Лекція з математики "Вступ. Коротка історія про розвиток математики як науки."

Лекція 1

Тема: Вступ. Коротка історія про розвиток математики як науки. Ціль і завдання курсу математики. Роль математики у підготовці молодших спеціалістів для агропромислового комплексу України. Поняття про математичне моделювання. Зміст дисципліни та її зв’язок з іншими дисциплінами.

Література: О-1 с. 3-7.

1. Математика і науково-технічний прогрес. Математика є однією з найдавніших фундаментальних наук. Назва цієї науки походить від грецького слова «матема» – знання. Виникла вона на зорі розвитку людської цивілізації з практичних потреб людини. Первісним людям потрібно було вміти рахувати поголів’я худоби, зібраний врожай, слідкувати за сезонними змінами в природі, визначати час, вимірювати величину земельних ділянок, житлових приміщень. Власне звичне для нас слово «геометрія» в буквальному перекладі з грецької означає «землемірство» (від слів «геос» – земля та «метрео» – вимірювати).

Спочатку для лічби не використовувалися числа в сьогоднішньому розумінні, оскільки число – це математична абстракція. Замість числа 1 первісні люди використовували щось одиничне з навколишніх тіл (наприклад, я, сонце, місяць, ніс тощо), замість 2 – парне (вуха, руки тощо), для чисел від 1 до 10 використовували пальці рук, а якщо їх не вистачало – то й ніг. Для позначення більших чисел використовували термін «багато». Саме завдяки лічбі на пальцях рук виникла і розвивалася десяткова система числення, якою ми користуємося і дотепер. Пізніше для обрахунку почали використовувати зарубки на палиці, відкладені камінці, вузлики на мотузці тощо. Їх можна вважати першими обчислювальними інструментами. Згодом з’явилися інші – римська рахівниця («абак»), китайська («суан-пан»), японська («серобан») та російська («счёты»).

Виокремлення математики як особливої науки, що має власний предмет і метод, стало можливим тільки після накопичення великого фактичного матеріалу і сталося в Давній Греції у VI–V ст. до н. е. Цей час вважається початком періоду елементарної математики. До нашого часу дійшли імена видатних давньогрецьких вчених – Архімеда (зробив багато винаходів, в яких він використовував математичні розрахунки: катапульта, сферичні дзеркала), Піфагора (автор знаменитої теореми про сторони прямокутного трикутника), Евкліда (написав першу книгу з геометрії «Начала», яка аж до XVII століття використовувалась в якості підручника і за кількістю перевидань за цей час поступається лише «Біблії»), Ератосфена (запропонував метод визначення простих і складених чисел – «решето Ератосфена»), Фалеса (сформулював теорему про поділ сторін кута паралельними прямими), Герона (запропонував формулу для визначення площі трикутника за його сторонами).

З розвитком людства розвивалася і математика. До початку XVII століття математика – наука про числа, скалярні величини та прості геометричні фігури. Тобто, власне кажучи, в цей період розвиваються лише дві математичні науки – арифметика (від гр. «арифмос» – число) та геометрія. Дещо пізніше виникають алгебра (слово походить від назви трактату «аль джебр аль мукабала» – «Про відношення і порівняння» арабського математика аль-Хорезмі), тригонометрія (від гр. «тригонон» – трикутник, «метрео» – вимірювати) та окремі способи математичного аналізу. Математичні знання використовуються в лічбі, землемірстві, торгівлі, архітектурі, астрономії. XVII століття ознаменоване значними відкриттями в галузі розвитку обчислювальної техніки. В працях видатного італійського вченого, мислителя і художника епохи Відродження Леонардо да Вінчі зустрічається ескіз тринадцятирозрядного підсумовуючого пристрою на базі коліщаток з десятьма зубчиками. В 1623 році німецький вчений Вільгельм Шиккард запропонував свою модель шестирозрядного десяткового обчислювача також з використанням зубчастих коліщат, який міг би здійснювати операції додавання, віднімання, множення і ділення. Але ідеї да Вінчі і Шиккарда не були ними реалізовані, а так і залишилися на папері. Сконструювати першу в світі працюючу механічну обчислювальну машину, яка могла додавати і віднімати, вдалося в 1642 році французькому вченому Блезу Паскалю. В своїй машині він використав коліщатка і приводи. В 1673 році німецький математик Готфрід Вільгельм фон Лейбніц сконструював іншу обчислювальну машину, використавши пересувні циліндри. Пристрій Лейбніца мав складнішу будову і був здатний виконувати не лише дії додавання і віднімання, а й множення, ділення та обчислення квадратного кореня.

У XVII-XVIII століттях розвиток природничих наук (насамперед, фізики та  астрономії) і техніки (мореплавання, гідравліка, балістика) спричинили введення в математику ідей руху і зміни у формі змінних величин та функціональної залежності між ними. Це викликало створення нових математичних дисциплін: аналітичної геометрії, диференціального та інтегрального числення, теорії диференціальних рівнянь, диференціальної геометрії.   Здобутки   математики   в   цих   століттях   пов’язані   з   іменами  вже  згаданих  Б.  Паскаля,  Г.  Лейбніца,  а  також  Ж.  Даламбера,  Р. Декарта, Ф. Вієта, П.  Ферма, І. Ньютона, Л. Ейлера, Д. та Я. Бернуллі.

Подальший розвиток науки і техніки у XIX – XX століттях підносить математику до нових висот абстракції. Відомі до цього числа і величини стають лише окремими випадками інших чисел і величин – вводяться множини ірраціональних, дійсних, комплексних чисел. Завдяки працям видатного російського математика М.І. Лобачевского в геометрії починаються дослідження «просторів», окремим видом яких є евклідовий простір. Виникають і розвиваються нові математичні дисципліни: неевклідова (ріманова) геометрія, проективна геометрія, теорія множин, математична логіка (булева алгебра), теорія груп, теорія ймовірностей, теорія функцій комплексної змінної, функціональний аналіз та інші. В цей же період з’являються спроби створити програмовану обчислювальну машину. Цю ідею в 1830 р. висунув англійський математик Чарльз Бебідж і присвятив їй майже все своє життя, але так і не створив діючу модель. За його задумом машина мала працювати на силі пари, а програми для неї кодувалися на перфокартах (ідея використання перфокарт запозичена у французького винахідника Жозефа Жаккара). У своїй машині Бебідж також використав технологію обчислень, запропоновану французьким вченим Гаспаром де Проні, яка складалася з трьох етапів: розробка чисельного методу, створення програми послідовності арифметичних дій, проведення обчислення шляхом арифметичних операцій над числами згідно зі створеною програмою. Принципи програмування до машини Бебіджа розробила Ада Августа Лавлейс, донька англійського поета Джорджа Гордона Байрона. Саме вона переконала Бебіджа в необхідності використання двійкової системи числення замість десяткової, яка і дотепер використовується в сучасних комп’ютерах. Реалізовано ідею Бебіджа було лише в 1887 році Германом Холерітом в машині, призначеній для обробки результатів перепису населення США.

Значний внесок у розвиток математики періоду XIX – XX століть зробили, окрім згаданих, Р. Дедекінд, Г. Кантор, К. Гаусс, М.В. Остроградський, О. Коші,  К. Вейєрштрасс ,  Ж-А. Пуанкаре,  О.М. Колмогоров,  О.М. Ляпунов, В.А. Стеклов, Л.С. Понтрягін, І.Г. Петровський, М.А. Лаврентьєв, П.С,  Новиков,  Д. Гільберт, О.В. Погорєлов, В.Г. Дрінфельд, В.О. Марченко, М.В. Келдиш.

У ХХ столітті числові методи математики виростають в самостійну науку – обчислювальну математику. Прагнення спростити і прискорити розв’язання низки трудомістких обчислювальних задач спричинило створення обчислювальних машин, спочатку механічних, потім – електромеханічних, а згодом – електронних. Потреби розвитку самої математики, проникнення математики у різні галузі науки та сфери практичної діяльності, швидкий прогрес обчислювальної техніки викликало появу цілої низки нових математичних дисциплін: теорія інформації, теорія ігор, теорія графів, дискретна математика, математична статистика, теорія оптимального управління, кібернетика, математичне моделювання процесів та інші. Широке застосування ЕОМ у другій половині ХХ століття призвело до «математизації» не лише наук, в яких традиційно використовувалися математичні методи – фізики, астрономії, механіки, економіки, хімії, а й далеких від математики наук – біології, медицини, соціології, лінгвістики та ін.

Як в минулому, так і зараз, на початку ХХІ століття, математика крокує в ногу з часом, або й випереджає його, вона і тепер залишається однією з найголовніших наук.

2. Роль математики в підготовці молодших спеціалістів. Спробуйте відповісти на запитання: Чи є така людина, якій зовсім не потрібна математика, чи є така професія, де зовсім не використовуються математичні знання? Відповідь буде однозначною – жодна сучасна людина не може обійтися без математики. Ми використовуємо математичні знання щоденно, навіть не замислюючись про це. Планування свого робочого і вільного часу, купівля товару в магазині, ведення домашнього господарства – ось далеко не повний перелік сфер їх застосування в нашому житті. Також важко сьогодні уявити фахівця з певної галузі, який би зовсім не використовував математику. Вона потрібна агрономові для обчислення площ земельних ділянок, норм внесення добрив та висіву тієї чи іншої культури, зоотехнікові – для підрахунку поголів’я худоби, складання раціону кормів для тварин, продавцеві – для підрахунку виручки за товар, обчислення вартості придбаного покупцем товару тощо. Обліковець, бухгалтер, фінансист, менеджер, маркетолог щоденно використовують математичні знання в своїй професійній діяльності. А ще завдяки вивченню математики тренується пам’ять, розвивається логічне мислення, кругозір людини. Отже, роль математики у підготовці фахівців є дуже вагомою.

3. Поняття про математичне моделювання. За допомогою математичних методів розв’язуються не лише абстрактні математичні задачі, а й задачі прикладного характеру.

Прикладні задачі – це задачі з математики, в умовах яких використовуються нематематичні поняття.

Наприклад.

Задача 1. З земельної ділянки прямокутної форми довжиною 450 м і  шириною 120 м зібрали 243 ц зерна пшениці. Якою була середня урожайність пшениці на цій ділянці?

Ця задача є прикладною, бо в ній використовуються нематематичні поняття: земельна ділянка, урожайність тощо.

При розв’язуванні прикладних задач використовують метод математичного моделювання. Моделлю називають спеціально створений об’єкт, який відображає властивості досліджуваного об’єкта. Зменшені моделі літака, автомобіля, будівлі – приклади фізичних моделей реальних об’єктів.

Метод математичного моделювання полягає в тому, що закономірності, які розглядаються, формулюються математичною мовою (тобто за допомогою чисел, математичних виразів, символів, відношень, формул, рівнянь, нерівностей, систем рівнянь і нерівностей, геометричних фігур тощо). Прикладом складання найпростіших математичних моделей служать відомі з курсу математики середньої школи методи розв’язування прикладних задач за допомогою рівнянь і систем рівнянь. Саме вони і є математичними моделями даних задач.

Наприклад.  При розв’язуванні прикладної задачі 1 потрібно спочатку обчислити площу земельної ділянки: , а потім визначити урожайність пшениці: . Обчислення площі прямокутника та відношення валового збору зерна до площі ділянки – це математичні моделі даної задачі.

Задача 2. Один трактор може зорати ділянку за 6 год роботи, а другий – за 8 год. роботи. За скільки годин закінчать оранку два трактори, працюючи разом?

Розв’язання. Це також прикладна задача, бо оранка – нематематичне поняття. Створимо математичну модель даної задачі.

Позначимо всю роботу через 1. Тоді перший трактор за 1 год. виконає частину роботи, а другий – частину роботи. Нехай для виконання всієї роботи тракторам потрібно год., тоді за год. перший трактор виконає частину роботи, другий – частину роботи, що разом становить 1. Маємо рівняння: (Це рівняння і є математичною моделлю даної задачі).

;  ;      

Відповідь: години.

Розв’язання прикладної задачі за допомогою математичного моделювання здійснюється в три етапи:

1. створення математичної моделі даної задачі;
2. розв’язування відповідної математичної задачі;
3. аналіз відповіді.

Щоб створити відповідну математичну модель, потрібно знати не лише математику, а й ту галузь науки чи виробництва, з якою пов’язана дана прикладна задача. Якщо модель складена неправильно, то неправильними будуть і розв’язання задачі, і відповідь. Важливим є також третій етап розв’язування прикладної задачі, оскільки розв’язок математичної моделі може не задовольняти умову прикладної задачі (наприклад, площа або час виражається від’ємним числом тощо).