ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Розв’язування задач із застосуванням елементів теорії ймовірності.
Мета. Засвоїти основні поняття комбінаторики. Знати класичне та статистичне означення ймовірності, теореми додавання та множення ймовірностей, формулу повної ймовірності, формулу Бейєса, формулу Бернуллі, локальну та інтегральну теореми Лапласа.
Добуток перших
За означенням приймають
Розміщення з
Перестановками з даних
або
Сполученнями, які містять
|
а)
б)
в)
г)
2. Розв’язати рівняння:
а)
б)
в)
а)
б).
Відносною частотою події називається число
де
Ймовірністю події
|
Ймовірність суми двох незалежних подій дорівнює сумі їх ймовірностей
Ймовірність суми попарно незалежних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій
Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці
Якщо події
|
Ймовірність добутку двох довільних подій дорівнює ймовірності однієї з них, помноженій на умовну ймовірність другої за умови, що перша подія відбулася
Якщо події
|
Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, без ймовірності їх одночасної появи:
|
|
|
Ймовірність того, що в серії з
|
|
де (
не рівне нулеві і одиниці), а
.
Якщо ймовірність
де
|
Ймовірність того, що подія
де
|
1. В урні кульок:
білих,
чорних,
червоних. Яка ймовірність того, що вийнята з урни кулька червона?
2. Три стрільці стріляють по мішені. Ймовірність влучення для першого стрільця дорівнює , для другого –
, для третього –
. Знайти ймовірність того, що всі три стрільці одночасно влучать у ціль.
3. В ящику білих і
чорних кульок. Яка імовірність того, що із двох вилучених кульок одна біла, а друга чорна?
4. Визначити імовірність того, що в родині, яка має п’ять дітей, буде три дівчинки і два хлопчики. Імовірності народження хлопчика і дівчинки вважаються однаковими.
5. Є три однакові за виглядом ящики. У першому ящику білих кульок, в другому –
білих і
чорних кульок, у третьому –
чорних кульок. З вибраного навмання ящика вилучили білу кульку. Обчислити ймовірність того, що кульку вилучили з першого ящика.
6. Яка ймовірність того, що при сторазовому підкиданні монети герб з’явиться від сорока до шестидесяти разів?
7. Пристрій складається з десяти незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента за час дорівнює
. За допомогою нерівності Чебишева оцінити ймовірність того, що абсолютна величина різниці між числом елементів, які відмовили і середнім числом (математичним сподіванням) відмов за час
виявиться : а) менше двох; б) не менше двох.