Методичні матеріали для практичного заняття "Елементи теорії ймовірності"

Про матеріал

Дані методичні матеріали дозволять засвоїти основні поняття комбінаторики,зрозуміти класичне та статистичне означення ймовірності, теореми додавання та множення ймовірностей, формулу повної ймовірності, формулу Бейєса, формулу Бернуллі, локальну та інтегральну теореми Лапласа та допоможуть зрозуміти задачі цієї тематики.

Перегляд файлу

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Практичне заняття

Розв’язування задач із застосуванням елементів теорії ймовірності.

Мета. Засвоїти основні поняття комбінаторики. Знати класичне та статистичне означення ймовірності, теореми додавання та множення ймовірностей, формулу повної ймовірності, формулу Бейєса, формулу Бернуллі, локальну та інтегральну теореми Лапласа.

Теоретичні відомості

Основні поняття комбінаторики

Добуток перших натуральних чисел позначають , тобто

За означенням приймають

Розміщення з елементів по називається - елементні підмножини, які відрізняються одна від одної або самими елементами, або їх порядком. Число розміщень з елементів по позначається і обчислюється за формулою

Перестановками з даних елементів називаються множини з елементів, які відрізняються лише порядком елементів. Перестановки з елементів позначаються і знаходяться за формулою

або

Сполученнями, які містять елементів, вибраних із елементів заданої множини, називаються всі можливі множини, які відрізняються принаймні одним елементом. Число сполучень із елементів по елементів позначають і знаходять за формулою:

Завдання 1

1. Обчислити значення виразу:

а)

б)

в)

г)

2. Розв’язати рівняння:

а)

б)

в)

3. Розв’язати систему рівнянь:

а)

б).

Теоретичні відомості

Відносною частотою події називається число

де – число появи події , а – загальне число проведених випробувань.

Ймовірністю події називається відношення числа рівноможливих елементарних подій, які сприяють появі події , до числа всіх можливих елементарних подій

Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці;
Ймовірність неможливої події дорівнює нулю;
Ймовірність випадкової події є додатне число, яке міститься між нулем і одиницею

Теорема додавання ймовірностей

Ймовірність суми двох незалежних подій дорівнює сумі їх ймовірностей

Ймовірність суми попарно незалежних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці

Якщо події утворюють повну групу , то сума їх ймовірностей дорівнює одиниці

Теорема множення ймовірностей

Ймовірність добутку двох довільних подій дорівнює ймовірності однієї з них, помноженій на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася

Якщо події і незалежні, то

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій

Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, без ймовірності їх одночасної появи:

Формула повної ймовірності

Формула Бейєса (формула ймовірності гіпотез)

Ймовірність того, що в серії з випробувань подія настане рівно раз знаходять за формулою Бернуллі

Локальна теорема Лапласа

де ( не рівне нулеві і одиниці), а .

Інтегральна теорема Лапласа

Якщо ймовірність настання події в кожному випробуванні стала і відмінна від нуля і одиниці, то ймовірність того, що подія з’явиться в випробуваннях від до раз, наближено дорівнює визначеному інтегралу:

де

і .

Ймовірність того, що подія настане в незалежних випробуваннях від до раз наближено рівна

де

; ; .

Завдання 2

1. В урні кульок: білих, чорних, червоних. Яка ймовірність того, що вийнята з урни кулька червона?

2. Три стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення для першого стрільця дорівнює , для другого – , для третього – . Знайти ймовірність того, що всі три стрільці одночасно влучать у ціль.

3. В ящику білих і чорних кульок. Яка імовірність того, що із двох вилучених кульок одна біла, а друга чорна?

4. Визначити імовірність того, що в родині, яка має п’ять дітей, буде три дівчинки і два хлопчики. Імовірності народження хлопчика і дівчинки вважаються однаковими.

5. Є три однакові за виглядом ящики. У першому ящику білих кульок, в другому – білих і чорних кульок, у третьому – чорних кульок. З вибраного навмання ящика вилучили білу кульку. Обчислити ймовірність того, що кульку вилучили з першого ящика.

6. Яка ймовірність того, що при сторазовому підкиданні монети герб з’явиться від сорока до шестидесяти разів?

7. Пристрій складається з десяти незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента за час дорівнює . За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, які відмовили і середнім числом (математичним сподіванням) відмов за час виявиться : а) менше двох; б) не менше двох.