Тема уроку.   Кут між прямою і площиною.

Мета уроку:  формування поняття кута між прямою і площиною, а також умінь учнів знаходити кути між прямою і площиною.

Обладнання: стереометричний набір, модель куба.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Фронтальне опитування.

1. Дайте означення кута між мимобіжними прямими.
2. Чи залежить кут між мимобіжними прямими від вибору прямих, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим?
3. Сформулюйте узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини.
4. Сформулюйте узагальнену ознаку перпендикулярності прямої і площини.
5. Сформулюйте узагальнену теорему про три перпендикуляри.

2. Перевірка розв'язування задачі № 32.

Розв'язання

Спроектуємо ортогональне прямі а, b, с на площину, яка паралельна їм, одержимо прямі а₁, b₁, с₁ відповідно, які попарно перетинаються і паралельні прямим а, b, с. Можливі два випадки (рис. 279).

У випадку «а» маємо: кут між прямими b₁ і с₁ дорівнює 180° – 60° – 80° = 40°.

У випадку «б» маємо: кут між прямими b₁  і с₁ дорівнює 180° – (180° – 80°) – 60° = 20°.

А через те що b || b₁, с || c₁, кут між прямими b і с може дорівнювати або 40° , або 20°.

Відповідь. 20° або 40° .

3. Розв'язування задач.

1. Грані SAB і SAC тетраедра SABC (рис. 280) — прямокутні трикутники з прямим кутом з вер­шиною в точці А. Доведіть, що ребра ВС і AS взаємно перпендикулярні.
2. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть, що пло­щина, яка проходить через точки А, В₁, D₁, перпендикулярна до діагоналі А₁С .

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Кут між прямою і площиною

У курсі геометрії 10 класу ми розглянули випадки розміщення пря­мої і площини: 1) пряма лежить у площині; 2) пряма паралельна площи­ні; 3) пряма перпендикулярна до площини. Залишається дослідити ви­падок, коли пряма перетинає площину, але не перпендикулярна до неї.

Такі прямі можуть бути нахилені до площини під різними кутами. Що ж розуміють під кутом між прямою і площиною?

Якщо пряма паралельна площині або на­лежить їй, то вважають, що кут між прямою і площиною дорівнює 0°. Якщо пряма пер­пендикулярна до площини, то кут між ними дорівнює 90°. У решті випадків кутом між прямою і площиною називають кут між пря­мою і її проекцією (ортогональною) на пло­щину. На рис. 281 ВС α, А — точка пере­тину прямої а з площиною α , тоді кут між прямою а і площиною α дорівнює куту ВАС = φ. Якщо φ — кут між прямою і площиною, то 0° φ 90° .

Розв'язування задач

1. Задача № 35 із підручника (с. 56).

2. Дано зображення куба. Знайдіть кут між площиною АВС і прямою а (рис. 282).

(Відповідь, а) 90° ; б) 0°; в) 45° ; г) 45° ; д) arctg ).

3. Задача № 37 із підручника (с. 57).

4. Задача № 39 із підручника (с. 57).

5. Задача № 41 із підручника (с. 57).

6. Задача № 34 із підручника (с. 56).

III. Домашнє завдання

§ 4, п. 32; контрольне запитання № 15; задачі № 36, 38, 40 (с. 57).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Дайте означення кута між прямою і площиною.

2) У кубі ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено переріз січ­ною площиною, яка проходить через точки А₁, D, С (рис. 283). Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) площина A₁DB₁ перпендикулярна до пря­мої АА₁;

б) кут між прямою AD і площиною A₁DC, дорівнює 45° ;

в) кут між прямою АВ і січною площиною дорівнює 0°;

г) кут між прямою BC₁ і площиною A₁DC дорівнює 90° .