Навчальний посібник з математики "Тригонометрія"

Про матеріал
Даний посібник присвячений важливому розділу «Тригонометрії». Посібник складається з двох розділів. Теоретичний матеріал в кожному підрозділі супроводжується розв'язанням типових прикладів, що робить роботу практичним спеціалізованим посібником курсу «Тригонометрії».
Перегляд файлу

 

 

1.ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

 

1.1. Радіанна система вимірювання кутів і дуг

 

Кут – це геометрична фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки, названої вершиною кута (рис. 9). Слово “кут” заміняють символом : АОВ=ВОА=α.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image004.jpg

 Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Промінь можна обертати навколо своєї початкової точки у двох напрямках: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним.

Відповідно до цього кути і дуги, отримані обертанням променя проти годинникової стрілки, вважаються додатними, а кути і дуги, отримані обертанням променя за годинниковою стрілкою, вважаються від’ємними (рис. 10).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image006.jpg

Якщо сторони кута утворюють пряму, то такий кут називається розгорнутим. 

Якщо промінь робить повний оберт навколо своєї початкової точки, то отриманий кут називається повним.

Осі абсцис (Ох) і ординат (Оу) ділять повний кут (коло) на чотири чверті (I - IV), або чотири квадранта (рис. 11).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image008.jpg

Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут в 1 градус – це кут, що його опише промінь, зробивши 1/360 частину повного оберту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки.

1/60 частина градуса називається хвилиною (позначка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image009.png).

1/60 частина хвилини називається секундою (позначка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image011.png).

Центральним кутом у колі називається кут, вершина якого знаходиться в його центрі.

Кут в 1 радіан – це центральний кут, який спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола. Слово “радіан” звичайно не пишуть. Таким чином, якщо |АВ|=R, |OA|=|OB|=R, то АОВ=α=1, тобто кут α дорівнює одному радіану (рис. 12).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image014.jpg

Оскільки довжина всього кола дорівнює 2πR, то повний кут складає http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image015.png радіан, тому що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image017.png. Оскільки повний кут дорівнює 360˚, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image019.png360˚. Звідси 1 радіан = http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image021.png(57 градусів, 17 хвилин, 45 секунд).

Таким чином, користуючись співвідношеннями http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image023.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image027.png, можна переходити від градусів до радіанів і навпаки.

Приклад 1

 а) Виразити в радіанах кут у 45°;

б) Виразити в градусах кут у 3 радіана.

Розв’язання:

а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image029.png

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image031.png

 1.2. Визначення тригонометричних функцій

 

Розглянемо спочатку тригонометричні функції гострого кута, які можна ввести за допомогою прямокутного трикутника (рис. 13).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image038.jpg

Нехай у прямокутному трикутнику ACB = 90˚ , |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c.

 

Синусом кута називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image045.png 

Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image047.png 

Тангенсом кута називається відношення протилежного катета до прилеглого:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image049.png 

Котангенсом кута називається відношення прилеглого катета до протилежного:

Розглянемо тригонометричні функції довільних значень аргументу.

Маємо прямокутну систему координат x0y на площині і коло одиничного радіуса, що має центр у початку координат (рис. 14).

Таке коло називається одиничним колом чи тригонометричним колом. 

Синусом кута  називається відношення ординати точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до радіуса.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image068.jpg

Косинусом кута називається відношення абсциси точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до радіуса.

Таким чином, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image071.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image072.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image074.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image076.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image078.png.http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image080.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image082.png можна розглядати як проекції на осі координат одиничного вектора http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image084.png. Таким чином, можна стверджувати, що синус кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image086.png дорівнює ординаті, а косинус – абсцисі вектора одиничної довжини, що виходить з початку координат і утворює з додатним напрямом осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image088.png. Оскільки  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image092.png, то

співвідношення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image094.png                    (1) називається основною тригонометричною тотожністю.

Тангенсом кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image096.png називається відношення ординати точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до її абсциси: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image069.png.                        http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image097.png                         (2)

 

Котангенсом кута  називається відношення абсциси точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до її ординати: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image069.png.                                            http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image099.png                          (3)

 

Обернені тригонометричні функції відповідно позначаються:

arcsin, arccos, arctg, arcctg.

 

 

Знаки тригонометричних функцій наведені на рис. 15.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image116.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image119.jpg

 

Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (табл. 1).

 

Таблиця 1

Значення тригонометричних функцій для деяких значень аргументу

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image121.jpg

 

Символ  (нескінченність) означає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image122.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image124.png при відповідних значеннях аргументу не визначені і набувають великих значень за модулем.

 

Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу

З означення тангенса та котангенса кута, ми отримали тригонометричні тотожності  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image130.png ;  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image128.png.

Перемноживши їх між собою, отримаємо:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image132.png.               (6)

Розділивши почленно основну тригонометричну тотожність (1) на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image134.png, отримаємо:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image136.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image138.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image140.png                    (7)

Розділимо почленно http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image142.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image094.png і отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image144.png     .                                        (8)

 

1.3. Вираження одних тригонометричних функцій через інші

 

З основної тригонометричної тотожності випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image001.png, тоді

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image003.png,                    (9)

а отже http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image005.png.                                        (10)

У формулах (9) і (10) знаки «+» або «–» вибираються в залежності від того, у якій чверті закінчується кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image007.png. Так, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image009.png закінчується в І або ІІ чверті, то беремо знак «+», якщо в ІІІ або ІV чверті, то знак «–» у формулі (9). У формулі (10) для кутів, що закінчуються в І або ІV чвертях, потрібно взяти знак «+», а якщо кути закінчуються в ІІ або ІІІ чвертях, то знак «–».

Виразимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image010.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image012.png з формули (8):

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image014.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image016.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image018.png.                    (11)

З формули (6) випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image020.png, тоді формулу (11) можна записати через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image022.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image024.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image026.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image028.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image029.png.          (12)

З формули (7) слідує, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image031.png,                    (13)

або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image033.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image012.png буде мати вигляд

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image035.png.          (14)

 

Приклад 2

Визначити знаки виразів: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image037.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image039.png.

Розв’язання:

Зазначимо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image041.png, але, з іншого боку, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image043.png радіан. Тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image045.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image047.png. Звідси кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image049.png закінчується в ІІ чверті, а кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image051.png закінчується в ІV чверті. Тоді за таблицею знаків тригонометричних функцій, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image053.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image055.png.

Відповідь: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image057.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image058.png.

 

Приклад 3

 Обчислити значення усіх тригонометричних функцій кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image070.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image071.png,.http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image073.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image075.png

Розв’язання:

Застосовуючи формули (8), (12), (10), (6), (4), (5), маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image077.png, звідки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image079.png, а оскільки у другій чверті синус додатний, то знаходимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image081.png. Далі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image083.png (оскільки косинус від’ємний у другій чверті), http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image085.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image081.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image091.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image093.png .

Приклад 4

Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image099.png.

Розв’язання:

Розкладемо суму кубів і, застосовуючи формулу (1), дістаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image101.png

Далі маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image103.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image105.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image107.png.

Приклад 5

 Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image109.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image111.png.

Розв’язання:

З основної тригонометричної тотожності випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image113.png.

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image111.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image115.png, отже кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image117.png закінчується в ІV чверті, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image119.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image121.png. Звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image123.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image125.png.

Приклад 6 

Дано: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image132.png.

Знайти: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image134.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image136.png.

Розв’язання:

а) Піднесемо обидві частини початкового виразу до квадрата: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image132.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image138.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image139.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image141.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image143.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image145.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image146.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image148.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image149.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image151.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image152.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image154.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image156.png.

В даному прикладі ми врахували, що якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image132.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image152.png відповідно до висновку пункту а).

Відповідь: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image158.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image160.png.

 

1.4. Формули додавання і віднімання аргументів

 

Для будь-яких дійсних чисел http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image001.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image003.png справедливі формули:

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image005.png;                              (15)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image007.png;                              (16)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image009.png;                              (17)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image011.png;                              (18)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image013.png;                                        (19)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image015.png.                                        (20)

Формула (19) справедлива при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image021.png відмінних від http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image023.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image025.png. Формула (20) справедлива при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image027.png відмінних від http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image023.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image025.png.

 

Приклад 7

 Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image029.png.

Розв’язання:

Для початку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image029.png можна розписати, як http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image031.png.

Скориставшись формулою (16), при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image033.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image035.png отримаємо

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image037.png.

Користуючись таблицею значень тригонометричних функцій, маємо

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image039.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image029.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image041.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image043.png.

 

Приклад 8

 Знайти http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image045.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image047.png.

Розв’язання:

Скористаємося формулою (20) і врахуємо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image049.png. Маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image051.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image053.png.

1.5. Основні формули тригонометрії

 

Крім тригонометричних формул, з якими ми познайомилися раніше, існує ряд формул, що їх відносять до основних формул тригонометрії, а саме:

 

*    Формули подвійного і потрійного аргументів:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image001.png;                                        (21)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image003.png;               (22)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image005.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image007.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image013.png;               (23)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image015.png;                                   (24)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image017.png;                                   (25)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image019.png.                                        (26)

*  Формули пониження степеня:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image021.png;                                        (27)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image023.png.                                        (28)

*  Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image025.png;                         (29)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image027.png;                         (30)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image029.png.                         (31)

     * Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image031.png;                         (32)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image033.png;                         (33)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image035.png;                         (34)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image043.png;                    (35)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image045.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image047.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image048.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image043.png.                    (36)

*   Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image050.png;                                             (37)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image052.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image054.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image056.png;                         (38)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image057.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image061.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image013.png.               (39)

*   Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image063.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image065.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image067.png;                               (40)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image068.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image070.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image056.png;                         (41)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image072.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image074.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image067.png;                              (42)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image076.png;                                        (43)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image078.png;                                        (44)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image080.png.                                        (45)

Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того, в якій координатній чверті знаходиться кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image082.png.

 

1.6. Формули зведення

 

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image001.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image003.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image005.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image007.png виражаються через значення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image013.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image015.png.

Для полегшення запам’ятовування формул зведення можна користуватися такими правилами:

1) якщо у формулах містяться кути http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image017.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image019.png, то найменування функції не змінюється; якщо ж у формулах містяться кути http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image021.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image023.png, то найменування функції змінюється на подібне (синус – на косинус, тангенс – на котангенс і навпаки);

2) щоб визначити знак у правій частині формули («+» або « –»), досить, вважаючи кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image025.png гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image027.png ставлять такий знак, який має зведена функція кутів http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image028.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image029.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image030.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image007.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image031.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image033.png.

 

Приклад 9

Звести до тригонометричної функції гострого кута:

а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image035.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image037.png.

Розв’язання:

Врахуємо, що період для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image009.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image011.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image039.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image040.png.

а)http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image042.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image044.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image046.png.

Відповідь: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image048.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image050.png.

 

Приклад 10

 Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image056.png.

 

Розв’язання:

Виконаємо перетворення, враховуючи періодичність:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image058.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image060.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image062.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image064.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image066.png.

 

 1.7. Приклади на доведення тригонометричних тотожностей

 

При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи:

1) Вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожних перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності;

2) вираз, який стоїть у лівій і правій частинах тотожності, приводять до одного і того ж виду;

3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю.

Приклад 11 

Довести тотожність:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image068.png.

Розв’язання:

Перетворимо ліву частину даної тотожності:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image071.jpg

 

Приклад 12 

Довести тотожність:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image076.png.

Розв’язання:

Позначимо ліву частину рівності А, а праву – В:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image078.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image080.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image082.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image084.png. Тотожність доведено.

 

Приклад 13 

Довести тотожність:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image087.png.

 

Розв’язання:

Спростимо ліву частину тотожності, яку потрібно довести:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image090.jpg .

Тепер спростимо праву частину даної тотожності:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image091.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image093.png.

Як бачимо, ліва і права частини однакові.

Тотожність доведено.

 

 1.8. Розв’язування прикладів на спрощення тригонометричних виразів

 

Приклад 14

Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image095.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image098.jpgВідповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image099.png.

 

 

 

 

 

Приклад 15

 Спростити та обчислити

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image101.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image103.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image105.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image107.png. Якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image109.png, тоді

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image110.png.

Відповідь: 1.

 

Приклад 16

 Спростити та обчислити

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image120.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image122.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image124.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image126.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image128.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image130.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image132.png.

Відповідь: 0,5.

Приклад 17

 Перетворити у добуток вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image136.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image138.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image140.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image142.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image144.png.

 

Приклад 18

Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image150.png.

Розв’язання:

За формулами зведення маємо

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image152.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image154.png;

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image156.png;…;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image158.png.

Тоді вираз можна записати в такий спосіб:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/1.JPG

Відповідь: 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 1.9. Властивості тригонометричних функцій

 

1.9.1. Парність і непарність тригонометричних функцій

 

Якщо при повороті навколо точки О на кутhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image001.png початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ, то при повороті на кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image003.png початковий радіус ОА перейде у радіус http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image005.png, симетричний ОВ відносно осі абсцис (рис. 16).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image008.jpg

Абсциси точок В і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image009.png рівні, а ординати рівні за модулем, але протилежні за знаком. Це означає, щоhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image013.png,

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image015.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image017.png. Таким чином, функції

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image023.png непарні, а функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image025.png парна.

 

Приклад 19

 Дослідити на парність функції: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image027.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image029.png; в) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image031.png.

 

 

Розв’язання:

а)http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image027.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image035.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.png функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image027.png є непарною.

б)http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image029.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image039.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.png функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image029.png є парною.

 

1.9.2. Періодичність тригонометричних функцій

 

Для періодичної функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image047.png виконується рівність http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image049.png, де Т – відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т – період, то пТ – період, де http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image051.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image053.png. Звичайно, говорячи про період, мають на увазі найменший додатний період, який називається основним. 

Основними періодами для тригонометричних функцій є: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image055.png для функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image025.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image057.png для функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image023.png.

У більш загальному вигляді можемо записати:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image059.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image061.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image063.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image065.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image067.png.

Якщо кути виражаються в радіанах, то:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image068.png – основний період функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image025.png;

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image070.png – основний період функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image023.png.

Відомо, що періоди функцій

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image072.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image074.png 

обчислюються за формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image076.png,

а періоди функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image078.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image080.png 

обчислюються за формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image082.png.

Якщо період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image047.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image084.png, а період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image086.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image088.png, то період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image090.png 

і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image092.png дорівнює найменшому числу, при діленні якого на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image084.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image088.png дістаємо цілі числа.

 

Приклад 20

 Знайти період функції: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image094.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image096.png;

в) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image098.png.

Розв’язання:

а) Період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image094.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image100.png.

б) Для того, щоб знайти період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image102.png, потрібно застосувати формули пониження степеня: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image103.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image105.png.

Період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image107.png, а отже і даної функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image109.png є число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image110.png.

в) Знаходимо періоди доданків.

Період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image112.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image114.png,

а період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image116.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image118.png.

Очевидно, що період заданої функції дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image120.png.

 

 

 

 

 1.10. Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image121.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image122.png та їх графіки

 

Таблиця 2

Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image121.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image122.png

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image124.jpg

 

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image121.png називається синусоїдою (рис. 17), а графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image122.png косинусоїдою (рис. 18).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image126.jpg

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image128.jpg

 

1.11. Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image129.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image130.png та їх графіки

 

Таблиця 3

Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image131.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image130.png

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image133.jpg

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image129.png називається тангенсоїдою (рис. 19), а графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image130.png котангенсоїдою (рис. 20).

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image135.jpg

 

1.12. Поняття оборотної та оберненої функцій

 

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оборотною.

У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.

Інакше кажучи, якщо функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image001.png є оборотною й число а належить до її області значень http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image003.png, то рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image005.png має розв’язок, причому єдиний.

Оберненою до даної оборотної функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image001.png називається така функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image007.png, яка кожному із множини значень функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image001.png ставить у відповідність єдине число x з області визначення.

Функції, обернені функціям http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image015.png на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометричними. 

Вони позначаються http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image023.png.

Тригонометричні функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png не є монотонними у всій області їх визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності.

 1.12.1. Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png та її графік

 

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png зростає і набуває всіх значень з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image029.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image031.png. Тому функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image033.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image034.png оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арксинусом і позначається http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png. Таким чином, арксинусом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image035.png з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png таке, що його синус дорівнює х. Математично це можна записати так: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image039.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image041.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image043.png.http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image046.jpg

 

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image047.png

 (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image049.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image051.png), http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image053.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image055.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image057.png.

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png, який зображений на рисунку 21, симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png відносно прямої http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image061.png.

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image063.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image065.png.

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image066.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png.

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image068.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png – непарна функція.

4) Функція зростаюча.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image070.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image071.png.

 

 1.12.2. Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png та її графік

 

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image074.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image076.png спадає і набуває всіх значень з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image029.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image031.png. Тому функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image078.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image079.png оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккосинусом і позначається http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png. Таким чином, арккосинусом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image080.png з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image081.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image082.png таке, що його косинус дорівнює х. Математично це можна записати так: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image083.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image085.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image087.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image088.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image090.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image092.png),

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image094.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image096.png і т.д.

Графік функції  зображено на рисунку 22. Цей графік симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png відносно прямої http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image099.jpg

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png

  1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image101.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image102.png
  2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image103.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image081.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image082.png
  3.  функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image105.png є функцією загального виду.

4) Функція є спадною.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image107.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image108.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image102.png.

 

 1.12.3. Функція  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.pngта її графік

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png на інтервалі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image111.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image113.pngзростає і набуває всіх числових значень .

Тому функція   http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png  оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арктангенсом .

Таким чином, арктангенсом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png з інтервалу  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image117.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.png таке, що його тангенс дорівнює х. Математично це можна записати так:  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image037.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image120.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image122.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image124.png

 (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image126.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image128.png),

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image130.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image132.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image134.png і т.д.

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image136.png зображений на рисунку 23. Цей графік симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image138.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.png, відносно прямої .

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image141.gif .

 

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png

 

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image142.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image144.png.

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image146.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.pngдана функція є непарною.

4) Функція  є зростаючою.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image148.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image150.png.

 

 1.12.4. Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/z_src/z_image023.png та її графік

 

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/z_src/z_image023.png на інтервалі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image155.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image157.png спадає і набуває усіх числових значень, оскільки .

Тому функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image154.png оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккотангенсом і позначається .

Таким чином, арккотангенсом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image153.png з інтервалуhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image161.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image157.png  таке, що його котангенс дорівнює х. Математично це можна записати так:   http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image164.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image165.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image166.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image168.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image170.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image171.png),

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image173.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image175.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image177.png і т.д.

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image179.png зображено на рисунку 24. Цей графік симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image181.png відносно прямої .

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image184.jpg

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image153.png

 

1)  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image142.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image144.png.

2)  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image185.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image161.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image162.png.

3) функція є функцією загального виду.

4) Функція  спадна.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image187.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image153.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image189.png.

Виходячи з означення тригонометричних функцій, запишемо декілька співвідношень між цими функціями:

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image151.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image144.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image190.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image191.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image194.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image196.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image192.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image193.png ,

для кутів http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image199.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image201.png    http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image202.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image197.png .

Аналогічні співвідношення зв’язують  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image204.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image206.png:

 

для всіх http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image212.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image214.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image215.png ,

для всіх http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image216.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image218.png ,

для всіх http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image220.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image222.png.

 1.13. Приклади перетворень виразів, що містять обернені тригонометричні функції

 

Приклад 21

Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image001.png, де http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image003.png.

Розв’язання:

Припустимо, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image005.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image007.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image009.png.

Треба знайти http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image011.png. Відомо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image013.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image015.png, а на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image019.png синус набуває лише невід’ємного значення. Тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image021.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image023.png.

 

Приклад 22

Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image027.png.

Розв’язання:

Припустимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image029.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image031.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image033.png.

Треба обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image035.png.

Маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image037.png, значить http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image039.png.

Оскільки далі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image041.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image043.png, звідки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image045.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image047.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image049.png.

За умовою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image033.png означає http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image051.png, а в інтервалі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image055.png маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image057.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image047.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image059.png.

Відповідь: 2.

 

Приклад 23

Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image065.png.

Розв’язання:

Припустимо, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image067.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image069.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image071.png.

Потрібно обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image073.png. Виразимо формулу косинуса подвійного кута через синус кута: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image075.png.

Тоді, підставляючи значення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image077.png, будемо мати http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image079.png. Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image081.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image083.png.

 

Приклад 24

 Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image085.png.

Розв’язання:

Позначимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image087.png, а http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image089.png, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image091.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image071.png, а

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image093.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image095.png. Потрібно обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image097.png. Для цього скористаємося формулою (18), отже

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image099.png.                         (*)

Згідно з формулою (21) маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image101.png.

Знайдемо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image103.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image105.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image107.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image109.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image111.png. За умовою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image071.png маємо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image113.png. Тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image109.png, а отже http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image115.png.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image117.png будемо шукати як у попередньому прикладі, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image118.png. Значить, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image120.png.

Знайдемо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image122.png з формули http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image124.png, підставляючи http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image093.png  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image126.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image128.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image130.png.

За умовою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image095.png маємо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image132.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image128.png.

Знайдені значення підставимо у рівність (*):

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image134.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image136.png.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14. Побудова графіків тригонометричних функцій

 

Приклад 25

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image142.png.

Розв’язання:

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png;

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image146.png (стиснути графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png вздовж осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png до осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image150.png у 2 рази);

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image152.png (зсунути графікhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image146.png вздовж осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image150.png на 1 одиницю вгору).

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image154.jpg

Приклад 26

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image155.png.

Розв’язання:

І спосіб: Перетворимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image157.png.

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image159.png;

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image161.png (зсуваємо графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image163.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image164.png вправо вздовж осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png);

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image166.png (стискаємо графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image168.png до осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png у 3 рази);

4) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image170.png (перевертаємо графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image172.png відносно осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png).

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image174.jpg

ІІ спосіб: Перетворимо функцію http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image155.png за допомогою фор-

мул зведення: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image175.png.

 

 

Приклад 27

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image179.png.

 

Розв’язання:

Спочатку будуємо графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png. Для того, щоб утворився графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image181.png, потрібно ту частину графіка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png, яка вище осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png, залишити без змін, а ту, що нижче осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png, симетрично відобразити на верхню півплощину.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image183.jpg

 

Приклад 28

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image184.png.

 

Розв’язання:

Будуємо графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image159.png. Ту частину побудованого графіка, яка в лівій півплощині відносно осі OY, відкидаємо, а ту, що в правій, – залишаємо і симетрично відображаємо на ліву півплощину.

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image187.jpg

 

Приклад 29

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image188.png.

Розв’язання

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image190.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image192.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image194.png.

Оскільки підмодулевий вираз це х, то розглянемо два випадки:

Якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image196.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image198.png.

Якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image200.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image202.png.

Шляхом елементарних перетворень будуємо відповідні графіки функцій.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image205.jpg

1.15. Тренувальні вправи

 

Завдання 1. У яких координатних чвертях закінчуються кути:

1. 80? і -80?;          3. 300? і -300?;     5. 1000? і -1000?;

2. 170? і -170?;     4. 250? і -250?;     6. 5200? і -5200?.

 

Завдання 2. Виразити в радіанах дані кути:

1. 20?;          4. 240?;          7. 135?;

2. 50?;          5. 330?;          8. 315?;

3. 150?;          6. 210?;          9. 120?.

 

Завдання 3. Виразити в градусах дані кути:

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image001.png          3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image003.png               5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image005.png

2. 3π;          4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image009.png          6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image011.png

 

Завдання 4. Визначити знак виразу без використання таблиць і калькулятора.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image013.png;          2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image015.png;      3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image017.png;      4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image019.png.

 

Завдання 5. Обчислити без використання таблиць і калькулятора значення тригонометричних виразів.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image021.png;                3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image023.png;               5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image025.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image027.png;          4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image029.png;          6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image031.png.

 

Завдання 6. Знайти значення інших тригонометричних функцій кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image033.png за такими даними:

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image035.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image037.png;         3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image039.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image041.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image043.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image045.png;          4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image047.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image049.png.

 

Завдання 7. Обчислити значення виразу.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image051.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image053.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image055.png ;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image057.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image059.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image061.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image063.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image065.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image067.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image069.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image071.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image073.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image075.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image077.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image079.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image081.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image083.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image085.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image087.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image089.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image091.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image093.png;

16.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image095.png;

17.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image097.png.

 

Завдання 8. Довести тотожності.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image099.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image101.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image103.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image105.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image107.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image109.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image111.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image113.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image115.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image117.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image119.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image121.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image123.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image125.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image127.png;

16.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image129.png;

17.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image131.png;

18.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image133.png;

19.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image135.png;

20.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image137.png.

 

Завдання 9. Спростити вирази.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image139.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image141.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image143.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image145.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image147.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image149.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image151.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image153.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image155.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image157.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image159.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image161.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image163.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image165.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image167.png.

 

Завдання 10. Перетворити у добуток.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image169.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image171.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image173.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image175.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image177.png.

 

Завдання 11. Дослідити функції на парність (непарність).

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image179.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image181.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image183.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image185.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image187.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image189.png;

7. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image191.png.

 

Завдання 12. Знайти основний період функції.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image193.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image195.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image197.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image199.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image201.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image203.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image205.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image207.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image209.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image211.png.

Завдання 13. Побудувати графік функції.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image213.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image215.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image217.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image219.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image221.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image223.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image225.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image227.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image229.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image231.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image233.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image235.png.

2. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

2.1. Найпростіші тригонометричні рівняння

 

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image001.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image003.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image005.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image007.png.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image009.png тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image012.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image014.png). Корені рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image011.png можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image016.png з прямою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image018.png.

Всі розв’язки рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image011.png записуються у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image020.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png. Однак в трьох таких випадках, колиhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image024.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image026.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image028.png, розв’язки рівнянь зображуються такими формулами:

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image030.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image032.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image035.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image037.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image041.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image043.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image044.png, то рівняння має розв’язок тільки при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image046.png. Корені рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image043.png можна розглядати як абсциси точок перетину косинусоїди http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image047.png з прямою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image018.png.

Всі розв’язки рівняння 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image043.png записуються у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image049.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Для окремих випадків http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image051.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image052.png маємо:

а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image054.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image056.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image058.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image060.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image056.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image062.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

в) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image064.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image056.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image066.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Всі корені рівняння

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image068.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image069.png задаються формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image071.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

У випадку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image073.png розв’язок записується у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image074.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Всі корені рівняння 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image075.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image076.png визначаються співвідношенням http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image077.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png

При http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image079.png розв’язок має вигляд http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image080.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image081.png.

При використанні формул для розв’язування тригонометричних рівнянь враховують, що

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image082.png;               http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image084.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image086.png;               http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image088.png.

Розглянемо на прикладах найпростіші тригонометричні рівняння.

 

Приклад 1

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image090.png.

Розв’язання:

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image092.png, то скористаємось формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image020.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image094.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image096.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image097.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image099.png.

 

Приклад 2

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image108.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image110.png (http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image112.png), отже, рівняння розв’язків не має.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image114.png.

Приклад 3

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image128.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image128.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image130.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image132.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image134.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image136.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image138.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image139.png.

 

Приклад 4

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image143.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image145.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image146.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image150.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image152.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image153.png,    http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image155.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image156.png,   http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image155.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image158.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image161.png

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image163.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image165.png.

 

Приклад 5

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image167.png.

 

 

Розв’язання:

Запишемо дане рівняння у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image169.png, тоді скористаємось формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image071.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image081.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image171.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image173.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image175.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image176.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image175.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image178.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image182.png.

 

Приклад 6

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image201.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image203.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image204.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image205.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image208.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image210.png

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image212.png.

 

Відзначимо, що при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image216.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image217.png загальними формулами для тригонометричних рівнянь також можна користуватися, вони дають правильний результат, однак найчастіше ці формули не мають компактного вигляду. Наприклад, якщо використовувати окремі випадки, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image218.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image220.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png. Якщо ж скористатися спільною формулою, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image218.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image222.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image224.png.

Покажемо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image220.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image225.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image226.png – це та сама множина.

Дійсно, при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image227.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image229.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png; при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image231.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image233.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png.

Таким чином, множини розв’язків, отримані двома способами, збігаються.

Зауваження 

При розв’язуванні тригонометричних рівнянь з однаковим успіхом можна користуватися і радіанною, і градусною мірами. Так, наприклад, відповідь у прикладі № 5, яка записана за допомогою радіанної міри http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image235.png, можна записати, використовуючи градусну міру, так: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image237.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image239.png . При цьому слід знати, що можна використовувати або тільки радіанну, або тільки градусну міру, тобто не можна використовувати в тому самому розв’язку частково радіанну і частково градусну міру.

 

Приклад 8

Вказати найменший додатний розв’язок рівняння (у градусах): http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image241.png.

 

Розв’язання:

Дане рівняння є дробово-раціональним, тому його можна записати у вигляді системи: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image241.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image243.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image245.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image247.png. Звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image249.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image251.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image253.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image255.png, тобто підходить лише http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image257.png. Таким чином, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image259.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image261.png.

Найменший додатний розв’язок рівняння при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image262.png буде http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image264.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image266.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image268.png.

 

 2.2. Загальний принцип розв’язування тригонометричних рівнянь

 

Цей принцип полягає в тому, що всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, виражають через яку-небудь одну тригонометричну функцію, яка залежить від одного і того ж аргументу. Розглянемо даний принцип на прикладах:

 

Приклад 9

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image001.png.

Розв’язання:

Замінивши http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image003.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image005.png,

отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image007.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image009.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image013.png.

Замінимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image015.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image017.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image019.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image023.png

Повертаючись до заміни, отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image025.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image027.png.

Перше рівняння системи є найпростішим тригонометричним і його розв’язком буде http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image029.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image031.png. У другому рівнянні системи права його частина http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image033.png, тому рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image035.png розв’язків не має.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image036.png.

 

Приклад 10

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image046.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image048.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image049.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image057.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image058.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image060.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image062.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image064.png.

 

 

 

 

 

 2.3. Розв’язування тригонометричних рівнянь методом групування

 

Шляхом групування доданків рівняння зводяться до вигляду, коли ліва частина розкладена на множники, а права рівна нулю.

Приклад 11

 Розв’язати рівняння

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image080.png.

Розв’язання:

Згрупуємо доданки в лівій і правій частинах рівняння: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image082.png. За формулою перетворення суми синусів, а також за формулою косинуса подвійного кута, отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image084.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image086.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image088.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image090.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image092.png. Звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image094.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image096.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image098.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image100.png

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image102.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image104.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image106.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image108.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image110.png.

 

 

 

 

Приклад 12

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image114.png.

Розв’язання:

За формулою різниці квадратів розпишемо ліву частину рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image116.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image118.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image120.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image122.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image124.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image126.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image127.png

 

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image131.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image133.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image135.png.

 

2.4. Рівняння, які розв’язуються пониженням степеня

 

Якщо тригонометричні рівняння містять http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image001.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image003.png в парному степені, то застосовують формули пониження степеня:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image005.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image007.png.

Приклад 13

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image009.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image015.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image021.png 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image023.png.

Кожний множник отриманого рівняння прирівнюємо до нуля і знаходимо його корені: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image025.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image027.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image029.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image031.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image033.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image035.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image041.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image043.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image045.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image047.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image045.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image049.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image057.png.

 

2.5. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь, а також рівнянь, які зводяться до однорідних тригонометричних

 

Однорідні тригонометричні рівняння – це рівняння виду

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image059.png                         (1)

і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image061.png.                         (2)

Розв’язуються вони шляхом ділення обох частин рівняння на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image063.png для рівняння виду (1) і на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image065.png для рівняння виду (2).

 

Приклад 14

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image067.png.

Розв’язання:

Поділимо обидві частини рівняння на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image069.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image070.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image072.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image074.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image076.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image078.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image080.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image082.png

Перевіримо, чи http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image084.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image086.png не є коренем початкового рівняння: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image088.png. Отже http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image090.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image091.png не є коренем нашого рівняння.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image092.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image094.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image096.png.

 

Приклад 15

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image100.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image102.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image103.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image105.png

Розв’яжемо перше рівняння сукупності: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image107.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image109.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image111.png.

Друге рівняння сукупності є однорідним тригонометричним, тому поділимо обидві частини рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image112.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image114.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image115.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image117.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image119.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image121.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image123.png.

Оскільки права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину розглянути як функцію, то графічно розв’язками рівняння будуть абсциси точок перетину графіка функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image124.png з віссю ОХ.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image128.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image130.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image132.png.

 

 

 

 

 

2.6. Розв’язування тригонометричних рівнянь за допомогою універсальної підстановки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png

 

При розв’язуванні рівнянь виду http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image136.png зручно застосову-вати універсальну підстановку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png. Тоді функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image138.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image139.png нескладно виражаються через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image140.png за такими формулами:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image142.png,              http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image144.png.

Оскільки використання універсальної підстановки можливе лише при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image146.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image148.png, то потрібно перевіряти, чи не є числа виду http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image149.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image151.png розв’язками початкового рівняння.

 

Приклад 16

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image152.png.

Розв’язання:

Зробимо підстановку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image154.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image156.png.

Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image158.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image160.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image162.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image164.png.

Значить http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image166.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image168.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image170.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image171.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image173.png.

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image174.png

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image176.png , http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image177.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image179.png.

 

Приклад 17

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image181.png.

Розв’язання:

Можна замінити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image183.png через х, а потім зробити підстановку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image185.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image187.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image189.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image191.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image193.png. Повернувшись до підстановки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image195.png (а) або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image197.png (б), розв’яжемо по черзі рівняння (а) і (б):

(а): http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image195.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image199.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image201.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image203.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image204.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image206.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image208.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image209.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image208.png;

(б): http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image197.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image211.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image214.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image204.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image216.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image218.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png.

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image174.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image176.png:http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image220.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image222.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image224.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image226.png.

 

 

 

 

 

 

 

 

 2.7. Метод введення допоміжного кута

 

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image001.png,

де http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image003.png,              http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image005.png.

У цьому випадку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image007.png називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом.

Сенс методу полягає в тому, що деяку величину подають як тригонометричну функцію відповідного аргументу http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image007.png, а потім роблять тригонометричні перетворення.

 

Приклад 18

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image009.png.

Розв’язання:

1-й спосіб:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image015.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image023.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image026.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png.

У процесі розв’язування ми врахували той факт,

що якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image028.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image030.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image032.png можна покласти таким, що дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image033.png.

2-й спосіб:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image035.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image043.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image044.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image045.png.

 

Приклад 19

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image047.png.

Розв’язання:

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image049.png, то поділимо обидві частини нашого рівняння на 2 і введемо допоміжний кут: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image057.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image060.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png. Даний розв’язок можна розписати як http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image062.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image064.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png, якщо п – непарне або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image066.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image068.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png, якщо п – парне.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image070.png.

 

 

 

 

 2.8. Розв’язування тригонометричних рівнянь способом підстановки

 

У деяких раніше розглянутих рівняннях застосовувалася заміна змінної, коли ці рівняння зводилися до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функцій. Розглянемо більш складні випадки заміни змінних.

 

Приклад 20

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image076.png.

Розв’язання:

Скористаємося формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image078.png, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image076.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image080.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image082.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image084.png. Зробимо заміну http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image086.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image088.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image090.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image092.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image094.png Повернемось до заміни:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image096.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image098.png   Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image100.png.

Приклад 21

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image102.png.

Розв’язання:

Позначивши http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image104.png, дістанемо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image106.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image108.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image111.png.

Тоді початкове рівняння запишеться у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image113.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image115.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image117.png Повернемось до заміни:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image119.png                                             (1)

або     http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image121.png.                                             (2)

Найпростішим методом розв’язування рівняння (1) є метод введення допоміжного кута:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image123.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image125.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image127.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image129.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image131.png.

Друге рівняння сукупності (2) розв’язків не має, оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image132.png, а число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image134.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image136.png.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9. Розв’язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих способів

 

Приклад 22

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image005.png.

Розв’язання:

Наведемо дві форми запису розв’язання вихідного рівняння.

 

І форма запису розв’язання.

ОДЗ: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image007.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image013.png.

Знаходимо значення х, що задовольняють рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image015.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image017.png; якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image020.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image022.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image024.png; якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image026.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image028.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image030.png.

Оскільки через ОДЗ http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image013.png, то серія розв’язків http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image022.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image024.png непридатна, вона не входить в ОДЗ, і, відповідно, є лише друга серія розв’язків http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image028.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image030.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image032.png.

 

ІІ форма запису розв’язання.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image005.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image034.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image036.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image038.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image030.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image032.png.

 

Приклад 23

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image041.png. У відповіді зазначте кількість розв’язків на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image043.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image045.png.

Розв’язання:

Скористаємось формулами зведення для правої частини рівняння. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image047.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image049.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image057.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image061.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image063.png

Для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image065.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image067.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image068.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image070.png.

Отже розв’язків на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image072.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image067.png два.

 

Відповідь: 2.

 

Приклад 24

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image073.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image075.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image076.png 

Перші дві тригонометричні нерівності нашої комбінованої системи розв’язуємо з урахуванням властивостей тригонометричних функцій. Тоді маємо: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image078.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image080.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image082.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image084.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image086.png, оскільки друга серія розв’язків зі знаком «–» не задовольняє нерівність http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image087.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image089.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image090.png.

 

 

 

Приклад 25

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image102.png.

Розв’язання:

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image104.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image106.png, то

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image108.png. Знак «=» з урахуванням наведених нерівностей може мати місце тільки у тому випадку, коли

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image112.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image114.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image116.png).

Відповідь:http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image118.png.

 

 2.10. Розв’язування тригонометричних рівнянь з параметрами та завдань із застосуванням тригонометричних функцій підвищеної складності

 

Приклад 26

Визначити кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image126.png має розв’язки.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image128.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image129.png. За властивістю функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image131.png  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image106.png, тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image133.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image137.png. Цілими значеннями, які належать отриманому проміжку, є:

 –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. Їх кількість – 9.

Відповідь: 9.

 

Приклад 27

Розв’яжіть систему рівнянь http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image147.png 

У відповідь запишіть добуток http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image149.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image151.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image153.png – розв’язок системи рівнянь.

Розв’язання:

Згідно з властивостями тригонометричних функцій, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image155.png та http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image157.png, отримаємо: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image159.pngзвідки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image161.png Дана система нерівностей виконується лише при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image163.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image164.png.

Тоді добуток http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image166.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image168.png.

 

Приклад 28

 Зазначте кількість розв’язків рівняння

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image189.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image191.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image193.png.

Розв’язання:

ОДЗ: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image194.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image196.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image198.png.

Кожний множник вихідного рівняння прирівняємо до нуля:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image199.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image201.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image203.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image205.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image209.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image211.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image213.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image215.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image217.png.

Отже загальний розв’язок можна записати у вигляді сукупності

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image218.png А, враховуючи ОДЗ, коренями на проміжку

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image220.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image193.png є http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image222.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image224.png.

Відповідь: 2 розв’язки.

 

Приклад 29

Знайдіть усі дійсні значення параметра а, при яких рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image244.png має розв’язок.

Розв’язання:

Замінимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image246.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image248.png, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image250.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image252.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image254.png, звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image256.png.

Отже, рівняння набуває вигляду http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image258.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image260.png. Розв’яжемо квадратне рівняння відносно змінної http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image248.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image262.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image264.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image266.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image268.png

Зробимо оцінку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image270.png, для цього розділимо обидві частини рівності http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image271.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image273.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image275.png; за допомогою введення допоміжного кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image277.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image279.png (І). Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image281.png, то й http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image283.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image285.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image287.png, або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image289.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image291.png не задовольняє наші умови, тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image293.png, а оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image289.png, то і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image295.png, і з рівності (І) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image297.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image299.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image301.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image303.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image304.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image306.png.

Відповідь: для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image307.png розв’язків немає;

для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image309.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image311.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image312.png.

 

Приклад 30

Зазначте усі дійсні значення параметра а, при яких рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image331.png має розв’язки.

Знайдіть ці розв’язки.

Розв’язання:

Знайдемо ОДЗ:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image333.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image335.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image336.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image339.png

Оскільки перше й друге значення однакові, то в ОДЗ входять будь-які х, окрім http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image341.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image343.png (І) і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image344.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image346.png (ІІ).

Перетворимо вихідне рівняння за допомогою тригонометричних формул: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image347.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image349.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image351.png.

Врахувавши ОДЗ: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image353.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image355.png

Описание: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image357.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image359.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image361.png для будь-яких а, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image363.png; згідно з формулою пониження степеня

маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image365.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image367.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image369.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image371.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image373.png, то й http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image375.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image377.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image379.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image381.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image383.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image385.png Крім того, згідно з (І) і (ІІ), отримане рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image371.png має розв’язок, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image387.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image389.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image391.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image393.png

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image371.png для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image395.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image397.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image399.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image401.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image403.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image405.png.

Відповідь: для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image406.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image408.png розв’язків немає.

для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image395.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image397.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image410.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image405.png.

 

2.11. Тренувальні вправи

 

Завдання 1. Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image001.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image003.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image005.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image007.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image009.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image011.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image013.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image015.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image017.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image019.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image021.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image023.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image025.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image027.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image029.png.

16.  Визначити найменший розв’язок рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image031.png, який належить проміжку (20; 60).

 

Завдання 2. Розв’язати рівняння способом приведення до однієї з функцій.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image033.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image035.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image037.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image039.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image041.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image043.png.

 

Завдання 3. Розв’язати однорідні рівняння і ті, що до них зводяться.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image045.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image047.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image049.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image051.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image053.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image055.png.

Завдання 4. Розв’язати рівняння за допомогою універсальної підстановки.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image057.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image059.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image061.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image063.png.

 

Завдання 5. Розв’язати рівняння методом введення допоміжного аргументу.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image065.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image067.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image069.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image071.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image073.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image075.png.

 

Завдання 6. Розв’язати рівняння, застосовуючи формули пониження степеня.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image077.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image079.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image081.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image083.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image085.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image087.png.

7. Вказати кількість розв’язків рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image089.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image091.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image093.png.

 

Завдання 7. Розв’язати рівняння, використовуючи заміну змінної.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image095.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image097.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image099.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image101.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image103.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image105.png.

 

Завдання 8. Розв’язати тригонометричні рівняння, використовуючи різні методи.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image107.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image109.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image111.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image113.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image115.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image117.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image119.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image121.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image123.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image125.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image127.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image129.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image131.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image133.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image135.png;

16.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image137.png;

17.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image139.png;

18.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image141.png;

19.  Зазначте кількість розв’язків рівняння

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image143.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image145.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image146.png;

20.  Зазначте кількість розв’язків рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image147.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image149.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image150.png;

21.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image152.png;

22.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image154.png;

23.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image156.png;

24.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image158.png;

25.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image160.png;

26.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image162.png;

27.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image164.png;

28.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image166.png;

29.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image168.png;

30.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image170.png.

 

 

Список використаної літератури

 

  1. Алєксєєв В. М. Математика. Довідковий повторювальний курс : навч. посібник / Алєксєєв В. М., Ушаков Р. П. ; за ред. М. Й. Ядренка. – К. : Вища шк., 1992. – 295 с.
  2. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Дидактичні матеріали з математики (навчальний посібник для студентів ВНЗ І-ІІ р.а.) – К.: Вища школа, 2001.
  3. Бондаренко М. Ф. Математика для вступників до вузів : навч. посібник / М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарєв, О. Ф. Мельников та інші. – Харків : «Компанія СМІТ», 2002. – 1120 с.
  4. Гальперіна А. Р. Математика. Типові тестові завдання : збірник /

А. Р. Гальперіна, О. Я. Михєєва. – Х. : Веста, 2009. – 128 с. + Додат.

(16 с.). – (Серія журналу «Вісник ТІМО»).

  1. Егоров В. К. Сборник задач по математике для поступающих в вузы /В. К. Егоров, В. В. Зайцев, Б. А. Кордомский ; под ред. М. И. Сканави. – М. : Высшая школа, 1992. – 528 с.
  2. Литвиненко В. И. Практикум по элементарной математике / В. И. Литвиненко. – М. : Просвещение, 1991. – 352 с.
  3. Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике : домашний репетитор / Письменный Д. Т. – М. : Рольф, 1999. – 288 с.
  4. Роєва Т.Г., Адруг Л.М. Математика. Інтегровний курс. Тематичне оцінювання. 10, 11 кл. – К.: Країна мрій, 2007.
  5. Слєпкань З.І., Грохольська А.В. Збірник задач з алгебри і початків аналізу, 10-11 кл. – К.: Підручники і посібники, 2003.
  6. Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики : навчальний посібник / Титаренко О. М. – Харків : ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005. – 368 с.
  7.  Титаренко О. 5770 задач з математики з відповідями. / Титаренко О. М. – Харків : ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005. – 336 с.

 

1

 

docx
Додано
30 вересня
Переглядів
120
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку