(x), а ця рівність озна­чає, що     F(x) + С є первісною для функції f(х).

Теорема 2. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді будь-яка первісна для функції f(x) на цьому проміжку може бути записана у вигляді F(x) + С, де С — деяка стала (число).

Доведення

Нехай F(x) і F₁(x) — дві первісні однієї і тієї самої функції f(x), тобто (x) = f(x), (x) = f(x). Похідна різниці g(x) = F(x) – F₁(x) дорівнює нулю, оскільки     g'(x) = (x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0. Якщо g'(x) = 0 на деякому проміжку, то дотична до графіка функції у = g(x) у кожній точці цього проміжку паралельна осі ОХ. Тому графіком функції у = g(x) є пряма, яка паралельна осі ОХ, тобто g(x) = С, де С — деяка стала. Із рівностей g(x) = С,

g(x) = F₁(x) - F(x) випливає, що F₁(x) – F(x) = С, або F₁(x) = F(x) + С.

Теореми 1 і 2 виражають основну властивість первісної.

Основній властивості первісної можна надати геометричного змісту: графіки будь-яких двох первісних для функції f одержуються один із одного паралельним перенесенням вздовж осі ΟΥ (рис. 87)

Нехай функція f має на деякому проміжку первісну. Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називають невизначеним інтегралом цієї функції і позначають . функцію f(x) називають підінтегральною функцією.

З доведених теорем випливає, що  = F{x) + С, де F(x) — яка-небудь первісна для функції f(x) на даному проміжку, С — довільна стала (її називають сталою інтегрування). Наприклад, функція sin x є первісною для функції cos x на проміжку (-; +), тому можна записати, що

.

3. Сприймання і усвідомлення таблиці первісних (таблиці невизначених інтегралів).

Користуючись таблицею похідних, можна скласти таблицю первісних (таблицю невизначених інтегралів) для функцій, по­хідні яких відомі

4.Розв'язування вправ на відпрацювання поняття    «Первісна»

Алгоритм розв’язання задачі

1.З’ясуй, про яке поняття йде мова в задачі.

2.Знайди в опорному конспекті необхідну формулу.

3.Підстав замість змінних їх числові значення згідно

до умови.

4.Проведи обчислення.

5.Запиши відповідь.

1.Чи є функція первісною для функції , якщо:

1) ,  , ;

2) ,  , ;

3),,.

2.Знайти первісні для функцій:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

5.Розв’язування прикланих задач фізичного змісту.

План розв’язування

1. записати математичну залежність між фізичними величинами;
2. знайти первісні, використовуючи правила знаходження;
3. використати початкові умови для знаходження конкретного вигляду первісних;
4. записати рівняння зі знайденим значенням С.

Необхідно пригадати з курсу фізики залежності . Яка з даних величин є первісною?

Швидкість руху точки задається рівнянням (м/с). Знайти рівняння руху , якщо (м).

Розв’язання

1) ,

2) ,

3),

4) .

Відповідь: .

За аналогічною схемою розв’язати вправу №7 підручника 1, ст.375.

6. Формування умінь учнів знаходити первісні для функцій, користуючись правилами знаходження первісних.

Виконання вправ.                   

1. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

a) f(x) = 2х⁵ - 5х²;    б) f(x)= +  в) f(x) = + 3;  г) f(x) = 5·-.

2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

a) f(x)=5cosх-3sin x;  б) f(x)=2e^x + 3cos x;   в) f(x)=+10^x;  г) f(x)=-.

3. Знайдіть невизначені інтеграли: а) ; б) ; в) ; г) .

4. Знайдіть невизначені інтеграли:

a) ;   б) ;

в) ;  г) .        

5. Знайдіть невизначені інтеграли:

а) ;   б) ;    в) ; 

г) ;  д) ;       є) .

6. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

1. f(x) = 1 - cos 3х + 2e^l-2х; б) f(x) = 10^3х-1 - 2cos 6x; в) f(x) = 3sin 2x - ;  

г) f(x) = + ; д) f(x) = – ; є) f(x) = e^x + 10^-2x+3.

Відповідь:

1.a);б);в); г)

2. a) F(x) = 5sin х + 3cos х+ C; б) F(x) = 2е^х + 3sin х + C;

в) F(x) = 41n|x| + + C;   г) F(x) = 3tg х + 5ctg х + C.

3. а) ;   б) ;   в) ;   г) .

4. а) е^х–2sinх+С;  б) 3e^x+cosх+C; в) ; г) 4tgх+31n|х|+2е^х+C.

5. a); б);  в) ; г) ; д) ;   e).

6. а) ; б) ;

в); г) ;

д) ; є) .

7.Підведення підсумків уроку (бесіда з учнями за планом)

1. Сформулюйте визначення первісної.

2.Сформулюйте основну властивість первісних.

3.Сформулюйте план розв’язування задач прикладного змісту з фізики

4.Сформулюйте алгоритм розв’язання задачі на знаходження первісної

8.Домашнє завдання.

Вправи №3 (2,4,6,8), №8 (використати обидві рівності почерзі ).