Методичний посібник по підготовці до ДПА(ЗНО) учнів 9-х класів , та вступу до технікумів і ліцеїв, коледжів

 

Маріупольська загальноосвітня школа-інтернат № 2

Донецької обласної ради

 

 

 

 

 

 

 

Методичний посібник по підготовці до ДПА(ЗНО)

учнів 9-х класів ,  та   вступу  до технікумів і ліцеїв, коледжів

 

 

 

 

 

Маріуполь 2018

 

___________________________________________________

Рецензент: Келюх І.О.

 

В посібнику з математики коротко викладено теоретичний мінімум, який повинний знати кожен учень. В додатках до збірника даються тести та відповіді до них, а також варіанти екзаменаційних завдань попередніх років. Викладений матеріал цілком достатній для  успішної здачі  ДПА(ЗНО) з математики в школі і при вступі  технікумів, ліцеїв та коледжів.

 

 

Для учнів 9-х класів і вступників у технікуми та ліцеї, коледжі.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Автор: Скрипник Г.Г.

 

Тема 1. Натуральні числа і дії над ними

Натуральні числа

Натуральні числа — це числа, що використовуються для лічби: 1,2,3,.... n.... Множину натуральних чисел позначають символом N. N={1, 2, 3,...}

Будь-яке натуральне число п у десятковій системі числення можна подати у вигляді   n = а_k ∙ 10^k + а_k-1 ∙ 10^k-1 + ... + а₂ ∙10² + а₁ ∙ 10¹ + а₀,   де а₀, a₁, a₂, ..., a_k-1 можуть набувати значення 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а число аk — значення 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиційний запис  числа має вигляд: Наприклад: 732 = 7 ∙ 10² + 3 ∙ 10 + 2; 

                                                                                      13 859 = 1 ∙ 10⁴ + 3 ∙ 10³ + 8 ∙ 10² + 5 ∙ 10 + 9.

Порівняння  натуральних чисел

Із двох натуральних чисел більшим (меншим) є те число, яке при лічбі з’являється пізніше (раніше).         Наприклад: 17 < 20;   129 > 120.

Найменшим натуральним числом є число 1. Найбільшого натурального числа не існує.

Із двох натуральних чисел із різною кількістю цифр більшим є те, яке позначене більшою кількістю цифр. Якщо два натуральних числа мають однакову кількість цифр, то більшим є те число, в якому більше одиниць у найвищому розряді. Якщо кількість одиниць у цьому розряді однакова, то порівнюються розряди, що на один ступінь нижче і т. д.   Наприклад: 10256 > 989; 10256 < 10356.

Округлення натуральних чисел

Щоб округлити натуральне число до певного розряду, треба:

1) замінити нулями всі цифри, що стоять після цього розряду;

2) якщо наступна за цим розрядом цифра була 5, 6, 7, 8 або 9, то цифру розряду, до якого виконується округлення, збільшити на одиницю; якщо наступна за цим розрядом цифра була 0, 1, 2, 3 або 4, то цифру розряду, до якого виконується округлення, залишити без змін.

Наприклад: числа 125 128, 59 393 округлені до десятків, до сотень відповідно дорівнюють  125 130, 59 390 і 125 100 і 59 400, тобто 125 128 ≈ 126 130, 59 393 ≈ 59 390, 125 128 ≈ 125 100, 59 393 ≈ 59 400.

Додавання натуральних чисел: а+ в =с   (доданок  +  доданок  =  сума)

Наприклад: 5 + 3 = 5 + 1 + 1 + 1=8.

Додавання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (додавання одноцифрових чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика). Наприклад:

Віднімання натуральних чисел: а - в =с (зменшуване - від’ємник = різниця) 

Відняти від числа а число b означає знайти таке число с, що а = b + с.

Наприклад: 10 - 3 = 10 - 1 - 1 - 1 = 7.

Віднімання багатоцифрових натуральних чисел виконується порозрядно (віднімання чисел кожного стовпчика, починаючи з правого стовпчика):

Множення натуральних чисел: а*в =с (множник* множник  = добуток)

Наприклад: 2 ∙ 3 = 2 + 2 + 2 = 6.

Множення багатоцифрових натуральних чисел виконується «у стовпчик».

Наприклад: 

 

Ділення натуральних чисел: ділене: дільник = частка

Розділити число а на число b означає знайти число с таке, що а = b ∙ с.

Натуральне число а розділити на натуральне число b означає підрахувати, скільки разів треба відняти число b від числа а, щоб одержати нуль.

 Наприклад: 6 : 3 = 2, бо 6 - 3 - 3 = 0.

Натуральне число а ділиться на натуральне число b націло (а : b), якщо існує натуральне число с таке, що а = bс. 

Наприклад: 6 ⋮ 2; 15 ⋮ 5.  Якщо а ⋮ b, то b — дільник а; а— кратне b.

Властивості подільності:

0 ⋮ а, а ∈ N; а ⋮ 1, a ∈ N; а ⋮ a, a ∈ N.

    Якщо а ⋮ b, a ∈ N, b ∈ N, то а ≥ b.

Якщо а ⋮ b, b ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, то a ⋮ с.

Якщо а ⋮ с, b ⋮ с, а ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, ТO (a + b) ⋮ c.

Якщо a ⋮ b і b ⋮ a, a ∈ N, b ∈ N, ТO a = b.

Якщо a ⋮ b, k  ≠ 0, TO ak ⋮ bk.

Якщо a ⋮ c, b ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, m ∈ N, n ∈ N, TO (am + bn) ⋮ c.

Якщо a ⋮ (bс), a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, тO a ⋮ b, a ⋮ c і (a ⋮ b) ⋮ c.

Якщо a ⋮ c i (a + b) ⋮ c, a ∈ N, b ∈ N, c ∈ N, ТO b ⋮ c

Ознаки подільності:

Число ділиться на	2, якщо його остання цифра ділиться на 2
	5, якщо його остання цифра ділиться на 5
	4, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 4
	25, якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25
	3, якщо сума його цифр ділиться на 3
	9, якщо сума його цифр ділиться на 9
	10, якщо його остання цифра є 0

Ділення натуральних чисел і остачею

Якщо а —ділене, b — дільник і а = bс + r, де r < b, то говорять, що при діленні числа а на число b маємо неповну частку с та остачу r.

а : b = с (остача r).     Наприклад: 10 : 4 = 2 (остача 2), 10 = 4 ∙ 2 + 2.

Ділення багатоцифрових чисел виконується «кутом». Наприклад: 

113 сотень : 28 = 4 сотні (остача 1 сотня).

19 десятків : 28 = 0 десятків (остача 19 десятків), 196 : 28 = 7.

Найбільший спільний дільник

Найбільшим спільним дільником чисел а і b називається найбільше число, на яке ділиться і число а, і число b. Позначення — НСД (а; b).  Наприклад: НСД (5; 15) = 5. НСД (15; 9) = 3.

Найменше спільне кратне

Найменшим спільним кратним чисел а і b називається найменше число, яке ділиться і на число а, і на число b. Позначення — НСК (а; b).  Наприклад: НСК (5; 15) = 15; НСК (15; 9) = 45. 

Взаємно прості числа.

Числа а і b називаються взаємно простими, якщо НСД (а; b) = 1.

Наприклад: числа 3 і 5 взаємно прості, бо НСД (3; 5) = 1.

Прості та складені числа

Прості числа — натуральні числа, які мають рівно два різних дільники (одиницю і саме число). Наприклад: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... — прості числа.

Складені числа — натуральні числа, які мають більше двох дільників. Наприклад: 4; 6; 9; 10; ... — складені числа

Будь-яке складене число n можна розкласти на прості множники, тобто подати його у вигляді

n =  ∙  ∙ ... ∙,  де Р₁, Р₂,.... Р_k — прості числа а k, m₁, m₂, ..., m_k — натуральні числа. Наприклад: 128 = 2⁷; 24 = 2³∙ 3; 108 = 2²∙ 3³.

Тема 2. Звичайні дроби і мішані числа та дії над ними.

Звичайні  дроби і мішані числа

Звичайним дробом називається вираз , де а ∈ N. b ∈ N. Число а називається чисельником, а число b — знаменникам. Дробова риска означає знак ділення. Знаменник дробу показує, на скільки рівних частин ділитеся число (величина), чисельник — скільки таких частин узято.

Наприклад: дріб  показує, що якусь величину розділили на 8 рівних частин і взяли три таких частини. 3 — чисельник. 8 — знаменник  = 3 : 8

Дріб називається правильним, якщо його чисельник менший за знаменник.

Дріб називаєтеся неправильнім, якщо його чисельник дорівнює знаменнику або більший за нього.

Наприклад: дроби ;  — правильні; дроби ;  — неправильні.

Мішаним числом називається сума натурального числа і правильного дробу, записана без знака «+». Наприклад, число 1  мішане, число 1 — ціла частина мішаного числа, а  —   дробова частина мішаного числа

Виділення цілої частини із неправильного дробу.

Перетворення мішаного числа в неправильний дріб

Щоб із неправильного дробу виділити цілу частину, треба розділити з остачею чисельник на знаменник: неповна частка буде цілою частиною, остача — чисельником, а знаменник — той самий. Наприклад: ; 1 ; ; 5 

Щоб подати мішане число у вигляді неправильного дробу, треба помножити його цілу частину на знаменник дробової частини; до одержаного добутку додати чисельник дробової частини і записати суму чисельником, а знаменник залишити той самий.  Наприклад:       2 =  = ; 12  =  = .

Основна властивість дробу

Основна властивість дробу: якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то одержимо дріб, який дорівнює даному.   Наприклад:  =  =  =  

Скорочення дробу —ділення чисельника і знаменника дробу на спільний дільник чисельника і знаменника дробу, більший за одиницю. 

Наприклад:  = ;  = .

Порівняння дробів і мішаних чисел

Із двох дробів із рівними знаменниками більший (менший) той дріб, у якого чисельник більший (менший).  Наприклад:  < ,  > .

Щоб порівняти дроби з різними знаменниками, треба їх звести до спільного знаменника а потім порівняти.  Наприклад:  < , оскільки  = ,  = ,  > .

Із двох мішаних чисел з однаковими цілими частинами більше те число, дробова частина якого більша. Із двох мішаних чисел із різними цілими частинами більше те, ціла частина якого більша.  Наприклад: 3 > 1, 5 > 5.

Додавання звичайних дробів і мішаних чисел

Додавання дробів із рівними знаменниками:  +  = .  Наприклад:  +  = .

Додавання дробів із різними знаменниками:  +  = , якщо НСД (b; d) = 1.

Наприклад:  +  =  = .

 +  = , де m = НСК (b; d), k = , l = .   Наприклад:  +  =  = .

a +  = .   Наприклад: 5 =  = 5 =  = .

Віднімання звичайних дробів і мішаних чисел

Віднімання дробів із рівними знаменниками    -  = .    Наприклад:  -  = .

Віднімання дробів із різними знаменниками

 -  = , якщо НСД (b; d) = 1.  Наприклад:  -  =  = .

 +  = , де m = НСК (b; d), k = , l = .  Наприклад:   +  =  = 

a -  = .                                         Наприклад: 1 -  =  = ; 5 -  =  = .

Множення звичайних дробів

 ∙  = .  Наприклад:  ∙  = 

                                        ∙  =  =  = .

a ∙  = .   Наприклад: 5 ∙  =  = 2;

                                         3 ∙  =  = =1.

 

Ділення дробів

 : =  ∙ = .    Наприклад:  :  =  ∙  = 

a :  = a ∙  = .    Наприклад: 12 :  = =12   =  =  = 18.

 : c =  ∙ =     Наприклад:   : 4 =  =  = .

Тема 3. Десяткові дроби та дії над ними

Десяткові дроби

Звичайні дроби (і мішані числа), знаменниками яких є числа 10,100,1000 і т. д., називаються десятковими. Десятковий дріб записують так:  N, n₁n₂n₃...n_k,  де N— ціле число, n₁n₂n₃,... — десяті, соті, тисячні... частини. Наприклад: 0,25; 3,852; 101,01—десяткові дроби.

Запис десяткового дробу у вигляді звичайного дробу (мішаного числа) та запис звичайного дробу у вигляді десяткового

Щоб десятковий дріб записати у вигляді звичайного дробу (мішаного числа), треба число, що стоїть до коми, записати цілою частиною; число, що стоїть після коми, записати в чисельник, а в знаменнику поставити одиницю і стільки пулів, скільки стоїть цифр після коми.  Наприклад: 5,62 = 5 = 5.

Щоб записати звичайний дріб у вигляді десяткового, треба чисельник дробу поділити на знаменник.  Наприклад:  = 0,625;  = 0,666... = 0,(6).

Порівняння десяткових дробів

Щоб порівняти два десяткових дроби, треба спочатку порівняти цілі частини дробів; у разі їх рівності послідовно порівнюють десяті, якщо рівні десяті — порівнюють соті і т. д.

Наприклад: 10,23 > 9,85; 3,759 < 3,81.

Наближені значення даного числа

Якщо дане число заміняємо на інше число, близьке за значенням до даного, то одержуємо наближене значення даного числа.  Наприклад: 122 ≈ 120 (читаємо: «122 наближено дорівнює 120») 1,9 ≈ 2 (читаємо: «одна ціла  дев’ять десятих наближено дорівнює двом»).  Якщо а < х < b, то а називають наближеним значенням числа х із недостачею, а b — наближеним значенням х із надлишкам.

Округлення десяткових дробів

При округленні десяткових дробів користуються одним із таких двох правил.

Правило 1

Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду дробової частини (до певного десяткового знака), треба:

1) відкинути всі десяткові знаки, які стоять після цього розряду;

2) якщо перша з відкинутих цифр була 5, 6, 7, 8 або 9, то останню залишену цифру збільшити на одиницю;

3) якщо перша з відкинутих цифр була 0, 1, 2, 3 або 4, то останню залишену цифру записати без змін.

Приклад 1. Округлити дріб 3,212 до сотих і дріб 18,091 до десятих. Розв’язання. 3,212 ≈ 3,21; 18,091 ≈ 18,1.

Правило 2

Щоб округлити десятковий дріб до певного розряду цілої частини вищого розряду одиниць, треба: відкинути всі цифри дробової частини (всі десяткові знаки); цілу частину округлюємо за правилом округлення натуральних чисел.

Приклад 2. Округлити дроби 12 931,3102 і 118,35 до десятків.

Розв’язання. 12931,3102 ≈ 12 930; 118,35 ≈ 120.

Додавання десяткових дробів

Додавання десяткових дробів виконується порозрядно. Наприклад: 

Віднімання десяткових дробів

Віднімання десяткових дробів виконується порозрядно. Наприклад: 

Множення десяткових дробів

Множення десяткових дробів виконується як множення натуральних чисел, у добутку справа відокремлюють комою стільки десяткових знаків, скільки їх мають обидва множники.  Наприклад:

Ділення десяткового дробу

Ділення десяткового дробу на натуральне число виконується так само, як ділення натуральних чисел, тільки, закінчивши ділення цілої частини числа, треба в частці поставити кому.   Наприклад:

      Щоб поділити на десятковий дріб, треба в діленому і дільнику перенести кому вправо на стільки знаків, скільки їх є в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число:

Наприклад:

                                 Тема 4.  Раціональні числа та дії над ними

Цілі числа

Цілими  числами називаються натуральні числа, їм протилежні  числа  і число 0. Множину цілих чисел позначають символом Z. Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Подання цілого числа у вигляді дробу

 Будь-яке ціле число а можна подати у вигляді дробу:    a = , n ∈ N, a ∈ Z.

Наприклад: 10 =  =  =  = …

Порівняння додатних і від’ємних чисел

Будь-яке від’ємне число менше нуля і будь-якого додатного числа. Нулі  ≥ менше будь-якого додатного числа.  Наприклад: -5 < 0; -5 < 1; 0 < 10.

Додавання від’ємних чисел та чисел із різними знаками

Додавання від’ємних чисел: -а + (-b)  = -а - b = -(а + b), де а і b — додатні числа.

Наприклад: -5 - 3 = -8.

Додавання чисел із різними знаками: 

Наприклад: -10 + 2 = -(10 - 2) = -8.     

Наприклад: -3 + 10 = 10 - 3 = 7.

Віднімання додатних і від’ємних чисел

Відняти від числа а число b означає додати до числа а число, протилежне b:

       а - b = а + (-b).   Наприклад: 5 - 6 = 5 + (-6) = -1; -3 - (-5) = -3 + 5 = 2.

Множення додатних і від’ємних чисел

-а - b = a  ∙ (-b) = - (ab), де а, b — додатні числа. Наприклад: -3 ∙ 5 = -15; 8 ∙ (-2) = -16.

-а ∙ (-b) = ab, де а, b — додатні числа.  Наприклад: -3 ∙ (-5) = 15.

Ділення додатних і від’ємних чисел

а : (-6) = -а : b = -(а : b), де а і b — додатні числа. Наприклад: 6 : (-2) = -3; -12 : 3 = -4.

-a: (-b) = а : b, де а і b — додатні числа. Наприклад: -15 : (-5) = 3.

Раціональні числа

Раціональні числа — числа, які можна подати у вигляді , де m ∈ Z, n ∈ N. Множину раціональних чисел позначають символом Q.

Наприклад: -1; ; -2; 0 — раціональні числа.

Будь-яке раціональне число — нескінченний періодичний десятковий дріб.

Нескінченний десятковий періодичний дріб

Нескінченний десятковий періодичний дріб — десятковий дріб, у якому нескінченно повторюється певна група цифр. Мінімальна група цифр, яка повторюється, називається періодом. Період записується в круглих дужках.

Наприклад:  = 0,333... = 0,(3); 3,060606 = 3,(06);  = 0,3111... = 0,3(1).

Якщо період починається відразу після коми, то дріб називається чисто періодичним. Якщо ж період починається не відразу після коми, то дріб називається змішаним періодичним.

Перетворення нескінченного десяткового періодичного дробу у звичайний

Чисто періодичний десятковий дріб дорівнює звичайному дробу, чисельник якого є період, а знаменник — цифра 9, що записана стільки разів, скільки цифр у періоді.

Наприклад: 0,(3) =  = ; 0,(81) =  = .

Для того щоб перетворити змішаний нескінченний періодичний дріб на звичайний, треба від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду. Потім записати цю різницю чисельником, а в знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, а після дев’яток дописати стільки нулів, скільки цифр стоїть між комою і першим періодом.  Наприклад: 0,11(7) =  = = .

Властивості арифметичних дій

Властивості додавання:  а + b = b + а (переставна);

                                          (а + b) + с = а + (b + с) (сполучна); а + 0 = а; а + (-а) = 0.

Властивості віднімання:  а - (b + с) = а - b - с;

                                           (а + b) - с = (а - с) + b; а - 0 = а.

Властивості множення:  а ∙ b = b ∙ а (переставна)

                                         (а ∙ b) ∙ с = а ∙ (b ∙ с) (сполучна)

    (q + b) ∙ c = ac + b ∙ c (розподільна властивість множення відносно додавання)

(a - b) c = a ∙ c - b ∙ c (розподільна властивість множення відносно віднімання)

а ∙ 1 = а; а ∙ 0 = 0  а ∙  = 1, якщо а ≠ 0.

Властивості ділення:

а : 1 = а; а : а = 1, а ≠ 0; 0 : а = 0, а ≠ 0.  Hа нуль ділити не можна!

Пропорції  =  або а : b = с : d, де a, d — крайні члени, b, с — середні члени.

Пропорція  =  рівносильна рівностям:  ad = bc       = ;  = ;  = .

Похідні пропорції  Якщо  =  і bd ≠ 0, то:  = ;  = ;     = ;  = ;     = .

Тема 5. Відсотки. Задачі на відсотки.

Відсотки

Соту частину будь-якої величини або числа називають відсотком (процентам). Слово «відсоток» замінюють знаком %, тобто 1% =  = 0,01.

Наприклад: 1 копійка — один відсоток від гривні, 1 см — один відсоток від метра, тобто

1 коп. = 1 % грн. 1 см = 1 % м.

Щоб перетворити десятковий дріб на відсотки, треба його помножити на 100.

Наприклад: 0,35 = 35 %; 0,3 = 30 %; 1,5 = 150 %.

Щоб перетворити відсотки на десятковий дріб, треба число відсотків розділити на 100. Наприклад: 30 % = 0,3; 53 % = 0,53; 1,58 % = 0,0158.

Основні задачі на відсотки

Для того щоб знайти р відсотків від даного числа а, треба:

1) перевести р відсотків у десятковий дріб;

2) помножити число а на одержаний десятковий дріб.

Приклад 1. Знайти 20 % від числа 120.

Розв'язання. 20 % = 0,2,120 ∙ 0,2 = 24.  Відповідь: 24.

Для того щоб знайти все число за відомою частиною b і числом відповідних відсотків р. треба:

1) перевести р відсотків у десятковий дріб;

2) розділити b на одержаний десятковий дріб.

Приклад 2. Знайти число, 12 % якого складає 60.  Розв’язання. 60 : 0,12 = 6000 : 12 = 500.  Відповідь: 500.

Щоб знайти відсоток числа b від числа а, треба дріб  помножити на 100 %.

Приклад 3. Скільки відсотків складає число 0,3 від 20?

Розв’язання.

 ∙ 100% =  = 0,3 ∙ 5% = 1,5%.  Відповідь: 1,5 %.

Збільшення (зменшення) числа на декілька відсотків. Формула складних відсотків

Збільшення на р %	Зменшення на р %	Формула складних відсотків
Якщо число а збільшити на р %, то одержимо число а ∙ (1 + ). Якщо число 200 збільшити на 30 %, то одержимо число 200(1 + 0,3) = =200 ∙ 1,3 = 260.	Якщо число а зменшити на р %, то одержимо число а (1 - ). Якщо число 120 зменшити на 30 %, то одержимо число 120 ∙ (1 - 0,3) = = 120 ∙ 0,7 = 84.	Якщо А — початковий вклад (капітал), р — річний відсоток, то в кінці n-го року вклад (капітал) становитиме A ∙ (1 + )n .

Розв'язування  більш  складних  задач на відсотки

Задача 1. На заводі 40 % усіх верстатів переведено на підвищені швидкості, унаслідок чого продуктивність праці зросла на 30 %. На скільки відсотків збільшилося виробництво заводської продукції?

Розв'язання: Нехай х — загальний обсяг продукції, що випускав завод раніше.

Знайдемо, на скільки збільшився загальний обсяг продукції: х ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,12х.

Знайдемо, на скільки відсотків збільшилося виробництво заводської продукції:  ∙ 100% = 12%.

Відповідь: на 12 %.

Задача 2.  На скільки відсотків збільшиться продуктивність праці робітників, якщо час на виконання певної операції скоротати на 20 %?

Розв'язання: Нехай х — час виконання операції, тоді  — продуктивність праці; 0,8 х — час на виконання операції після його скорочення, тоді  =  — нова продуктивність праці,  -  =  — величина, на яку збільшиться продуктивність праці. Отже, продуктивність праці робітників збільшиться на 100%:  ∙ =  = 25%. Відповідь: на 25 %.

Задача 3. На скільки відсотків збільшиться реальна зарплатня, якщо ціни на всі продовольчі та промислові товари зменшити на 20 %?

Розв'язання: Нехай х — початкова ціна товарів, тоді  — реальна заробітна плата 0,8х — нова ціна товарів, тоді  =  — реальна заробітна плата. Отже, реальна платня збільшилася на

100%:  ∙ () =  = 25%. Відповідь: на 25 %.

Тема 6. Степінь із натуральним і цілим показниками

Степінь iз натуральним показником та його властивості

Степенем числа а з натуральним показником я, більшим за одиницю, називають добуток n множників. кожний із яких дорівнює а.

 

Першим степенем числа називають саме число: а¹ = а. Наприклад: 5¹ = 5;(-2)³ = -2 ∙ (-2) ∙ (-2) =-8.  34 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 81; 0ⁿ = 0, n ∈ N

1ⁿ = 1, n ∈ N. У записі аⁿ = b число а називається основою степеня, n — показником степеня, aⁿ — степенем, b — значенням степеня.

Властивості степенів

1. При множенні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники степенів додаються:  а^m ∙ аⁿ = а^m+n.

2. При діленні степенів із рівними основами основа залишається такою самою, а показники віднімаються:  a^m : aⁿ = a^m-n, або  = a^m-n.

3. При піднесенні степеня до степеня основа залишається такою самою, а показники перемножуються: (а^m)ⁿ = а^mn.

4. При піднесенні до степеня добутку до цього степеня підноситься кожний множник: (аb)ⁿ =аⁿbⁿ.

5. При піднесенні до степеня дробу до цього степеня підносяться чисельник і знаменник: ()ⁿ = .

Піднесення до степеня вважається арифметичного дією третього ступеня. Якщо вираз містить різні арифметичні дії, то спочатку виконується піднесення до степеня як дія вищого (третього) ступеня, потім множення і ділення (дії другого ступеня) і, нарешті, додавання і віднімання (дії першого ступеня).

Наприклад: 5 ∙ 2³ - 6² : 12 = 5 ∙ 8 - 36 : 12 = 40 - 3 = 37.

Степінь із цілим показником та його властивості

Нульовий степінь числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Нульовий степінь нуля не визначений.   а⁰ = 1, а ≠ 0, 0⁰ — не визначений.

Якщо а ≠ 0 i n ∈ N, то a^-n = . Вираз 0^-n, де n ∈ N — не визначений. 

Наприклад: 2^-3 =  = , (-3)^-3 =  = .

Для степенів із цілими показниками характерні ті ж властивості, що й для степенів із натуральними показниками:

1. аⁿ ∙ a^m = a^m+n;

2. a^m : aⁿ = a^m-n

3. (a^m)ⁿ = а^mn;

4. (аb)ⁿ = аⁿbⁿ;

5. ()ⁿ = .

6. При піднесенні дробу до степеня з від’ємним показником можна піднести обернений дріб до степеня з протилежним показником: ()^-n = ()ⁿ.

Стандартний вигляд числа

Стандартним виглядом числа а називають такий його запис: а ∙ 10ⁿ, де 1 ≤ а < 10 і n ∈ Z. Число n називають порядком числа

Наприклад: число а = 125 000 записують у стандартному вигляді так: а = 1,25 ∙ 10⁵, а число а = 0,000508 так: а = 5,08 ∙ 10^-4.

Тема 7. Одночлени та дії над ними

Буквені вирази. Числові значення  буквених виразів

Буквеним виразом називають запис, у якому числа і букви з’єднано знаками дій.

Наприклад: х + 2, х + у, 3x - 2у, —  буквені вирази.

Буквені вирази називають також виразами зі змінними, а букви — змінними. Якщо в буквений вираз замість букв підставити числа, то одержимо числовий вираз, значения якого називається числовим значенням буквеного виразу при даних значеннях букв.

Наприклад: якщо а = 3,5; b = 1,5, то значенням виразу  є значення виразу  =  = 1,05.

Якщо вираз не містить ніяких інших дій. крім додавання, віднімання, множення, піднесення до натурального степеня і ділення, його називають раціональним.

Наприклад: 2ху + х, ,  — раціональні вирази.

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим. Наприклад: x + у, 2ху — цілі вирази.

Одночлени

Одночленам називається добуток чисел, змінних так натуральних степенів, а також самі числа, змінні та їх натуральні степені.

Наприклад: 5а, 6а²b, 3, х, xyz — одночлени.

Одночлен стандартного вигляду — одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені з різними буквеними основами.

Наприклад: 3ab, 12х²y²z, -а,-х²у — одночлени  стандартного вигляду.

Коефіцієнтам одночлена називають числовий множник одночлена стандартного вигляду.

Наприклад: коефіцієнтами одночленів 5x², -3ab, -a²y, xyz є відповідно числа 5, -3, -1, 1. Коефіцієнти 1 та -1 в одночленах не записують.

Щоб записати одночлен у стандартному вигляді, треба перемножили всі його числові множники й одержане число поставити на перше місце, а потім добутки однакових буквених множників записати у вигляді степенів.

Наприклад: 2ab  (-3а²b) ∙ (-3a³b) = 18a⁶b³.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх буквених множників, що входять до одночлена

Наприклад: степінь одночлена 5х³уz⁶? дорівнює 3 + 1 + 6 =10.

Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, то вважають, що його степінь дорівнює нулю.

Дії над одночленами

Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їх коефіцієнти і перемножити степені з однаковими основами.

Наприклад: 12а²у ∙ (-2аb³у³) = -24а³b³у⁴.

Щоб піднести одночлен до степеня, треба піднести його коефіцієнт до цього степеня і помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підноситься одночлен.

Наприклад: (-3a²bx⁵)²= 9a4b²x¹⁰.

Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на коефіцієнт дільника, до знайденої частки приписати множниками кожну змінну діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї змінної в діленому і дільнику.

Наприклад: 12x⁷y³z¹² : (4х³уz⁷) = 3х^7-3у^3-1z^12-7 = 3x⁴y²z⁵.

Тема 7. Одночлени та дії над ними

Буквені вирази. Числові значення  буквених виразів

Буквеним виразом називають запис, у якому числа і букви з’єднано знаками дій.

Наприклад: х + 2, х + у, 3x - 2у, —  буквені вирази.

Буквені вирази називають також виразами зі змінними, а букви — змінними. Якщо в буквений вираз замість букв підставити числа, то одержимо числовий вираз, значения якого називається числовим значенням буквеного виразу при даних значеннях букв.  Наприклад: якщо а = 3,5; b = 1,5, то значенням виразу  є значення виразу  =  = 1,05.

Якщо вираз не містить ніяких інших дій. крім додавання, віднімання, множення, піднесення до натурального степеня і ділення, його називають раціональним.

Наприклад: 2ху + х, ,  — раціональні вирази.

Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною, називають цілим. Наприклад: x + у, 2ху — цілі вирази.

Одночлени

Одночленам називається добуток чисел, змінних так натуральних степенів, а також самі числа, змінні та їх натуральні степені.

Наприклад: 5а, 6а²b, 3, х, xyz — одночлени.

Одночлен стандартного вигляду — одночлен, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, і степені з різними буквеними основами.

Наприклад: 3ab, 12х²y²z, -а,-х²у — одночлени  стандартного вигляду.

Коефіцієнтам одночлена називають числовий множник одночлена стандартного вигляду.

Наприклад: коефіцієнтами одночленів 5x², -3ab, -a²y, xyz є відповідно числа 5, -3, -1, 1. Коефіцієнти 1 та -1 в одночленах не записують.

Щоб записати одночлен у стандартному вигляді, треба перемножили всі його числові множники й одержане число поставити на перше місце, а потім добутки однакових буквених множників записати у вигляді степенів.

Наприклад: 2ab  (-3а²b) ∙ (-3a³b) = 18a⁶b³.

Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх буквених множників, що входять до одночлена

Наприклад: степінь одночлена 5х³уz⁶? дорівнює 3 + 1 + 6 =10.

Якщо одночленом є число, відмінне від нуля, то вважають, що його степінь дорівнює нулю.

Дії над одночленами

Щоб помножити одночлен на одночлен, треба перемножити їх коефіцієнти і перемножити степені з однаковими основами.  Наприклад: 12а²у ∙ (-2аb³у³) = -24а³b³у⁴.

Щоб піднести одночлен до степеня, треба піднести його коефіцієнт до цього степеня і помножити показник степеня кожної букви на показник степеня, до якого підноситься одночлен.

Наприклад: (-3a²bx⁵)²= 9a4b²x¹⁰.

Щоб поділити одночлен на одночлен, треба поділити коефіцієнт діленого на коефіцієнт дільника, до знайденої частки приписати множниками кожну змінну діленого з показником, що дорівнює різниці показників цієї змінної в діленому і дільнику.  Наприклад: 12x⁷y³z¹² : (4х³уz⁷) = 3х^7-3у^3-1z^12-7 = 3x⁴y²z⁵.

Тема 8. Многочлени та дії над ними

Многочлени

Многочленам називається алгебраїчна сума кількох одночленів.

Наприклад: 3ху + ab + 2; 17²b - 2ху + а—многочлени.

Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами. Одночлен — окремий вид многочлена.  Многочлен, який містить два або три доданки, називають відповідно двочленом або тричленом.

Наприклад: а² - b², х + у — двочлени; а + ab + b, х² + ху - у² — тричлени.

Подібні члени многочлена — це однакові одночлени, або одночлени, запис яких у стандартному вигляді відрізняється лише коефіцієнтами.

Наприклад: у многочлені 15a²b + 3ab² - 7a²b + 5аb² перший і третій, другий і четвертий члени подібні.

Зведення подібних членів — це спрощення многочлена, при якому алгебраїчна сума подібних членів замінюється одним членом. Щоб звести подібні члени, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.

Наприклад: 15а²b + 3аb² - 7а²b + 5ab² = 8a²b + 8аb².

Стандартний вигляд многочлена — це запис многочлена, усі члени якого мають стандартний вигляд і серед них немає подібних.

Наприклад: а² - ab + b², ab + bс + ас — многочлени стандартного вигляду, а 3а² + 2b² - 3аb + а² — многочлен нестандартного вигляду.

Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, із яких складається многочлен. Степенем довільного многочлена називають степінь тотожно рівного йому многочлена стандартного вигляду.

Наприклад: степінь многочлена 5a⁷b + 5аb⁵ - 2а⁵b⁵ дорівнює степеню одночлена -2а⁵b⁵, тобто 5 + 5= 10.

Дії над многочленами

При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити, зберігши знаки кожного одночлена.

Наприклад: (3х² - 2х + 5) +(6х² + 5х - 3) = 3х² - 2х + 5 + 6х² + 5х - 3 = 9х² + 3х + 2.

При відніманні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «-», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що містився в дужках, на протилежний.

Наприклад: (3х² - 2х + 5) - (6х² + 5х - 3) = 3х² - 2х + 5 - 6х² - 5х + 3= -3х² - 7х +8.

Щоб записати алгебраїчну суму кількох многочленів як многочлен стандартного вигляду, треба розкрити дужки і звести подібні члени.

Наприклад: (2x² - 3х + 2) - (3х² - 2х -1) - (-х² + 2х +1) + (-2х² + х - 1) = 2х² - 3х + 2 - 3х² + 2х + 1 + х² - 2х - 1 - 2х² + х - ₁ = -2х² - 2х +1.

Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен й одержані одночлени додати.

Наприклад: 3а(а² - 2а + аb) = 3а³ - 6а² + 3а²b.

Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані одночлени додати.

Наприклад: (3х - 2)(2х - 3) = 3х ∙ 2х - 3х ∙ 3 - 2 ∙ 2х + 2 ∙ 3 = 6х² - 9х - 4х + 6 = 6х² - 13х + 6.

Щоб розділити многочлен на одночлен, треба кожний член многочлена розділити на цей одночлен й одержані результати додати.

Наприклад: (5х⁷ - 2х⁵ + 3х² + 6х) : 2х = 5х⁷ : 2х - 2х⁵ : 2х + 3х² : 2х + 6х : 2х = 2,5х⁶ - --х⁴ + 1,5х + 3.

Розкладанням многочлена на множники називають запис многочлена у вигляді добутку многочленів.

Наприклад: 2ах + 6ау = 2а(х + 3y).

При розкладанні многочлена на множники використовують такі способи.

1. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад: 5х² +10х = 5х(х + 2).

2. Спосіб групування.

Наприклад: 3х - 3у - х² + ху = (3х - 3у) - (х² - ху) = 3(х - у) -  х(х - у) = (х - у)(3 - х).

3. Використання формул скороченого множення.

Формули скороченого множення

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу

(а + b)² = а² + 2 ab + b².  Наприклад: (3а + 2b)² = 9а² +12аb + 4b².

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу

(а - b)² = а² - 2ab + b².  Наприклад: (3а - 2)² = 9а² - 12а + 4.

Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів

(а - b)(а + b)= а² - b².  Наприклад: (5а - 3b)(5а + 3b) = 25а² - 9b².

Добуток суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів

(a + b)(a² - ab + b²) - а³ + b³. Наприклад: (3 + x)(9 - 3x + х²) = 27 + х³.

Добуток різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми дорівнює різниці кубів цих виразів

(a - b)(a² +ab + b²) = а³ - b³. Hаприклад :  (2х - 3y)(4х² + 6ху + 9у²) = 8x³ - 27у³.

Куб суми (різниці) двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс (мінус) потроєний добуток квадрата першого виразу на другий вираз плюс потроєний добуток першого виразу на квадрат другого виразу плюс (мінус) куб другого виразу  (a ± b)³ = а³ ± 3а²b + 3ab² ± b³.

Наприклад: (2х - 3у)³ = 8х³ - 36х²у + 54хy² -27y³; (2 + 5х)³ = 8 + 60х+ 150х² + 125х³.

Тема 9. Алгебраїчні дроби та дії над ними

Алгебраїчний дріб 

Алгебраїчним називається дріб, чисельник і знаменник якого є алгебраїчними виразами.

Наприклад: ; ;  — алгебраїчні дроби.

Передбачається, що використані в записі алгебраїчного дробу букви можуть набувати тільки таких значень, при яких знаменник цього дробу не дорівнює нулю. Наприклад: дріб  має зміст при всіх значеннях змінної а, крім 0 і 9.

Основна властивість дробу

При множенні чисельника і знаменника дробу на один і той самий алгебраїчний вираз одержуємо дріб, що дорівнює даному дробу.  Наприклад:  =  = .

Скорочення алгебраїчних дробів

Використовуючи основну властивість дробу, можна скорочувати алгебраїчні дроби на спільний множник чисельника і знаменника.

Наприклад:  =  = .

Якщо змінити знак чисельника (або знак знаменника) дробу і знак перед дробом, то одержимо вираз, що тотожно дорівнює даному:  - = ; - = .

Дії з дробами

Щоб додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками, треба додати (відняти) їх чисельники, а знаменник залишити той самий.

Наприклад:  + =  = ;   -  =  =  = .

Щоб додати (відняти) дроби з різними знаменниками, треба:

1) розкласти на множники чисельник і знаменник кожного дробу;

2) скоротити множники в чисельнику і знаменнику кожного дробу;

3) знайти і записати спільний знаменник дробів;

4) знайти і записати додаткові множники для кожного дробу;

5) записати суму (різницю) добутків чисельників і додаткових множників, ураховуючи знаки, в чисельник дробу;

6) спростити (якщо можливо) одержаний дріб.

Наприклад:  +  -  =  +  -  ==  = =  =  =  = .

Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити їх чисельники і перемножити їх знаменники перший добуток записати чисельником, а другий — знаменником дробу.

Якщо b ≠ 0, d ≠ 0, то  ∙  = .

Наприклад:  ∙  =  = .

Щоб розділити один дріб на інший, треба перший дріб помножити на дріб, обернений до другого.

Якщо b ≠ 0, с ≠ 0 і d ≠ 0, то : = ∙.    Наприклад:  :  =  ∙  = .

Тотожне перетворення раціональних алгебраїчних виразів

Виконати тотожні перетворення раціонального виразу (виразів) загального вигляду, що містить цілі і дробові вирази, означає звести вираз (вирази) до дробу, чисельник і знаменник якого є многочленами стандартного вигляду. При цьому послідовність виконання перетворень така сама, як і послідовність виконання дій у числових виразах.

Наприклад:  I спосіб   =  =  ∙  =  = .

                      II спосіб   =  =  =  =  = .

 Тема 10. Арифметичний квадратний корінь. Цілі числа

Квадратний корінь.

Квадратним коренем із числа а називається число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад: квадратний корінь із числа 4 дорівнює 2 або -2, бо 2² = 4, (-2)² = 4.

Арифметичний квадратний корінь

Арифметичнім квадратним коренем із числа а називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.  Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають так: . Знак  називають знакам арифметичного квадратного кореня, вираз, який стоїть під знаком кореня. — підкореневим виразом. Запис  читають так: «квадратний корінь із а» (слово «арифметичний» при читанні опускають).

Отже,  = b, b  0 означає b² = а.

Якщо а < 0, то вираз  не має змісту.

Наприклад:  = 4, бо 4² = 16;  = 15, бо 15² = 225.

З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що при невід’ємних значеннях а справедлива рівність ()² = а.

Якщо а  0, то  = а. Якщо а < 0, то  = -а. Отже.

 = |a| = 

Властивості арифметичних квадратних коренів

1. Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів із цих множників:

 =  ∙ , де а  0, b  0.   Якщо а  0, b > 0, то  ∙  = .

Наприклад:  =  ∙  = 8 ∙ 0,2 = 1,6;  ∙  =  =  = 4.

2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню із чисельника, діленому на корінь зі знаменника:

 = , де а  0, b > 0.   Якщо а  0, b > 0, то  = .

Наприклад:  =  = ,  =  =  = 4.

3. Внесения множника під знак квадратного кореня:

а) b = , при b  0;

б) b =, при b < 0;

4. Винесення множника з-під знака кореня:

a)  = b, при b  0;

б)  = -b, при b < 0.

Ірраціональні числа

Числа, які не можна подати у вигляді , де m ∈ Z, n ∈ N, називають ірраціональними.

Наприклад, числа ,,, , е — ірраціональні числа.

Запис ірраціональних чисел у вигляді десяткового дробу

Будь-яке ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.  Наприклад:  = 1,4142135...  = 3,1415926... е = 2,71828182...

Будь-який нескінченний неперіодичний десятковий дріб є записом деякого ірраціонального числа.

Дійсні числа, їх запис у вигляді десяткового дробу

Раціональні та ірраціональні числа утворюють множину дійсних чисел, яку позначають символом R. Кожне натуральне число є водночас і цілим, і раціональним, і дійсним. Кожне ціле число є також раціональним і дійсним.  Наприклад: усі числа , -3, 0, , - — дійсні; перші три — раціональні; два останні — ірраціональні; -3, 0 — цілі.

Будь-яке дійсне число можна записати у вигляді нескінченного десяткового дробу.

Наприклад:  = 0,5 = 0,500…, = 0,3333…,  = 3,1622776… .

Будь-який нескінченний десятковий дріб є записом деякого дійсного числа

 Тема 11. Рівняння, нерівності та їх системи

Рівняння з однією змінною

Рівнянням називають рівність, яка містить змінну (невідоме).

Наприклад: 2х + 3 = 0, х² - 5х + 6 = 0 — рівняння.

Розв'язком (коренем)рівняння називається значення змінної, при підстановці якого в рівняння одержують правильну числову рівність.

Наприклад: число 2— корінь рівняння х² - 2х = 0, бо 2² - 2 ∙ 2 = 4 - 4 = 0.

Розв’язати рівняння означає знайти його корені або довести, що їх немає.

Два рівняння є рівносильними, якщо множини їх розв’язків збігаються.

Наприклад: рівняння х + 2 = 3 і х - 1 = 0 рівносильні, оскільки вони мають спільний корінь — число 1 й інших коренів не мають.

Розв’язування будь-якого рівняння, як правило, зводиться до заміни його рівносильним рівнянням.

Основні теореми про рівносильність рівнянь

1. Якщо до обох частин рівняння додати одне й те саме число або вираз зі змінною, що не втрачає змісту за жодного її значення, то отримаємо рівняння, що є рівносильним даному.

Наприклад: рівняння х + 1 = 3 є рівносильним рівнянню х = 2, оскільки друге рівняння можна отримати з першого додаванням до обох частин першого рівняння числа -1 (або перше рівняння можна отримані з другого додаванням до обох частин другого рівняння числа 1).

2. Якщо з однієї частини рівняння перенести в другу частину доданок із протилежним знаком, то отримаємо рівняння, що є рівносильним даному.

Наприклад: рівняння х - 3 = 7 є рівносильним рівнянню х = 7 + 3, тобто рівнянню х = 10.

3. Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на одне й те саме число, що не дорівнює нулю, або на вираз зі змінною, який не перетворюється на нуль за жодного значення змінної і не втрачає змісту на множині допустимих значень змінної для даного рівняння, то отримаємо рівняння, що є рівносильним даному.

Наприклад: рівняння 5х = 20 є рівносильним рівнянню 5х : 5 = 20 : 5, тобто рівнянню х = 4; рівняння - х = 5 є рівносильним рівнянню -х(-2) = 5 ∙ (-2), тобто рівнянню х = -10.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння 5х + 3(3х + 7) = 35.

Розв'язання: Спростімо рівняння: розкриємо дужки в лівій частині рівняння:

5х + 9х + 21 = 35.

Перенесемо число 21 із лівої до правої частини рівняння, змінивши знак на протилежний:   5х + 9х = 35 - 21.

Зведемо подібні члени в лівій і правій частинах рівняння:  14x = 14.

Поділимо ліву і праву частини рівняння на 14. Отже, х = 1.  Відповідь: 1.

Рівняння із двома змінними

Рівність, яка містить дві змінні (невідомі), називається рівнянням із двома змінними (невідомими). Наприклад: x - у = 4, ху = 12 — рівняння із двома змінними.

Розв'язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, які перетворюють це рівняння на правильну числову рівність.

Наприклад: пара чисел x = 7 і у = 3 є розв’язком рівняння 2x - 4у = 2, оскільки 2 ∙ 7 - 4 ∙ 3 = 2.

Рівняння із двома змінними, які мають одні і ті самі розв’язки, є рівносильними. Рівняння із двома змінними, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

У рівнянні із двома змінними можна переносити доданки з однієї частини до другої, змінивши їх знаки. Обидві частини рівняння можна помножити на одне і те саме число або розділити на одне і те саме число, що не дорівнює нулю. При цьому отримуємо рівняння, що є рівносильним даному.

Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду ах + by = с, де х і у — змінні, я, b, с— числа.

Графікам рівняння із двома змінними називають множину точок координатної площини, координат яких є розв’язками цього рівняння.

Графіком лінійного рівняння із двома змінними, у якому хоча б один із коефіцієнтів при змінних не дорівнює нулю, є пряма (рис. 1).                      Рис.1

Числові нерівності та їх властивості

Означення. Число а більше числа b. якщо різниця а - b є числом додатним.

Число а менше числа b. якщо різниця а - b є числом від’ємним.

Якщо а більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а < b.

Отже, нерівність a > b означає, що різниця а - b є додатною, тобто а - b > 0; нерівність а < b означає, що різниця а - b є від’ємною, тобто а - b < 0.

Два вирази, які сполучені знаком > або <, називають строгими нерівностями.

Знаки > і < є знаками строгої нерівності, вони протилежні один одному: якщо а > b, то b < a, і навпаки.

Окрім знаків > і <, використовують також знаки:

≥ — більше або дорівнює (не менше),

≤ — менше або дорівнює (не більше).

Нерівність а ≤ b означає, що a < b або a = b, тобто я не більше b.

Наприклад: якщо число учнів Вашого класу 30, то число я учнів, які присутні на уроці, може бути меншим або дорівнювати 30. У цьому випадку можна записати: a < 30.

Аналогічно нерівність а ≥ b означає, що а > b або а = b, тобто а не менше b.

Два вирази, які сполучені знаком ≥ або ≤, називають нестрогими нерівностями. Знаки ≥ і ≤ є знаками нестрогої нерівності.

Наведемо приклади нерівностей:

1) 5 >6;   2) 7 < 9;  3) 4 ≤ 4;   4) 4 ≥ 1;

5) 2х + 3 > 2;  6) 3х - 1 > 2x- + 1;

7) х² + х > 3;  8)  ≤ 1

 

Вираз, який стоїть ліворуч або праворуч відзнака нерівності, називають відповідно лівою чи правою частиною нерівності.

Наприклад: лівою  частною  нерівності х² + х > 3 є вираз х² + Х, а правою — число 3.

Якщо обидві частини нерівності — числа, то її називають числовою нерівністю.

Такі нерівності бувають правильні або неправильні.

Наприклад: нерівності 7 < 9; 4 ≥ 4; 4 ≥ 1 — правильні, а нерівності 5 > 6;  ≤ 1 — неправильні. Теореми 1. Якщо а < b, b < с, то а < с.

Геометрично ця властивість означає: якщо точка А (якій відповідає число а) лежить лівіше від точки В (якій відповідає число b), а точка В. у свою чергу, лежить лівіше від точки С (якій відповідає число с), тоді точка А тим більше буде лежати лівіше від точки С (рис. 2).

Аналогічно, якщо а > b, b > с, то а > с.

   Рис. 2

Теорема 2. Якщо а < b і с — будь-яке число, то а + с < b + с.

Отже, якщо до обох частин правильної нерівності додати одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність.

Аналогічно: якщо а > b, с — будь-яке число, то а + с > b + с.

Наслідок. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини нерівності в іншу, змінивши знак цього доданка на протилежний.

Теорема 3. Якщо а < b і с > 0, то ас < bс. Якщо а < b і с < 0, то ас > bс.

Аналогічно: а) якщо а > b, с > 0, то ас > bс; б) якщо а > b i с <0. то ас < bс.

Оскільки ділення можна замінити множенням на число, обернене до дільника, то аналогічні властивості є справедливими й для ділення:

а) якщо а < b і с > 0, то  < ;

б) якщо а < b і с < 0, то  > .

Отже, якщо обидві частини правильної нерівності намножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність. Якщо обидві частини правильної нерівності помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число і замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

Теорема 4. Якщо а > b i с > d, то а + с > b + d.

Якщо почленно додати правильні нерівності одного знака, то одержимо правильну нерівність.     Наприклад:

 

Теорема 5. Якщо a < b, c < d i a > 0, b > 0, c >0, d > 0, то ас < bd.

Якщо  почленно  перемножити правильні нерівності одного знака, ліві і праві частини яких є додатними числами, то отримаємо правильну нерівність.  Наприклад:

Слід зазначити, що теореми 4 і 5 справедливі для трьох і більше нерівностей.

Нерівності з однією змінною

Нерівністю зі змінною (невідомим) називають два вирази зі змінною (невідомим), між якими стоїть один зі знаків нерівності: > (більше), < (менше), ≥ (більше або дорівнює; не менше), ≤ (менше або дорівнює; не більше).  Наприклад: 3х + 2 > 6 і х² + х + 1 > 0 — нерівності з однією змінною.

Розв'язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює нерівність в правильну числову нерівність. Наприклад: число 2 — розв’язок нерівності х + 3 > 4, а число -1 не є розв’язком даної нерівності.

Приклад 2. Доведіть, що при кожному дійсному значенні а нерівність а² + 2 > 2а є справедливою.

Доведення:  Складемо різницю лівої і правої частин нерівності й перетворимо її: а² + 2 - 2а - а² - 2а + 1 + 1  = (а² - 2а + 1) + 1 = (а - 1)² + 1. При будь-якому значенні а утворена різниця а² + 2 - 2а — додатна, тому що значення виразу (а - 1)² є невід’ємним, а значення виразу (а - 1 )² + 1 — додатним. Отже, при будь-якому значенні а нерівність а² + 2 > 2а є справедливою.

Розв’язати нерівність з однією змінною означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Розв’язками нерівності є деяка множина чисел.  У таблиці наведено деякі числові множини, їх позначення, зображення на координатній прямій і запис у вигляді нерівності.

Розв’язування нерівностей, як правило, зводиться до заміни даної нерівності нерівністю, яка їй рівносильна.

Нерівності, які мають одні й ті самі розв’язки, називаються рівносильними. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважаються рівносильними.

Нерівності з однією змінною мають такі властивості:

1. Якщо з однієї частини нерівності перенести в другу доданок із протилежним знаком, то одержимо рівносильну їй нерівність.

Наприклад: нерівність х + 2 > 3 рівносильна нерівності х + 2 - 2 > 3 - 2. тобто х > 1.

2. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо рівносильну їй нерівність.

Наприклад:  х >3 рівносильна нерівності х ∙ 2 > 3 ∙ 2, тобто х > 6.

3. Якщо обидві частини нерівності помножити або поділити на одне й те саме від'ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то одержимо рівносильну їй нерівність. Наприклад: нерівність -2х < 10 рівносильна нерівності -2х : (-2)> 10 : (-2), тобто х >-5.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність 2(х - 5)+ 6 ≥ 9х - 2(х - 3).

Розв'язання: Перетворімо ліву і праву частини нерівності, тобто розкриємо дужки: 2х - 10 + 6 ≥ 9х - 2х + 6. Перенесемо члени, що містять змінну до лівої частини нерівності, а члени, які не містять змінну, у праву частину нерівності, при цьому змінимо знаки членів на протилежні: 2х - 9х + 2х >10 - 6 + 6. Зведемо подібні в лівій і правій частинах нерівності: -5х ≥ 10. Поділимо обидві частини нерівності на -5, змінивши знак нерівності на протилежний: х ≤ -2. Отже, розв’язком нерівності є проміжок (-∞; -2].  Відповідь: (-∞; —2].

Системи рівнянь із двома змінними

Декілька рівнянь із двома змін ними, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою рівнянь із двома змінними. Систему рівнянь позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.  Наприклад:

  — системи рівнянь із двома змінними.

Розв’язати систему рівнянь із двома змінними означає знайти всі її розв’язки або довести, що система розв’язків не має.

Розв'язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, яка перетворює кожне рівняння системи на правильну рівність.

Наприклад: пара чисел х = 3, у = 2 (записують так (3; 2)) є розв’язком системи рівнянь 

Розв’язування системи рівнянь із двома змінними, як правило, зводитеся до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті самі розв’язки, називають рівносильними. Системи рівнянь, які не мають розв’язків, також вважають рівносильними.

Системи рівнянь мають такі властивості:

1. Якщо замінити порядок рівнянь заданої системи, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад: системи  i  є рівносильними.

2. Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівносильне йому рівняння, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад: системи  i  є рівносильними.

3. Якщо в системі рівнянь з одного рівняння виразити одну змінну, наприклад у, через іншу змінну, і одержаний вираз підставити замість у в друге рівняння системи, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад: системи  є рівносильними.

4. Якщо перше рівняння системи замінити сумою першого рівняння, помноженого на число а ≠ 0, і другого рівняння, помноженого на число  ≠ 0, а друге рівняння залишити без змін, то одержимо систему, рівносильну даній.

Наприклад:   — є рівносильними системами.

Системи нерівностей з однією змінною

Декілька нерівностей з однією змінною, відносно яких поставлено завдання знайти всі спільні розв’язки, називають системою нерівностей з однією змінною. Систему нерівностей позначають зліва фігурною дужкою, що їх об’єднує.

Наприклад:   — системи нерівностей з однією змінною.

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, при якому кожна нерівність перетворюється на правильну числову.

Наприклад: х = 3 є розв’язком системи нерівностей 

Розв'язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає. Розв'язування системи нерівностей з однією змінною, як правило, зводиться до заміни даної системи рівносильною їй системою.

Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною слід:

• розв’язати кожну нерівність;
• знайти спільні розв’язки даних нерівностей.

Приклад 4. Розв’яжіть систему нерівностей 

Розв'язання: Маємо   

Зобразимо на координатній  прямій множини розв’язків кожної з нерівностей (рис. 3).    Рис. 3

Обидві нерівності справедливі при х < -1,5. Відповідь можна записати у вигляді нерівності х < -1,5 або числового проміжку (-∞; -1,5].  Відповідь: (-∞; -1,5].

Тема 12. Функції та їхні основні властивості

Поняття функції. Способи  задання функції.

Область визначення і область значень функції

Числовою функцією з областю визначення D називають залежність, згідно з якою кожному числу х із множини D відповідає за деяким правилом єдине число у із множини Е (рис. 1).

Змінну х називають незалежною змінною, або аргументам функції, а змінну у — залежною змінною, або функцією.

Функцію позначають латинськими буквами f, g, h,... (або f (x), g (x), h (x),...) або рівностями у = f(x), у = g (x), у = h (x),... .

Якщо задане конкретне значення незалежної змінної x = x₀, то у₀ = f(x₀) називається значенням функції f у точці x₀.

    Рис. 1

Наприклад: якщо f(x) = , то f(1) =  = , f(0) =  = 0, f(a) = .

Область визначення функції позначають D (f) (від англ. define — визначити). Множина, що складається з усіх чисел f(x) таких, що ж належить області визначення функції f,називається областю значень функції і позначається Е (f) (від англ. exist — існувати).

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого залежно від часу подано в таблиці:

Таблиця

Час доби, ж (год)	9	12	15	18	21	24
Температура тіла, у = f(x) (С°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

Залежність у = f(x) є функцією, де x — незалежна змінна, у — залежна змінна.

f(9) = 39; f(12) = 38,5; f(15) = 38,3; f(18) = 37,3; f(21) = 37,1; f(24) = 37.

D(f) = {9; 12; 15; 18; 21; 24}.

E(f)= {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.

Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу x.

Наприклад: якщо кожному значенню ж із множини дійсних чисел відповідає квадрат цього числа, то функцію можна записати у вигляді формули: у = x², або f(x) = x².

Областю визначення функції y = f(x), яка задана формулою, називають множину тих значень, яких може набувати ж, тобто таких ж, за яких формула має зміст (усі дії, указані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам’ятати:

1. Якщо функція є многочленом у = а_nxⁿ + а_n-1x^n-1 +... + а₁x + а₀, то D (у) = (∞; +∞) = R. Наприклад: якщо у = x² + 2x + 1, то D (у) = R.

2. Якщо функція має вигляд у = , де f(x) і g (x) — многочлени, то слід вважати g (x) ≠ 0 (знаменник дробу не дорівнює 0).

Наприклад: якщо у = , то x² -1 ≠ 0. Тоді x ≠-1 і x ≠ 1. Oтже, D(у) = (∞; -1 )(-1; 1)(1;+∞).

3. Якщо функція має вигляд у = , то слід вважати f(X) ≥ 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємних чисел).

Наприклад: якщо у = , то 5 + х ≥ 0, х ≥ -5, тобто D (у) = [-5; +∞).

Графік функції

Графіком функції у = f(х) називають множину всіх точок площини з координатами (х; f(х)), де перша координата «пробігає» всю область визначення функції у = f(X), а друга — це відповідні значення функції у точці х (рис. 2).

  Рис. 2

Зростання і спадання функції

Функція у = f(х) є зростаючою (рис. 3), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Тобто для будь-яких значень х₁ і х₂ з області визначення функції як таких, що х₁ < х₂, виконується нерівність f(X₁) < f(х₂) (або у₁ < у₂), і навпаки, якщо у = f(х) — зростаюча, то за умови f(x₁) < f(x₂) виконується нерівність x₁ < x₂.

Рис. 3

Функція у = f(х) є спадною (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Тобто для будь-яких значень х₁ і х₂ з області визначення функції як таких, що х₁ < х₂, виконується нерівність f(х₁) > f(х₂) ( або у₁ > у₂), і навпаки, якщо у = f(х) — спадна, то за умови f(х₁) > f(х₂) виконується нерівність x₁ < х₂.                                                                      Рис. 4

Періодичність функції

Функцію у = f(х) називають періодичною з періодом Т ≠ 0. якщо для будь-якого х з області визначення числа х + T і х - T також належать області визначення і виконується рівність: f(х + T) = f(х - T) = f(х) (рис. 5).                                                                                 Рис. 5

Якщо функція у = f(х) — періодична з найменшим додатним періодом Т, то функція y = f(kx + b) теж періодична, і найменший додатний період її дорівнює  (k≠0).

Парні та непарні функції

Функція у = f(х) є парною, якщо для будь-якого значення х із D (y) значення -х також належить D (у) і виконується рівність f(-х) = f(х). Графік парної функції симетричний відносно осі OY (рис. 6).

                                                                                                                                Рис. 6

Приклад 1. Чи є парною функція f(х) = х⁴ + х²?

Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)⁴ + (-х)² = х⁴ + х² = f(х), то функція парна Приклад 2. Чи є парною функція f(х) = х² +х?

Оскільки D (f) = R, але f(-х) = (-х)² + (-х) = х² - х ≠ f(х), то функція не є парною.

Функція y = f(x) є непарною, якщо для будь-якого значеннях із D (у) значення -х ∈ D(y) і виконується рівність f(-х) = -f(х). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 7).              Рис. 7

Приклад 3. Чи є непарною функція f(х) = х³ - х⁵?

Оскільки D (f) = R і f(-х) = (-х)³ - (-х)⁵ = -х³ + x⁵ = -(х³ - x5) = -f(х), то функція є непарною.

Приклад 4. Чи є непарною функція f(х) = х³ - х²?

Оскільки D(f) = R i f (-х) = (-х)³ - (-х)² = -х³ - х² = -(х³ + х²) ≠ -f (х) = -х³ + х², то функція не є непарною.

Графіки деяких функцій та їх основні властивості

Функція у = kх

Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є непарною.

3. Для х ∈ R функція зростає, якщо k > 0 (рис. 8); спадає, якщо k < 0 (рис. 9).

4. Область значень: R.

5. Графік — пряма, що проходить через початок координат.

                   

Рис. 8                                     Рис. 9.

Функція у= b Властивості      

                                              Рис.10

1. Область визначення: R.                                                          

2. Функція є парною. Якщо b = 0, то функція і парна, і непарна.                                   

3. Для х ∈ R функція стала

4. Область значень: {b}.

5. Графік — пряма, паралельна осі х, якщо b ≠ 0, і пряма що збігається з віссю x, якщо b = 0.

6. Функція періодична, будь-яке число є періодом. Найменшого додатного періода не має.

Функція y =  (y = , n ∈ N, k ≠ 0)

Властивості

1. Область визначення: х ∈ (-∞; 0) U (0; +∞).

2. Функція є непарною.

3. Якщо k > 0, функція спадає на проміжку (-∞; 0) і на проміжку (0; +∞) (рис. 11). Якщо k < 0 функція зростає на проміжку (-∞; 0) і на проміжку (0; +∞) (рис. 12).

4. Області, значень: (-∞; 0)  (0; +оо).

5.Графік функції — гіпербола

 

Рис. 11

Рис. 12

Функцій y = ах² (у = ах²ⁿ, а ≠ 0, n ∈ N)

Властивості

1. Область визначення: R.

2. Функція є парною.

3. Якщо а > 0, функція спадає на проміжку (∞; 0], зростає на проміжку [0; +∞) (рис. 13). Якщо а < 0, функція зростає на проміжку (-∞; 0], спадає на проміжку [0; +∞) (рис. 14).

          Рис. 13       Рис. 14

     4. Область значень: якщо а > 0, то у ∈ [0; +∞); якщо а < 0, то у є (-∞; 0].

5. Графік функції—парабола

 

Функція у = aх³(у = аx²ⁿ⁺¹, а ≠ 0, n ∈ N)

Властивості

1. Область визначення: R

2. Функція є непарною.

3. Для х ∈ R функція зростає, якщо а > 0 (рис. 15); спадає, ЯКЩO a < 0  (рис. 16).

4. Область значень: R.

5. Графік функції — кубічна парабола.

                                

Рис. 15                       Рис. 16