Конспект уроку з алгебри та початків аналізу для 11 класу на тему: "Показникова функція, її властивості та графік"

Діяльність вчителя/вчительки/вчителів

Діяльність учня/учениці/учнів

Яка сьогодні в нас мета уроку?

Сформувати знання про показникову

За необхідності, вчитель, коригує мету, яку запропонували учні.

функцію, її властивості та графік.

Діяльність вчителя/вчительки/вчителів

Діяльність учня/учениці/учнів

Спочатку вчитель запитує про завдання, з якими виникли труднощі, далі ходить по класу та проглядає зошити учнів, робить відповідні помітки.

Декілька учнів виконують завдання, з якими виникли труднощі в більшості, біля дошки з поясненнями.

Діяльність вчителя/вчительки/вчителів

Діяльність учня/учениці/учнів

Вчитель шляхом фронтального опитування пригадує з учнями основні поняття.

З функціональною лінією ви знайомитеся не вперше. Тож дайте визначення поняттям:

1) Функція. 2) Область визначення функції.

3)  Область значення функції.

4)  Парність, непарність функції.

5)  Проміжки монотонності функції.

6)  Проміжки знакосталості функції.

7)  Нулі функції.

8)  Екстремуми функції.

1) Якщо для будь-якого 𝑥 ∈ 𝐷(𝑦) за певним правилом ставиться у відповідність не більш як одне значення 𝑦 ∈ 𝐸(𝑦), то 𝑦 називають функцією (залежною змінною), а 𝑥 називають аргументом (незалежною змінною).

2) Областю визначення функції називається множина всіх значень, які може набувати незалежна змінна 𝑥.

3) Областю значень функції називається множина всіх значень, які може набувати залежна змінна 𝑦, якщо 𝑥 належить області визначення.

4) Якщо 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), то функція називається парною. Якщо 𝑓(−𝑥) =

= −𝑓(𝑥), то функція називається непарною. В іншому випадку говорять про те, що функціє ні парна, ні непарна.

5) Проміжки монотонності функції – це такі інтервали значень аргументу, при яких функція зростає або спадає. Якщо на деякому проміжку при 𝑥₂ > 𝑥₁ виконується нерівність 𝑓(𝑥₂) > 𝑓(𝑥₁), то говорять що функція зростає, якщо при

𝑥₂ > 𝑥₁ виконується нерівність 𝑓(𝑥₂) < < 𝑓(𝑥₁), то говорять що функція спадає.

6) Значення 𝑥, при яких функція набуває строго додатного чи строго від’ємного значення, називають

проміжками знакосталості функції.

7) Значення 𝑥, при яких 𝑦 = 0, називають нулями функції.

8) Екстремумом називають найбільше та найменше значення функції на заданій області визначення.

Діяльність вчителя/вчительки/вчителів

Діяльність учня/учениці/учнів

Під час вивчення різних природних процесів, зокрема біологічних та хімічних, досить часто зустрічаються залежності між змінними величинами, які описуються показниковою функцією.

Показникова функція характеризує зростання народонаселення, приріст деревини, залежності врожайності від кількості використаних органічних добрив, розмноження колонії клітин дріжджів, радіоактивний розпад, зменшення концентрації лікарського препарату в організмі людини за рахунок виведення його природним шляхом тощо.

На минулому уроці ми розглянули з вами задачу про період напіврозпаду плутонія. І в її основі теж лежало поняття показникової функції.

Тому можемо сказати, що показниковою функцією називається функція виду 𝑦 = 𝑎^𝑥, де 𝑎 > 0 і 𝑎 ≠ 1.

Побудуйте в зошитах графіки двох

𝑥

функцій 𝑦 = 2^𝑥 та                    за точками.

Такі графіки називають експонентою.

Як ми бачимо, побудовані графіки є симетричними.

Будь ласка, зазначте їх основні властивості.

За необхідності вчитель коригує відповіді учнів.

𝐷(𝑦) = ℝ.

𝐸(𝑦) = (0;+∞).

Функція ні парна, ні непарна.

При 𝑎 > 0 монотонно зростаюча.

При 0 < 𝑎 < 1 монотонно спадна.

𝑦 > 0 при 𝑥 ∈ ℝ.

Екстремумів не має.

Діяльність вчителя/вчительки/вчителів

Діяльність учня/учениці/учнів

Вчитель об’єднує учнів у 5-6 груп.

Роздає кожній групі бланк «внесок в роботу групи». Повідомляє завдання, які пропонує розв’язати учням.

Наприкінці уроку кожна група отримає, в залежності від кількості правильно розв’язаних завдань, від 0 до 8 балів.

          Кожен     учень     отримає      внутрішньо-

груповий бал від 0 до 4, в залежності від рівня внеску в роботу групи.

Оцінкою учня стане сума цих двох балів.

Під час розв’язування завдань вчитель схилятиметься до ролі фасилітатора.

Розв’язують запропоновані завдання та заповнюють бланк:

Завдання до теми: «Показникова функція, її властивості та графік»

1. Укажіть, які із заданих функцій зростають, а які спадають: −

1)

2. Знаючи, що 𝑎 > 𝑏 > 1 зобразіть схематично в одній системі координат графіки функцій 𝑦 = 𝑎^𝑥 та 𝑦 = 𝑏^𝑥.

3. Знайдіть область значень функції:

𝑥

          1)                                                                                        .

4. Побудуйте графік функції:

𝑥

          1)                                                  |(              .

5. За оцінкою лісника запас деревини на одній ділянці лісу складає 10000 кубометрів. Скільки деревини буде на цій ділянці через 10 років за умови, що середній річний приріст складатиме 2,5 %?

6. Населення міста складає 100 тисяч чоловік. Щорічний приріст населення становить 2 %. Дослідіть, як буде змінюватись чисельність населення протягом 50 років за умови, що значення приросту буде сталим.

7. У пробірку потрапив один мікроб, який відразу став розмножуватись шляхом ділення навпіл через кожну годину. Скільки мікробів буде у пробірці через добу? Через який час у пробірці буде мільйон мікробів?

8. У 1980 році на Землі проживало наближено 4,4 мільярда чоловік. У кінці 70-х років приріст населення складав 1,7 % на рік. Якою буде чисельність населення нашої планети при збереженні того ж темпу росту у: а) 2010 році; б) 2200 році?

9. Період піврозпаду радію становить 1620 років. Яка частина початкової кількості радію залишиться: 1) через 3240 років; 2) 4860 років; 3) 810 років? Оцініть, скільки відсотків складає існуюча нині на Землі кількість радію від тієї кількості, яка була на Землі на початку нашої ери?

10. Спостереження за розпадом 4 г радіоактивної речовини дали таку таблицю

залежності залишка цієї речовини m (в г) від часу t (в добах).

Запишіть формулу, яка виражає залишок радіоактивної речовини як функцію від часу. Побудуйте графік функції.