«Математичні чудеса та таємниці»

Вечір відпочинку для старшокласників

    (Вечір відбувається в залі прикрашеній висловами про математику, математичними стінгазетами. Учасникам вечора заздалегідь пропонують взяти з собою листки паперу, ручки, калькулятори)

Вступне слово вчителя. Шановні присутні ! Ми раді вітати вас на нашому незвичайному вечорі. Саме так - сьогодні він незвичайний. Бо, на відміну від уроків, де вам доводилось рахувати, напружено думати, розв’язувати різні вправи та задачі, ви станете сьогодні свідками справжніх чудес. Тож дозвольте побажати вам незабутніх вражень та вдалої подорожі в країну  «Математичних чудес  та таємниць».

Група старшокласників наполегливо готувалася до сьогоднішнього вечора. Тож надаємо їм слово.

(Далі по черзі старшокласники – чародії  демонструють глядачам свої фокуси, описи яких додаються)

Фокус №1

Таємнича дев'ятка

Обладнання: похилий стіл, покритий темною тканиною з негладкою поверхнею , білі монети (5- ти копієчні) 25-30 штук.

   Дюжина  (чи  більше) монет розміщається на столі у формі дев'ятки (мал. 1).  Демонструючий стоїть, повернувши спиною до глядачів. Хто-небудь із присутніх задумує число, більше числа монет у  "ніжці" дев'ятки, і починає відраховувати монети знизу нагору по ніжці і, далі, по колечку проти  годинної стрілки, поки не дійде до задуманого числа. Потім він знову рахує від одиниці до задуманого числа, почавши з монети, на якій зупинився, але цього разу  по годинній стрілці і тільки навколо колечка.Під монету, на якій закінчився рахунок, ховається маленький шматочок папірця. Демонструючий  повертається до столу і відразу ж піднімає цю монету.

Пояснення. Незалежно від того, яке число було задумано, рахунок закінчується завжди на одній і тій же монеті ). Спочатку самі проробіть усе це в розумі з будь-яким числом, щоб довідатися, яка це буде монета. При повторенні фокуса додайте до ніжки кілька монет, тоді рахунок закінчиться вже в іншім міс

Мал. 1                          

Рахунок закінчується завжди у кожному випадку  на позначеному кружечку не залежно від числа, що відповідає умові фокусу.

Фокус №2

Таємничі квадрати

Обладнання: демонстраційна дошка, настінний помісячний календар з досить великими цифрами, маркер. 

Демонструючий  стоїть , повернувшись спиною до глядачів, а один з них вибирає на  помісячному табель-календарі будь-який місяць і відзначає на ньому який-небудь квадрат, що містить 9 чисел. Тепер досить глядачу назвати найменше з них, щоб демонструючий

відразу, після швидкого підрахунку, оголосив суму цих дев'яти чисел,

Пояснення. Демонструючому потрібно додати до названого числа 8 і результат помножити на

9 .

Далі глядачам пропонуються ряд фокусів з картами, причому останні послуговують як об’екти, що служать для рахування, або такі що мають певні властивості по кольору.

Фокус №3

"Манхеттенські чудеса"

Обладнання: колода гральних карт  

 Глядача просять зняти колоду приблизно посередині, узявши собі будь-яку половину і перерахувати в ній карти. Допустимо, їх 24. Два плюс чотири дає шість  . Глядач запам’ятовує в своїй півколоді шосту карту знизу, кладе цю напівколоїду на іншу і, підрівнявши карти, вручає їх демонструючому. Останній починає здавати карти по одній на стіл, вимовляючи при цьому по-буквенно фразу "М-а-н-х-е-т-т-е-н-с-ь-к-і-ч-у-д-е-с-а", причому так, щоб на кожну покладену карту приходилося по одній букві. Разом з останньою буквою з'явиться замічена карта.

Пояснення.У результаті описаної процедури обрана карта завжди виявляється на дев'ятнадцятому місці зверху. Тому будь-яка дев'ятнадцятибуквена фраза приводить до потрібної карти.

Фокус №4

Фокус з королями і дамами

Обладнання: колода гральних карт

З колоди вибирають королів і дам і розкладають їх на дві купки: королі окремо, дами окремо.

Купки перевертають лицьовою стороною вниз і укладають одна на іншу. Глядача просять "зняти" нашу колоду з восьми карт один чи кілька разів. Демонструючий забирає купку за спину і відразу відкриває перед глядачами дві карти. Виявляється, що це король і дама однієї масті. З іншими трьома парами можна продемонструвати теж саме.

Пояснення.. Демонструючому варто подбати лише про те, щоб у двох початкових купках послідовність мастей була однаковою. "Зняття" цієї послідовності не порушить. За спиною демонструючий тільки розділяє купку строго навпіл і одержує потрібні пари, беручи в кожній половині верхню карту. У цій парі завжди виявляться король і дама однакової масті.

Фокус №5

Зіставлення числа карт чорної і червоної масті

Обладнання: колода гральних карт

З колоди вибирають десять карт: п'ять червоних і п'ять чорних. Карти якого-небудь одного кольору перевертаются, і всі десять карт ретельно тасуються глядачем. На мить демонструючий забирає карти за спину. Потім він протягає руки вперед, тримаючи в кожній з них по п'ять карт які відразу розкладаються на столі. Число відкритих карт у кожній п'ятірці виявляється однаковим, і ці карти будуть різного кольору. Наприклад, якщо в одній п’ятірці виявляться три червоні карти, то в іншій п’ятірці  будуть відкритими три чорні карти. Фокус можна повторювати скільки завгодно разів,і він буде завжди вдаватися.

Пояснення. Неважко зміркувати, що серед карт однієї п'ятірки буде відкритих карт (а вони одного кольору, наприклад чорного) стільки ж, скільки закритих (червоних) в іншій п'ятірці. За спиною варто просто розділити пачку навпіл і, перш ніж показати карти глядачам, перевернути одну з половин. Таким чином, завдяки тому, що карти перевернуті, число відкритих карт у кожній п'ятірці буде однаковим і ці карти будуть різного кольору. У цьому фокусі, звичайно, можна скористатися будь-яким парним числом карт, потрібно тільки, щоб половина їх була червоною, а половина-чорною.

Фокус №6

Угадування задуманного числа на циферблаті Обладнання:годинник з циферблатом, указка.

Глядач задумує яке-небудь число від 1 до 12. Демонструючий  починає доторкатися кінчиком указки до чисел на циферблаті, роблячи це, очевидно, у зовсім довільному порядку. У цей час глядач рахує про себе, починаючи з задуманого числа до двадцяти, причому так, щоб на кожний дотик припадало одне число. Дорахувавши до 20, він говорить «Стоп» . І (дивне спів- падіння)  указка в цей момент знаходитиметься на задумному числі.

Пояснення. Перші вісім доторкань дійсно робляться зовсім навмання. Однак уже на дев'ятому демонструючий повинний обов'язково торкнутися 12 і з цього моменту перебирати годинник строго підряд у напрямку, зворотному руху годинної стрілки. Коли глядач вимовить слово "стоп", указка буде показувати на задумане число.

Зовсім не обов'язково просити глядача припиняти рахунок саме на 20, ви можете запропонувати йому самому вибрати число для закінчення рахунку: потрібно лише, щоб воно було більше 12. Звичайно, глядач повинний попередити вас, на якім числі він планує  зупинитися. Відніміть від цього числа 12, отриманий залишок укаже, скільки доторкань потрібно зробити навманя, перш ніж доторкнутися до 12 і почати рухатися послідовно проти годинної стрілки.

Фокус №7 Хто що взяв?

Обладнання: коробка сірників, ложка, вилка, ніж.

Ще один стародавній фокус можна показати на 24 сірниках, що складаються купкою поруч із трьома невеликими предметами, скажемо, ложкою, виделкою, ножем. У фокусі просять взяти участь трьох глядачів (будемо називати їх умовно 1,2,3). Перший глядач одержує один сірник, другий-два, третій-три.  Демонструючий  повертається до них спиною і просить кожного взяти по одному з лежачих на столі предметів (позначимо їх ній Л,В та Н).

  Тепер глядачу, що тримає предмет Л, пропонується узяти рівно стільки сірників з числа залишившихся  в купці, скільки в нього на руках. Глядач, що взяв В, нехай візьме двічі стільки сірників скільки в нього на руках. Останньому глядачу, що взяв предмет Н, запропонуєте взяти чотирижди стільки сірників, скільки в нього на руках. Після цього нехай усі три глядачі покладуть свої предмети і сірники в кишені.

Обернувшись до глядачів і глянувши на сірники, що залишилися, ви відразу ж говорите кожному глядачу, який предмет він узяв.

Пояснення. Якщо залишається один сірник, то глядачі 1, 2 і 3 узяли відповідно предмети Л,В і Н (саме в такому порядку). Якщо залишилося 2 сірники, то порядок предметів буде В, Л, Н.   Якщо залишилося 3 сірники , то Л, Н, В.Якщо 4 сірники, то хтось помилився, тому, що подібний залишок неможливий.

Якщо 5, то порядок предметів буде В, Н, Л.   Якщо  6, т о Н, Л, В.     Якщо 7, то Н, В,  Л.

Зручною буде така схема:

Тут буква "Л" повинна позначати ложку, "В"-вилку, "Н"- ніж. Букви розташовані в словах у порядку, що відповідає порядку предметів. Числа перед словами, позначають число сірників, що залишилися.

Фокус №8

Фокус з шістьма квадратами

Обладнання: шість квадратних пластинок, пофарбованих у різні кольори. Це фокус, в якому дотик до предмета указки  супроводжується побуквеною  вимовою чисел.   

Мал.2

Для показу фокусу потрібно шість квадратних пластинок, пофарбованих у різні кольори. На кожній пластинці зображене число. Пластинки розкладають на столі числами вниз. Фокусник відвертається, а глядач у цей час піднімає одну з пластинок, дивиться на число, а потім змішує її з рештою. Тепер фокусник повертається до столу і починає торкатися указкою до пластинок. Глядач у цей час вимовляє про себе побуквено своє число так, щоб на кожний дотик припадало по одній букві. Коли всі букви числа будуть вичерпані, глядач говорить «стоп». Пластинка, на якій зупинилась указка, перевертається, причому виявляється, що на ній якраз і намальовано задумане число.

Пояснення. Перші шість дотиків робляться довільно. Наступні шість у такій послідовності:

101, 42, 45, 13, 16, 19. Для цього треба запам'ятати кольори, яким відповідають ці числа (можна скористатись відомою лічилкою кольорів веселки «Каждый охотник желает знать ,где сидять фазаны». Перші букви слів лічилки вказують назви кольорів російською мовою, звичайно ж фіолетовий у фокусі не задіяний). Фокус обумовлений тим, що запис числа 101 (сто один) містить сім букв, а кожного наступного — на одну букву більше.

Фокус №9

Карта квітів

Обладнання:карта квітів (малюнок 3)

Існує багато й інших фокусів, у яких застосовується принцип побуквенного вимови слів. Така, наприклад, "карта квітів". Лицьова її сторона представлена на мал.3. Глядач задумує квітку, хто показує починає перебирати олівцем отвори. При кожнім дотику глядач називає про себе одну букву з назви обраної квітки і вимовляє уголос: "стоп", коли його слово буде вичерпано. Олівець вставляється в останній задіяний отвір, і карта перевертається. Вістря його буде висуватися саме там,  де надрукована назва задуманої квітки. 

Пояснення. Перший дотик робиться у верхнього отвору, далі отвори обходяться через одне по годинній стрілці.

Мал.3

Фокус №10

Задумай тварину

Обладнання:карта звірів (малюнок 4)     

Фокус-картинка, схожа на тільки що описану "карту квітів", зображена на мал. 4. Глядач задумує яку-небудь тварину, зображену на малюнку і вимовляє про себе назву його по буквам, в той час як показуючий торкається до малюнків.

Почавши з гіпопотама, він переходить потім нагору по лінії до тигренятка  і так продовжує обхід усіх тварин, рухаючись в напрямках, що вказуються лініями, поки

Фокус №11 Додавання чисел Фібоначчі Обладнання:дошка, крейда.

Числами  Фібоначчі називають ряд чисел, у якому кожне, починаючи з третього, являє собою суму двох попередніх. Цей фокус демонструють так:хто показує просить когонебудь записати одне під другим два будь-яких числа, які він побажає. Допустимо для приклада, були обрані 8 і 5. Потім глядач повинний додати ці числа. Знайдене в такий спосіб третє число додається з другим ( що стоїть над ним), і виходить четверте число. Цей процес повторюють доти  , поки у вертикальному стовпці не виявиться десять чисел:

8

5

13

18

31

49

80

129

209

338

Під час записування чисел демонструючий стоїть, повернувши спиною до глядачів. Коли всі числа будуть записані, він повертається, проводить під стовпчиком цифр риску і, не задумуючись, підписує суму цих чисел. Щоб одержати цю суму, йому просто потрібно взяти четверте число знизу і помножити його на 11-операція, яку  легко можна проробити в розумі). У нашому випадку четвертим числом буде 80, тому у відповіді вийде число 80, узяте 11 разів, тобто  880.

Фокус №12

Таємниця дев'ятки

Обладнання: дошка, крейда,картка з числом 1089.

Написавши в зворотному порядку будь-яке тризначне число (при умові, що перша й остання його цифри різні) і віднявши від більшого числа менше, ми завжди одержимо в середині дев'ятку і суму крайніх цифр, теж рівну 9. Це означає, що ви відразу можете назвати результат віднімання, знаючи тільки його першу чи тільки останню цифру. Якщо тепер написати різницю в зворотному порядку і ці два числа додати, то вийде 1089. Число 1089 пишеться заздалегідь на листку паперу, що потім перевертається лицьовою стороною вниз. Після того як глядач закінчить серію операцій, описаних вище, і оголосить свій остаточний результатам 1089, покажіть записане вами пророкування, тримаючи при цьому лист вгору ногами. Написане на ньому число буде прочитано як 6801, що, звичайно, не буде правильною відповіддю. Зробіть здивоване обличчя, а потім вибачтесь, що взяли лист не так, як потрібно. Поверніть його на 180° і покажіть вірне число. Ця невелика вистава вносить розважальний момент у демонстрацію фокусу.

Фокус №13 Відгадування віку Обладнання: дошка, крейда.

Цікавий спосіб відгадування віку деякої особи (це може бути хтось з батьків чи гостей вечора) починається з того, що його просять виконати ряд яких-небудь дій, що приводять до числа, що має своїм своїм цифровим коренем дев'ятку (достатньо помножити на 9 результат будь-яких попередніх дій з будь-якими числами). Потім  пропонують додати до отриманого числа свій вік і повідомити вам суму.  По цій сумі легко довідатися вік глядача. Спочатку знайдіть цифровий корінь суми (якщо скласти всі цифри деякого числа, потім всі цифри тільки що знайденої суми і так продовжувати до тих пір поки вийде одноцифрове число, яке і має назву цифровий корінь початкового числа). Потім додавайте до нього дев'ятки до тих пір, поки отримане число на покажеться вам найбільш  близьким до віку вашого співрозмовника. Це число  і буде шуканим віком. Наприклад ви попросили глядача написати будь-яке число і помножити його на 9, після чого в нього вийшло 2826. До  цього числа він додав 40, свій вік, і повідомив вам суму: 2866. Цифровий корінь цього числа дорівнює 4( 2+8+6+6=22, 2+2=4) ; додаючи до четвірки дев'ятки, одержимо числа 13, 22, 31, 40, 49 і т.д. , оскільки з точністю до 9 років оцінити вік неважко, ви встановлюєте, що правильною відповіддю буде 40.

  Якщо скласти всі цифри деякого числа, потім всі цифри тільки що знайденої суми і так продовжувати до тих пір поки вийде одноцифрове число, яке і має назву цифровий корінь початкового числа.

  Фокус №14

Швидке добування кубічного кореня Обладнання: дошка, крейда, калькулятор для глядача.

Демонстрація фокусу з добуванням кубічного кореня починається з того, що кого-небудь із присутніх просять узяти будь-яке число від 1 до 100, піднести його до кубу і повідомити вголос результат. Після цього демонструючий миттєво називає кубічний корінь з названого числа. Для того щоб показувати цей фокус, потрібно спочатку вивчити куби чисел від 1 до 10: 

При вивченні цієї таблиці виявляється, що всі цифри, на які закінчуються куби,  різні, причому у всіх випадках, за винятком 2 і 3, а також 7 і 8, остання цифра куба збігається з числом, що підноситься до  кубу. У виняткових же випадках остання цифра кубу дорівнює різниці між 10 і числом, що підноситься до  кубу.    Наприклад: нехай глядач, підносячи деяке число до кубу, одержав, наприклад, 250 047. Остання цифра цього числа 7, з чого негайно випливає, що останньою цифрою кубічного кореня повинна бути 3. Першу цифру кубічного кореня знаходимо в такий спосіб. Закреслимо останні три цифри кубу (незалежно від кількості його цифр) і розглянемо цифри, що стоять попереду,- у нашому випадку це 250. Число 250 розташовується в таблиці кубів між кубами шістки і сімки. Менша з цих цифр - у нашому випадку 6 - і буде першою цифрою кубічного кореня. Тому правильною відповіддю буде 63.

Щоб краще усвідомити суть справи, приведемо ще один приклад. Нехай назване число 19 683. Його стання цифра 3 указує, що останньою цифрою кубічного кореня буде 7. Закреслюючи останні три цифри, одержуємо число 19, що лежить між кубом двійки і кубом трійки. Меншим з цих чисел буде 2, тому шуканим кубічним коренем буде 27.

Може здатися дивним , але для добування  цілочислених коренів зі степенів більш високих, чим третя, існують більш прості правила. Особливо легко знаходити корені п'ятого степеня, тому що будь-яке число і його п'ятий степінь завжди закінчуються однієї і тією же цифрою.

Фокус №14

"Психологічні моменти"

Ще одна категорія фокусів з числами, зовсім відмінна від фокусів з  пророкуванням  чи відгадуваннямм числа, заснована на тім, що називають психологічними моментами. Ці фокуси не завжди получаются, але по якихось невідомих причинах психологічного характеру шанси на успіх при їхній демонстрації виявляються значно більшими, ніж цього можна було очікувати. От простий приклад. Якщо ви попросите назвати яке-небудь число від 1 до 10, більшість людей назве сімку, а якщо задані границі будуть 1 і 5, то - трійку.

Ще один цікавий психологічний фактор, невідомо ким уперше помічений, можна використовувати у фокусі в такий спосіб. Напишіть на клаптику паперу число 37  і відкладіть  його убік , Потім, звертаючи до присутніх, скажіть: "Напишіть, будь ласка, двозначне число між 1 і 50, щоб обидві його цифри були непарними і різними. Наприклад, число 11 писати не можна". Може показатися дивним, але багато шансів, що більшість глядачів напишуть  37 (друге найбільш ймовірне число 35).  По суті, їх вибір обмежений вісьма числами, причому згадування числа 11 як би залучає їх мислення до чисел третього десятка.  Якщо цей фокус у вас вийде, спробуйте за ним інший. Цього разу  попросіть написати двозначне число між 50 і 100, обидві цифри якого повинні бути парними і, як і в попередньому випадку, різними. У даному випадку вибір глядача обмежений сьома числами, з яких начебто  частіше усіх називають 68. Якщо під руками маються гральні карти, можна пророчити це число, поклавши на стіл шістку і вісімку лицьовою стороною вниз. Це підвищує  ваші шанси на успіх, тому що ви маєте вибір між двома можливими відповідями, тобто  між 68 і 86, у залежності від того, яку карту ви відкриєте першою.

Заключне слово вчителя. .  Шановні присутні От і перегорнута остання сторінка нашого незвичного математичного вечора. Сьогодні ви відкрили для себе математику з іншої сторони, стали свідками і учасниками справжніх чудес. Це лише маленька часточка того, що може творити математика. 

Я запрошую вийти до глядачів наших чародіїв. Давайте ще раз подякуємо їм оплесками за проявлені вміння, артистизм та наполегливу підготовку.

Тож гортайте книги, знаходьте нове для себе, підкоряйте таїни і спішіть порадувати нас своїми новими відкриттями.  Спасибі   за увагу та участь. До нових зустрічей.