Математичний гурток Відповіді

 

Генерал і чоботи

Підрахунки граней зробимо по іншому. 20 крб, що залишилися у генерала, 3 крб привласнив солдат і по 1 крб вернуті інвалідам. Разом 25 крб. В умові свідомо допущено помилку, по підрахунку грошей. Додавши по 11,5 крб, ми отримали 23 крб, яких в наявності немає.

Справді, гроші інвалідів, які ми додаємо, можуть змінюватися. Якби солдат привласнив собі 4 крб, а інвалідам вернув по 0,5 крб, то вони заплатили б по 12 крб, разом 24 крб і 4 крб у солдата. Маємо суму 28 крб. тут зайвих 3 крб.

«Довести, що трикутник рівнобедрений, якщо в ньому  дві бісектриси рівні». Пізніше задача була розв’язана і кількома способами. В математичній літературі задача зустрічається як теорема «Штейнера-Лемуса» швейцарського і французького математиків.

Покажемо один із способів розв’язання цієї задачі.

 

 

АN i CР – бісектриси кутів А і С ∆АВС.

АN = CР. Відомо, що бісектриси в трикутнику виражаються  формулами

i , де р – півпериметр; а, b і с  - сторони трикутника. . Маємо

aбо

.

Замінивши р дробом і зробивши відповідні перетворення одержимо рівність .

Вирази перемножимо, перенесемо в одну частину і розкладемо на множники, одержимо: .

Звідси с-а=0, с=а. ∆АВС – рівнобедрений.

 

 

 

Відповіді до задач

1. Рибка і кулька.

 

2. 

 

 

3. а)

	1	7	2	9	1	7	2	:	1	9	=	9	1	0	0	9
	1	7	1
			1	9
			1	9
					1	7	2
					1	7	1
							1

б)

	6	3	1	9	3	8	6	2	5
	6	2	5				1	0	1	1,	1	0	0	8
			6	9	3
			6	2	5
				6	8	8
				6	2	5
					6	3	0
					6	2	5
							5	0	0	0
							5	0	0	0
									0

 

в)

											=	4	1	2	1	2
	1	6
			9	8
			8	1
			1	7	4	2
			1	6	4	4
					9	8	8	9
					8	2	4	1
					1	6	4	8	4	4
					1	6	4	8	4	4
								0

4.          1, 3, 9 і 27 кг.

5.

1) сідають два розбійники. Один розбійник залишається, другий вертає човен.

2) сідають два розбійники, один залишається, інший вертає човен.

3) сідають два солдати. Човен вертають розбійник і солдат.

4) сідають два солдати. Човен вертає розбійник.

5) сідають два розбійники. Всі без жертв переправились на інший беріг річки.

6.

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

 

 

 

 

10. а)  б)

 

 

 

 

 

 

11.  

 

 

 

 

 

 

 

 

13.

а) 1) Розкладемо монети на три купки по 9-ть монет у кожній. Зважуємо будь-які 2-і купки. Визначаємо купку з фальшивою монетою.

2) розбиваємо монети на три купки. В кожній по три монети. Аналогічно зважуємо і визначаємо купку з фальшивою монетою.

3) нарешті зважуємо будь-які дві монети. Фальшиву монету визначити легко.

б)Пронумеруємо монети від 1 до 12. Розібємо монети на 3 купи по 4-и монети.

Можливі випадки:

Якщо І.

1) 1, 2, 3, 4=5,6,7,8, то фальшива монета серед монет 9, 10, 11, 12 - справжні

2) 1,2, 3=9, 10,11; 3) 1>12, монета 12 фальшива і легша.

3) 1<12, монета 12 фальшива і важча.

2) 1,2, 3>9, 10,11; 3) 9=10, монета 11 фальшива і легша.

3) 9<10, монета 9 фальшива і легша.

3) 9>10, монета 10 фальшива і легша

2) 1,2, 3<9, 10,11. (Міркування аналогічні).

Якщо ІІ

1. 1, 2, 3, 4>5,6,7,8, тоді монети 9, 10, 11, 12 – справжні.
2. 1, 2, 3, 8=9, 10, 11, 4, тоді фальшива монета серед монет 5, 6, 7.

3) 5=6, монета 7 фальшива і легша.

3) 5<6, монета 5 фальшива і легша.

3) 5>6, монета 6 фальшива і легша

2) 1, 2, 3, 8>9, 10,11,4, тоді фальшива монета серед монет 1, 2, 3

    3) 1=2, монета 3 фальшива і важча.

3) 1<2, монета 2 фальшива і важча.

3) 1>2, монета 1 фальшива і важча

2) 1, 2, 3, 8<9, 10,11,4, тоді фальшива монета серед монет 4 і 8

    3) 1=4, монета 8 фальшива і важча.

3) 1<4, монета 4 фальшива і важча.

3) 1>4, монета 4 фальшива і важча

 

в) Пронумеруємо мішки. 3 1-го мішка візьмемо 1 монету, з 2-го – 2-і, з 3-го – 3 монети і т.д.

Всього буде 55 монет. Якби всі монети були справжні, то вони мали б масу 550 г. Якщо маса буде 549 г., то фальшиві монети у 1-му мішку, якщо 548 г., то в 2-му і т.д.

21. Будуємо точку М₁ симетричну М відносно прямої а. Пряма М₁N перетне пряму а у точці Р. Точка Р – шукана.

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

 

 

 

Проведемо пряму NK а. Відкладемо відрізок NK, який дорівнює відстані між прямими а і b. Пряма МК перетинає пряму а у точці А. Відрізок АВ а є шуканим.

23. Будуємо точки М₁ та М₂ симетричні точці М відносно сторін кута.

Пряма М₁М₂ перетинає сторони кута в точках К і Р. Трикутник МРК має найменший периметр.

 

 

 

 

 

24.

Будуємо точки А₁ і В₁ симетричні сторонам кута. Пряма А₁В₁ перетне сторони кута в шуканих точках С і D.

 

 

 

 

 

 

 25. Точка Р – довільна, АМ – медіана  . Проведемо MN||AP. Пряма NP – шукана.

 

 

 

 

27.

В грані NN₁M₁M через точку В проведемо CD||NM₁ i EF||MM₁. Грань NN₁M₁M повернемо на 90°. Вона лежатиме в площині передньої грані куба. Проведемо EP||M₁K₁, CC₁||N₁K₁ i PR||NN₁. Одержимо точку В₁. Відрізок АВ1 перетне ребро NN₁ в шуканій точці Х.

28.   Можна

АВСА₁В₁С₁ – пряма трикутна призма.