15 квітня о 18:00Вебінар: Інтегрований STEM-тиждень як ресурс формування цілісності сприйняття світу

Навчальний посібник з математики "Тригонометрія"

Про матеріал
Даний посібник присвячений важливому розділу «Тригонометрії». Посібник складається з двох розділів. Теоретичний матеріал в кожному підрозділі супроводжується розв'язанням типових прикладів, що робить роботу практичним спеціалізованим посібником курсу «Тригонометрії».
Перегляд файлу

 

 

1.ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ

 

1.1. Радіанна система вимірювання кутів і дуг

 

Кут – це геометрична фігура, утворена двома променями, які виходять з однієї точки, названої вершиною кута (рис. 9). Слово “кут” заміняють символом : АОВ=ВОА=α.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image004.jpg

 Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Промінь можна обертати навколо своєї початкової точки у двох напрямках: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним.

Відповідно до цього кути і дуги, отримані обертанням променя проти годинникової стрілки, вважаються додатними, а кути і дуги, отримані обертанням променя за годинниковою стрілкою, вважаються від’ємними (рис. 10).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image006.jpg

Якщо сторони кута утворюють пряму, то такий кут називається розгорнутим. 

Якщо промінь робить повний оберт навколо своєї початкової точки, то отриманий кут називається повним.

Осі абсцис (Ох) і ординат (Оу) ділять повний кут (коло) на чотири чверті (I - IV), або чотири квадранта (рис. 11).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image008.jpg

Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут в 1 градус – це кут, що його опише промінь, зробивши 1/360 частину повного оберту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки.

1/60 частина градуса називається хвилиною (позначка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image009.png).

1/60 частина хвилини називається секундою (позначка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image011.png).

Центральним кутом у колі називається кут, вершина якого знаходиться в його центрі.

Кут в 1 радіан – це центральний кут, який спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола. Слово “радіан” звичайно не пишуть. Таким чином, якщо |АВ|=R, |OA|=|OB|=R, то АОВ=α=1, тобто кут α дорівнює одному радіану (рис. 12).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image014.jpg

Оскільки довжина всього кола дорівнює 2πR, то повний кут складає http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image015.png радіан, тому що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image017.png. Оскільки повний кут дорівнює 360˚, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image019.png360˚. Звідси 1 радіан = http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image021.png(57 градусів, 17 хвилин, 45 секунд).

Таким чином, користуючись співвідношеннями http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image023.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image027.png, можна переходити від градусів до радіанів і навпаки.

Приклад 1

 а) Виразити в радіанах кут у 45°;

б) Виразити в градусах кут у 3 радіана.

Розв’язання:

а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image029.png

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image031.png

 1.2. Визначення тригонометричних функцій

 

Розглянемо спочатку тригонометричні функції гострого кута, які можна ввести за допомогою прямокутного трикутника (рис. 13).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image038.jpg

Нехай у прямокутному трикутнику ACB = 90˚ , |BC|=a, |AC|=b, |AB|=c.

 

Синусом кута називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image045.png 

Косинусом кута називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image047.png 

Тангенсом кута називається відношення протилежного катета до прилеглого:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image049.png 

Котангенсом кута називається відношення прилеглого катета до протилежного:

Розглянемо тригонометричні функції довільних значень аргументу.

Маємо прямокутну систему координат x0y на площині і коло одиничного радіуса, що має центр у початку координат (рис. 14).

Таке коло називається одиничним колом чи тригонометричним колом. 

Синусом кута  називається відношення ординати точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до радіуса.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image068.jpg

Косинусом кута називається відношення абсциси точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до радіуса.

Таким чином, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image071.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image072.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image074.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image076.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image078.png.http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image080.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image082.png можна розглядати як проекції на осі координат одиничного вектора http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image084.png. Таким чином, можна стверджувати, що синус кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image086.png дорівнює ординаті, а косинус – абсцисі вектора одиничної довжини, що виходить з початку координат і утворює з додатним напрямом осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image088.png. Оскільки  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image092.png, то

співвідношення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image094.png                    (1) називається основною тригонометричною тотожністю.

Тангенсом кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image096.png називається відношення ординати точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до її абсциси: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image069.png.                        http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image097.png                         (2)

 

Котангенсом кута  називається відношення абсциси точки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image062.png до її ординати: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image069.png.                                            http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image099.png                          (3)

 

Обернені тригонометричні функції відповідно позначаються:

arcsin, arccos, arctg, arcctg.

 

 

Знаки тригонометричних функцій наведені на рис. 15.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image116.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image119.jpg

 

Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (табл. 1).

 

Таблиця 1

Значення тригонометричних функцій для деяких значень аргументу

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image121.jpg

 

Символ  (нескінченність) означає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image122.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image124.png при відповідних значеннях аргументу не визначені і набувають великих значень за модулем.

 

Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу

З означення тангенса та котангенса кута, ми отримали тригонометричні тотожності  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image130.png ;  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image128.png.

Перемноживши їх між собою, отримаємо:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image132.png.               (6)

Розділивши почленно основну тригонометричну тотожність (1) на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image134.png, отримаємо:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image136.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image138.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image140.png                    (7)

Розділимо почленно http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image142.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image094.png і отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/8_src/8_image144.png     .                                        (8)

 

1.3. Вираження одних тригонометричних функцій через інші

 

З основної тригонометричної тотожності випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image001.png, тоді

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image003.png,                    (9)

а отже http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image005.png.                                        (10)

У формулах (9) і (10) знаки «+» або «–» вибираються в залежності від того, у якій чверті закінчується кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image007.png. Так, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image009.png закінчується в І або ІІ чверті, то беремо знак «+», якщо в ІІІ або ІV чверті, то знак «–» у формулі (9). У формулі (10) для кутів, що закінчуються в І або ІV чвертях, потрібно взяти знак «+», а якщо кути закінчуються в ІІ або ІІІ чвертях, то знак «–».

Виразимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image010.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image012.png з формули (8):

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image014.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image016.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image018.png.                    (11)

З формули (6) випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image020.png, тоді формулу (11) можна записати через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image022.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image024.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image026.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image028.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image029.png.          (12)

З формули (7) слідує, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image031.png,                    (13)

або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image033.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image012.png буде мати вигляд

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image035.png.          (14)

 

Приклад 2

Визначити знаки виразів: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image037.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image039.png.

Розв’язання:

Зазначимо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image041.png, але, з іншого боку, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image043.png радіан. Тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image045.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image047.png. Звідси кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image049.png закінчується в ІІ чверті, а кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image051.png закінчується в ІV чверті. Тоді за таблицею знаків тригонометричних функцій, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image053.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image055.png.

Відповідь: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image057.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image058.png.

 

Приклад 3

 Обчислити значення усіх тригонометричних функцій кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image070.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image071.png,.http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image073.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image075.png

Розв’язання:

Застосовуючи формули (8), (12), (10), (6), (4), (5), маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image077.png, звідки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image079.png, а оскільки у другій чверті синус додатний, то знаходимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image081.png. Далі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image083.png (оскільки косинус від’ємний у другій чверті), http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image085.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image081.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image091.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image093.png .

Приклад 4

Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image099.png.

Розв’язання:

Розкладемо суму кубів і, застосовуючи формулу (1), дістаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image101.png

Далі маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image103.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image105.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image107.png.

Приклад 5

 Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image109.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image111.png.

Розв’язання:

З основної тригонометричної тотожності випливає, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image113.png.

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image111.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image115.png, отже кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image117.png закінчується в ІV чверті, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image119.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image121.png. Звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image123.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image125.png.

Приклад 6 

Дано: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image132.png.

Знайти: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image134.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image136.png.

Розв’язання:

а) Піднесемо обидві частини початкового виразу до квадрата: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image132.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image138.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image139.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image141.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image143.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image145.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image146.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image148.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image149.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image151.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image152.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image154.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image156.png.

В даному прикладі ми врахували, що якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image132.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image152.png відповідно до висновку пункту а).

Відповідь: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image158.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/83_src/83_image160.png.

 

1.4. Формули додавання і віднімання аргументів

 

Для будь-яких дійсних чисел http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image001.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image003.png справедливі формули:

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image005.png;                              (15)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image007.png;                              (16)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image009.png;                              (17)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image011.png;                              (18)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image013.png;                                        (19)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image015.png.                                        (20)

Формула (19) справедлива при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image021.png відмінних від http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image023.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image025.png. Формула (20) справедлива при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image027.png відмінних від http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image023.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image025.png.

 

Приклад 7

 Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image029.png.

Розв’язання:

Для початку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image029.png можна розписати, як http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image031.png.

Скориставшись формулою (16), при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image033.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image035.png отримаємо

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image037.png.

Користуючись таблицею значень тригонометричних функцій, маємо

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image039.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image029.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image041.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image043.png.

 

Приклад 8

 Знайти http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image045.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image047.png.

Розв’язання:

Скористаємося формулою (20) і врахуємо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image049.png. Маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image051.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/84_src/84_image053.png.

1.5. Основні формули тригонометрії

 

Крім тригонометричних формул, з якими ми познайомилися раніше, існує ряд формул, що їх відносять до основних формул тригонометрії, а саме:

 

*    Формули подвійного і потрійного аргументів:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image001.png;                                        (21)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image003.png;               (22)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image005.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image007.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image013.png;               (23)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image015.png;                                   (24)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image017.png;                                   (25)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image019.png.                                        (26)

*  Формули пониження степеня:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image021.png;                                        (27)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image023.png.                                        (28)

*  Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image025.png;                         (29)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image027.png;                         (30)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image029.png.                         (31)

     * Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image031.png;                         (32)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image033.png;                         (33)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image035.png;                         (34)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image043.png;                    (35)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image045.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image047.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image048.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image043.png.                    (36)

*   Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image050.png;                                             (37)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image052.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image054.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image056.png;                         (38)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image057.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image061.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image013.png.               (39)

*   Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image063.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image065.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image067.png;                               (40)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image068.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image070.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image056.png;                         (41)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image072.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image074.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image067.png;                              (42)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image076.png;                                        (43)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image078.png;                                        (44)

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image080.png.                                        (45)

Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того, в якій координатній чверті знаходиться кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/85_src/85_image082.png.

 

1.6. Формули зведення

 

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image001.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image003.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image005.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image007.png виражаються через значення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image013.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image015.png.

Для полегшення запам’ятовування формул зведення можна користуватися такими правилами:

1) якщо у формулах містяться кути http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image017.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image019.png, то найменування функції не змінюється; якщо ж у формулах містяться кути http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image021.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image023.png, то найменування функції змінюється на подібне (синус – на косинус, тангенс – на котангенс і навпаки);

2) щоб визначити знак у правій частині формули («+» або « –»), досить, вважаючи кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image025.png гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image027.png ставлять такий знак, який має зведена функція кутів http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image028.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image029.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image030.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image007.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image031.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image033.png.

 

Приклад 9

Звести до тригонометричної функції гострого кута:

а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image035.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image037.png.

Розв’язання:

Врахуємо, що період для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image009.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image011.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image039.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image040.png.

а)http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image042.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image044.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image046.png.

Відповідь: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image048.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image050.png.

 

Приклад 10

 Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image056.png.

 

Розв’язання:

Виконаємо перетворення, враховуючи періодичність:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image058.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image060.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image062.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image064.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image066.png.

 

 1.7. Приклади на доведення тригонометричних тотожностей

 

При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи:

1) Вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожних перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності;

2) вираз, який стоїть у лівій і правій частинах тотожності, приводять до одного і того ж виду;

3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю.

Приклад 11 

Довести тотожність:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image068.png.

Розв’язання:

Перетворимо ліву частину даної тотожності:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image071.jpg

 

Приклад 12 

Довести тотожність:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image076.png.

Розв’язання:

Позначимо ліву частину рівності А, а праву – В:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image078.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image080.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image082.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image084.png. Тотожність доведено.

 

Приклад 13 

Довести тотожність:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image087.png.

 

Розв’язання:

Спростимо ліву частину тотожності, яку потрібно довести:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image090.jpg .

Тепер спростимо праву частину даної тотожності:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image091.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image093.png.

Як бачимо, ліва і права частини однакові.

Тотожність доведено.

 

 1.8. Розв’язування прикладів на спрощення тригонометричних виразів

 

Приклад 14

Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image095.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image098.jpgВідповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image099.png.

 

 

 

 

 

Приклад 15

 Спростити та обчислити

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image101.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image103.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image105.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image107.png. Якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image109.png, тоді

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image110.png.

Відповідь: 1.

 

Приклад 16

 Спростити та обчислити

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image120.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image122.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image124.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image126.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image128.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image130.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image132.png.

Відповідь: 0,5.

Приклад 17

 Перетворити у добуток вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image136.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image138.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image140.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image142.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image144.png.

 

Приклад 18

Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image150.png.

Розв’язання:

За формулами зведення маємо

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image152.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image154.png;

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image156.png;…;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/86_image158.png.

Тоді вираз можна записати в такий спосіб:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/86_src/1.JPG

Відповідь: 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 1.9. Властивості тригонометричних функцій

 

1.9.1. Парність і непарність тригонометричних функцій

 

Якщо при повороті навколо точки О на кутhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image001.png початковий радіус ОА переходить у радіус ОВ, то при повороті на кут http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image003.png початковий радіус ОА перейде у радіус http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image005.png, симетричний ОВ відносно осі абсцис (рис. 16).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image008.jpg

Абсциси точок В і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image009.png рівні, а ординати рівні за модулем, але протилежні за знаком. Це означає, щоhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image013.png,

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image015.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image017.png. Таким чином, функції

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image023.png непарні, а функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image025.png парна.

 

Приклад 19

 Дослідити на парність функції: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image027.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image029.png; в) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image031.png.

 

 

Розв’язання:

а)http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image027.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image035.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.png функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image027.png є непарною.

б)http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image029.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image039.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image033.png функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image029.png є парною.

 

1.9.2. Періодичність тригонометричних функцій

 

Для періодичної функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image047.png виконується рівність http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image049.png, де Т – відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т – період, то пТ – період, де http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image051.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image053.png. Звичайно, говорячи про період, мають на увазі найменший додатний період, який називається основним. 

Основними періодами для тригонометричних функцій є: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image055.png для функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image025.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image057.png для функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image023.png.

У більш загальному вигляді можемо записати:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image059.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image061.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image063.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image065.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image067.png.

Якщо кути виражаються в радіанах, то:

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image068.png – основний період функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image025.png;

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image070.png – основний період функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image023.png.

Відомо, що періоди функцій

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image072.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image074.png 

обчислюються за формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image076.png,

а періоди функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image078.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image080.png 

обчислюються за формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image082.png.

Якщо період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image047.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image084.png, а період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image086.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image088.png, то період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image090.png 

і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image092.png дорівнює найменшому числу, при діленні якого на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image084.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image088.png дістаємо цілі числа.

 

Приклад 20

 Знайти період функції: а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image094.png; б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image096.png;

в) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image098.png.

Розв’язання:

а) Період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image094.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image100.png.

б) Для того, щоб знайти період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image102.png, потрібно застосувати формули пониження степеня: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image103.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image105.png.

Період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image107.png, а отже і даної функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image109.png є число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image110.png.

в) Знаходимо періоди доданків.

Період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image112.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image114.png,

а період функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image116.png дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image118.png.

Очевидно, що період заданої функції дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image120.png.

 

 

 

 

 1.10. Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image121.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image122.png та їх графіки

 

Таблиця 2

Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image121.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image122.png

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image124.jpg

 

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image121.png називається синусоїдою (рис. 17), а графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image122.png косинусоїдою (рис. 18).

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image126.jpg

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image128.jpg

 

1.11. Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image129.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image130.png та їх графіки

 

Таблиця 3

Властивості функцій http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image131.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image130.png

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image133.jpg

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image129.png називається тангенсоїдою (рис. 19), а графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image130.png котангенсоїдою (рис. 20).

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/89_src/89_image135.jpg

 

1.12. Поняття оборотної та оберненої функцій

 

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оборотною.

У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.

Інакше кажучи, якщо функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image001.png є оборотною й число а належить до її області значень http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image003.png, то рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image005.png має розв’язок, причому єдиний.

Оберненою до даної оборотної функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image001.png називається така функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image007.png, яка кожному із множини значень функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image001.png ставить у відповідність єдине число x з області визначення.

Функції, обернені функціям http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image015.png на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометричними. 

Вони позначаються http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image019.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image021.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image023.png.

Тригонометричні функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png не є монотонними у всій області їх визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності.

 1.12.1. Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png та її графік

 

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png зростає і набуває всіх значень з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image029.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image031.png. Тому функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image033.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image034.png оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арксинусом і позначається http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png. Таким чином, арксинусом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image035.png з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png таке, що його синус дорівнює х. Математично це можна записати так: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image039.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image041.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image043.png.http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image046.jpg

 

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image047.png

 (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image049.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image051.png), http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image053.png,

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image055.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image057.png.

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png, який зображений на рисунку 21, симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image009.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png відносно прямої http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image061.png.

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image063.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image065.png.

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image066.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image027.png.

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image068.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image017.png – непарна функція.

4) Функція зростаюча.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image070.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image071.png.

 

 1.12.2. Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png та її графік

 

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image074.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image076.png спадає і набуває всіх значень з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image029.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image031.png. Тому функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image078.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image079.png оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккосинусом і позначається http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png. Таким чином, арккосинусом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image080.png з відрізка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image081.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image082.png таке, що його косинус дорівнює х. Математично це можна записати так: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image083.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image085.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image087.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image088.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image090.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image092.png),

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image094.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image096.png і т.д.

Графік функції  зображено на рисунку 22. Цей графік симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png відносно прямої http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image011.png.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image099.jpg

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png

  1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image101.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image102.png
  2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image103.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image081.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image082.png
  3.  функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image105.png є функцією загального виду.

4) Функція є спадною.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image073.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image107.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image108.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image102.png.

 

 1.12.3. Функція  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.pngта її графік

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png на інтервалі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image111.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image113.pngзростає і набуває всіх числових значень .

Тому функція   http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png  оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арктангенсом .

Таким чином, арктангенсом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png з інтервалу  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image117.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.png таке, що його тангенс дорівнює х. Математично це можна записати так:  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image037.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image120.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image122.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image124.png

 (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image126.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image128.png),

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image130.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image132.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image134.png і т.д.

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image136.png зображений на рисунку 23. Цей графік симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image138.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.png, відносно прямої .

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image141.gif .

 

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png

 

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image142.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image144.png.

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image146.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.pngдана функція є непарною.

4) Функція  є зростаючою.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image148.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image150.png.

 

 1.12.4. Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/z_src/z_image023.png та її графік

 

Функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/z_src/z_image023.png на інтервалі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image155.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image157.png спадає і набуває усіх числових значень, оскільки .

Тому функція http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image154.png оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккотангенсом і позначається .

Таким чином, арккотангенсом числа х називається число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image153.png з інтервалуhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image161.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image157.png  таке, що його котангенс дорівнює х. Математично це можна записати так:   http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image164.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image165.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image166.png.

Наприклад, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image168.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image170.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image171.png),

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image173.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image175.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image177.png і т.д.

Графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image179.png зображено на рисунку 24. Цей графік симетричний графіку функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image181.png відносно прямої .

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image184.jpg

Основні властивості функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image153.png

 

1)  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image142.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image144.png.

2)  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image185.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image161.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image162.png.

3) функція є функцією загального виду.

4) Функція  спадна.

5) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image187.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image153.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image189.png.

Виходячи з означення тригонометричних функцій, запишемо декілька співвідношень між цими функціями:

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image151.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image144.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image190.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image191.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image194.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image196.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image192.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image193.png ,

для кутів http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image199.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image201.png    http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image202.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image197.png .

Аналогічні співвідношення зв’язують  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image204.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image206.png:

 

для всіх http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image212.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image214.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image215.png ,

для всіх http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image216.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image118.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image218.png ,

для всіх http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image220.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/812_src/812_image222.png.

 1.13. Приклади перетворень виразів, що містять обернені тригонометричні функції

 

Приклад 21

Спростити вираз http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image001.png, де http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image003.png.

Розв’язання:

Припустимо, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image005.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image007.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image009.png.

Треба знайти http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image011.png. Відомо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image013.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image015.png, а на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image019.png синус набуває лише невід’ємного значення. Тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image021.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image023.png.

 

Приклад 22

Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image027.png.

Розв’язання:

Припустимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image029.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image031.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image033.png.

Треба обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image035.png.

Маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image037.png, значить http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image039.png.

Оскільки далі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image041.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image043.png, звідки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image045.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image047.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image049.png.

За умовою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image033.png означає http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image051.png, а в інтервалі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image055.png маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image057.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image047.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image059.png.

Відповідь: 2.

 

Приклад 23

Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image065.png.

Розв’язання:

Припустимо, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image067.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image069.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image071.png.

Потрібно обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image073.png. Виразимо формулу косинуса подвійного кута через синус кута: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image075.png.

Тоді, підставляючи значення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image077.png, будемо мати http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image079.png. Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image081.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image083.png.

 

Приклад 24

 Обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image085.png.

Розв’язання:

Позначимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image087.png, а http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image089.png, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image091.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image071.png, а

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image093.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image095.png. Потрібно обчислити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image097.png. Для цього скористаємося формулою (18), отже

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image099.png.                         (*)

Згідно з формулою (21) маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image101.png.

Знайдемо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image103.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image105.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image107.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image109.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image111.png. За умовою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image071.png маємо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image113.png. Тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image109.png, а отже http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image115.png.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image117.png будемо шукати як у попередньому прикладі, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image118.png. Значить, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image120.png.

Знайдемо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image122.png з формули http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image124.png, підставляючи http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image093.png  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image126.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image128.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image130.png.

За умовою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image095.png маємо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image132.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image128.png.

Знайдені значення підставимо у рівність (*):

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image134.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image136.png.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.14. Побудова графіків тригонометричних функцій

 

Приклад 25

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image142.png.

Розв’язання:

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png;

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image146.png (стиснути графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png вздовж осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png до осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image150.png у 2 рази);

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image152.png (зсунути графікhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image146.png вздовж осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image150.png на 1 одиницю вгору).

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image154.jpg

Приклад 26

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image155.png.

Розв’язання:

І спосіб: Перетворимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image157.png.

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image159.png;

2) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image161.png (зсуваємо графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image163.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image164.png вправо вздовж осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png);

3) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image166.png (стискаємо графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image168.png до осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png у 3 рази);

4) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image170.png (перевертаємо графік http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image172.png відносно осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png).

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image174.jpg

ІІ спосіб: Перетворимо функцію http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image155.png за допомогою фор-

мул зведення: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image175.png.

 

 

Приклад 27

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image179.png.

 

Розв’язання:

Спочатку будуємо графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png. Для того, щоб утворився графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image181.png, потрібно ту частину графіка http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image144.png, яка вище осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png, залишити без змін, а ту, що нижче осі http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image148.png, симетрично відобразити на верхню півплощину.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image183.jpg

 

Приклад 28

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image184.png.

 

Розв’язання:

Будуємо графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image159.png. Ту частину побудованого графіка, яка в лівій півплощині відносно осі OY, відкидаємо, а ту, що в правій, – залишаємо і симетрично відображаємо на ліву півплощину.

 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image187.jpg

 

Приклад 29

 Побудувати графік функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image188.png.

Розв’язання

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image190.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image192.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image194.png.

Оскільки підмодулевий вираз це х, то розглянемо два випадки:

Якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image196.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image198.png.

Якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image200.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image202.png.

Шляхом елементарних перетворень будуємо відповідні графіки функцій.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/813_src/813_image205.jpg

1.15. Тренувальні вправи

 

Завдання 1. У яких координатних чвертях закінчуються кути:

1. 80? і -80?;          3. 300? і -300?;     5. 1000? і -1000?;

2. 170? і -170?;     4. 250? і -250?;     6. 5200? і -5200?.

 

Завдання 2. Виразити в радіанах дані кути:

1. 20?;          4. 240?;          7. 135?;

2. 50?;          5. 330?;          8. 315?;

3. 150?;          6. 210?;          9. 120?.

 

Завдання 3. Виразити в градусах дані кути:

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image001.png          3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image003.png               5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image005.png

2. 3π;          4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image009.png          6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image011.png

 

Завдання 4. Визначити знак виразу без використання таблиць і калькулятора.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image013.png;          2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image015.png;      3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image017.png;      4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image019.png.

 

Завдання 5. Обчислити без використання таблиць і калькулятора значення тригонометричних виразів.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image021.png;                3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image023.png;               5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image025.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image027.png;          4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image029.png;          6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image031.png.

 

Завдання 6. Знайти значення інших тригонометричних функцій кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image033.png за такими даними:

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image035.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image037.png;         3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image039.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image041.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image043.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image045.png;          4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image047.png при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image049.png.

 

Завдання 7. Обчислити значення виразу.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image051.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image053.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image055.png ;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image057.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image059.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image061.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image063.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image065.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image067.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image069.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image071.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image073.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image075.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image077.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image079.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image081.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image083.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image085.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image087.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image089.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image091.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image093.png;

16.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image095.png;

17.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image097.png.

 

Завдання 8. Довести тотожності.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image099.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image101.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image103.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image105.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image107.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image109.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image111.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image113.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image115.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image117.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image119.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image121.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image123.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image125.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image127.png;

16.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image129.png;

17.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image131.png;

18.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image133.png;

19.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image135.png;

20.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image137.png.

 

Завдання 9. Спростити вирази.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image139.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image141.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image143.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image145.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image147.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image149.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image151.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image153.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image155.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image157.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image159.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image161.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image163.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image165.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image167.png.

 

Завдання 10. Перетворити у добуток.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image169.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image171.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image173.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image175.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image177.png.

 

Завдання 11. Дослідити функції на парність (непарність).

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image179.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image181.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image183.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image185.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image187.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image189.png;

7. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image191.png.

 

Завдання 12. Знайти основний період функції.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image193.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image195.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image197.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image199.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image201.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image203.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image205.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image207.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image209.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image211.png.

Завдання 13. Побудувати графік функції.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image213.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image215.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image217.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image219.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image221.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image223.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image225.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image227.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image229.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image231.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image233.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/815_src/815_image235.png.

2. ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ

2.1. Найпростіші тригонометричні рівняння

 

Рівняння називається тригонометричним, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image001.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image003.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image005.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image007.png.

Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image009.png тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image011.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image012.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image014.png). Корені рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image011.png можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image016.png з прямою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image018.png.

Всі розв’язки рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image011.png записуються у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image020.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png. Однак в трьох таких випадках, колиhttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image024.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image026.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image028.png, розв’язки рівнянь зображуються такими формулами:

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image030.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image032.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image035.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image037.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image041.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image043.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image044.png, то рівняння має розв’язок тільки при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image046.png. Корені рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image043.png можна розглядати як абсциси точок перетину косинусоїди http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image047.png з прямою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image018.png.

Всі розв’язки рівняння 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image043.png записуються у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image049.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Для окремих випадків http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image051.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image052.png маємо:

а) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image054.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image056.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image058.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

б) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image060.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image056.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image062.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png;

в) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image064.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image056.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image066.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Всі корені рівняння

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image068.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image069.png задаються формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image071.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

У випадку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image073.png розв’язок записується у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image074.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png.

Всі корені рівняння 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image075.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image076.png визначаються співвідношенням http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image077.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image034.png

При http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image079.png розв’язок має вигляд http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image080.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image081.png.

При використанні формул для розв’язування тригонометричних рівнянь враховують, що

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image082.png;               http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image084.png;

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image086.png;               http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image088.png.

Розглянемо на прикладах найпростіші тригонометричні рівняння.

 

Приклад 1

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image090.png.

Розв’язання:

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image092.png, то скористаємось формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image020.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image094.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image096.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image097.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image022.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image099.png.

 

Приклад 2

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image108.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image110.png (http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image112.png), отже, рівняння розв’язків не має.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image114.png.

Приклад 3

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image128.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image128.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image130.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image132.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image134.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image136.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image138.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image139.png.

 

Приклад 4

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image143.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image145.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image146.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image150.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image152.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image153.png,    http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image155.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image156.png,   http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image148.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image155.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image158.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image161.png

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image163.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image165.png.

 

Приклад 5

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image167.png.

 

 

Розв’язання:

Запишемо дане рівняння у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image169.png, тоді скористаємось формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image071.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image081.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image171.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image160.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image173.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image175.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image176.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image175.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image178.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image182.png.

 

Приклад 6

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image201.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image203.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image204.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image205.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image208.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image210.png

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image212.png.

 

Відзначимо, що при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image216.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image217.png загальними формулами для тригонометричних рівнянь також можна користуватися, вони дають правильний результат, однак найчастіше ці формули не мають компактного вигляду. Наприклад, якщо використовувати окремі випадки, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image218.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image220.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png. Якщо ж скористатися спільною формулою, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image218.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image222.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image224.png.

Покажемо, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image220.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image225.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image226.png – це та сама множина.

Дійсно, при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image227.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image229.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png; при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image231.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image233.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image221.png.

Таким чином, множини розв’язків, отримані двома способами, збігаються.

Зауваження 

При розв’язуванні тригонометричних рівнянь з однаковим успіхом можна користуватися і радіанною, і градусною мірами. Так, наприклад, відповідь у прикладі № 5, яка записана за допомогою радіанної міри http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image235.png, можна записати, використовуючи градусну міру, так: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image237.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image239.png . При цьому слід знати, що можна використовувати або тільки радіанну, або тільки градусну міру, тобто не можна використовувати в тому самому розв’язку частково радіанну і частково градусну міру.

 

Приклад 8

Вказати найменший додатний розв’язок рівняння (у градусах): http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image241.png.

 

Розв’язання:

Дане рівняння є дробово-раціональним, тому його можна записати у вигляді системи: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image241.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image243.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image245.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image247.png. Звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image249.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image251.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image253.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image255.png, тобто підходить лише http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image257.png. Таким чином, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image259.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image261.png.

Найменший додатний розв’язок рівняння при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image262.png буде http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image264.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image266.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/9_src/9_image268.png.

 

 2.2. Загальний принцип розв’язування тригонометричних рівнянь

 

Цей принцип полягає в тому, що всі тригонометричні функції, які входять в рівняння, виражають через яку-небудь одну тригонометричну функцію, яка залежить від одного і того ж аргументу. Розглянемо даний принцип на прикладах:

 

Приклад 9

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image001.png.

Розв’язання:

Замінивши http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image003.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image005.png,

отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image007.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image009.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image013.png.

Замінимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image015.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image017.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image019.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image023.png

Повертаючись до заміни, отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image025.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image027.png.

Перше рівняння системи є найпростішим тригонометричним і його розв’язком буде http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image029.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image031.png. У другому рівнянні системи права його частина http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image033.png, тому рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image035.png розв’язків не має.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image036.png.

 

Приклад 10

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image046.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image048.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image049.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image057.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image058.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image060.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image062.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image064.png.

 

 

 

 

 

 2.3. Розв’язування тригонометричних рівнянь методом групування

 

Шляхом групування доданків рівняння зводяться до вигляду, коли ліва частина розкладена на множники, а права рівна нулю.

Приклад 11

 Розв’язати рівняння

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image080.png.

Розв’язання:

Згрупуємо доданки в лівій і правій частинах рівняння: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image082.png. За формулою перетворення суми синусів, а також за формулою косинуса подвійного кута, отримаємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image084.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image086.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image088.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image090.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image092.png. Звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image094.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image096.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image098.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image100.png

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image102.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image104.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image106.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image108.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image110.png.

 

 

 

 

Приклад 12

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image114.png.

Розв’язання:

За формулою різниці квадратів розпишемо ліву частину рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image116.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image118.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image120.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image122.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image124.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image126.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image127.png

 

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image131.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image133.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/92_src/92_image135.png.

 

2.4. Рівняння, які розв’язуються пониженням степеня

 

Якщо тригонометричні рівняння містять http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image001.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image003.png в парному степені, то застосовують формули пониження степеня:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image005.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image007.png.

Приклад 13

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image009.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image015.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image021.png 

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image023.png.

Кожний множник отриманого рівняння прирівнюємо до нуля і знаходимо його корені: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image025.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image027.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image029.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image031.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image033.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image035.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image041.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image043.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image045.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image047.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image045.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image049.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image057.png.

 

2.5. Розв’язування однорідних тригонометричних рівнянь, а також рівнянь, які зводяться до однорідних тригонометричних

 

Однорідні тригонометричні рівняння – це рівняння виду

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image059.png                         (1)

і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image061.png.                         (2)

Розв’язуються вони шляхом ділення обох частин рівняння на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image063.png для рівняння виду (1) і на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image065.png для рівняння виду (2).

 

Приклад 14

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image067.png.

Розв’язання:

Поділимо обидві частини рівняння на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image069.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image070.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image072.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image074.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image076.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image078.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image080.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image082.png

Перевіримо, чи http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image084.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image086.png не є коренем початкового рівняння: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image088.png. Отже http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image090.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image091.png не є коренем нашого рівняння.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image092.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image094.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image096.png.

 

Приклад 15

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image100.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image102.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image103.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image105.png

Розв’яжемо перше рівняння сукупності: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image107.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image109.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image111.png.

Друге рівняння сукупності є однорідним тригонометричним, тому поділимо обидві частини рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image112.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image114.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image115.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image117.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image119.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image121.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image123.png.

Оскільки права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину розглянути як функцію, то графічно розв’язками рівняння будуть абсциси точок перетину графіка функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image124.png з віссю ОХ.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image128.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image130.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image132.png.

 

 

 

 

 

2.6. Розв’язування тригонометричних рівнянь за допомогою універсальної підстановки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png

 

При розв’язуванні рівнянь виду http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image136.png зручно застосову-вати універсальну підстановку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png. Тоді функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image138.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image139.png нескладно виражаються через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image140.png за такими формулами:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image142.png,              http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image144.png.

Оскільки використання універсальної підстановки можливе лише при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image146.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image148.png, то потрібно перевіряти, чи не є числа виду http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image149.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image151.png розв’язками початкового рівняння.

 

Приклад 16

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image152.png.

Розв’язання:

Зробимо підстановку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image154.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image156.png.

Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image158.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image160.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image162.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image164.png.

Значить http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image166.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image168.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image170.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image171.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image173.png.

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image174.png

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image176.png , http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image177.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image179.png.

 

Приклад 17

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image181.png.

Розв’язання:

Можна замінити http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image183.png через х, а потім зробити підстановку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image134.png,http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image185.png. Тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image187.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image189.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image191.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image193.png. Повернувшись до підстановки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image195.png (а) або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image197.png (б), розв’яжемо по черзі рівняння (а) і (б):

(а): http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image195.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image199.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image201.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image203.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image204.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image206.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image208.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image209.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image208.png;

(б): http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image197.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image211.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image214.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image204.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image216.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image218.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image213.png.

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image174.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image176.png:http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image220.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image222.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image224.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/94_src/94_image226.png.

 

 

 

 

 

 

 

 

 2.7. Метод введення допоміжного кута

 

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image001.png,

де http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image003.png,              http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image005.png.

У цьому випадку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image007.png називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом.

Сенс методу полягає в тому, що деяку величину подають як тригонометричну функцію відповідного аргументу http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image007.png, а потім роблять тригонометричні перетворення.

 

Приклад 18

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image009.png.

Розв’язання:

1-й спосіб:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image013.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image015.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image021.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image023.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image026.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png.

У процесі розв’язування ми врахували той факт,

що якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image028.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image030.png, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image032.png можна покласти таким, що дорівнює http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image033.png.

2-й спосіб:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image035.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image037.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image039.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image043.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image044.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image025.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image045.png.

 

Приклад 19

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image047.png.

Розв’язання:

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image049.png, то поділимо обидві частини нашого рівняння на 2 і введемо допоміжний кут: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image057.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image060.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png. Даний розв’язок можна розписати як http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image062.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image064.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png, якщо п – непарне або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image066.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image068.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image059.png, якщо п – парне.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image070.png.

 

 

 

 

 2.8. Розв’язування тригонометричних рівнянь способом підстановки

 

У деяких раніше розглянутих рівняннях застосовувалася заміна змінної, коли ці рівняння зводилися до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних функцій. Розглянемо більш складні випадки заміни змінних.

 

Приклад 20

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image076.png.

Розв’язання:

Скористаємося формулою http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image078.png, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image076.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image080.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image082.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image084.png. Зробимо заміну http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image086.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image088.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image090.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image092.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image094.png Повернемось до заміни:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image096.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image098.png   Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image100.png.

Приклад 21

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image102.png.

Розв’язання:

Позначивши http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image104.png, дістанемо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image106.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image108.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image111.png.

Тоді початкове рівняння запишеться у вигляді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image113.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image115.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image117.png Повернемось до заміни:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image119.png                                             (1)

або     http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image121.png.                                             (2)

Найпростішим методом розв’язування рівняння (1) є метод введення допоміжного кута:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image123.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image125.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image127.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image011.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image129.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image131.png.

Друге рівняння сукупності (2) розв’язків не має, оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image132.png, а число http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image134.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/97_src/97_image136.png.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.9. Розв’язування тригонометричних рівнянь із застосуванням комбінованих способів

 

Приклад 22

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image005.png.

Розв’язання:

Наведемо дві форми запису розв’язання вихідного рівняння.

 

І форма запису розв’язання.

ОДЗ: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image007.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image013.png.

Знаходимо значення х, що задовольняють рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image015.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image017.png; якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image019.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image020.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image022.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image024.png; якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image017.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image026.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image028.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image030.png.

Оскільки через ОДЗ http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image011.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image013.png, то серія розв’язків http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image022.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image024.png непридатна, вона не входить в ОДЗ, і, відповідно, є лише друга серія розв’язків http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image028.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image030.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image032.png.

 

ІІ форма запису розв’язання.

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image005.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image034.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image036.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image038.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image030.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image032.png.

 

Приклад 23

 Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image041.png. У відповіді зазначте кількість розв’язків на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image043.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image045.png.

Розв’язання:

Скористаємось формулами зведення для правої частини рівняння. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image041.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image047.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image049.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image051.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image053.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image055.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image057.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image059.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image061.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image063.png

Для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image065.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image067.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image068.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image070.png.

Отже розв’язків на відрізку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image072.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image067.png два.

 

Відповідь: 2.

 

Приклад 24

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image073.png.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image075.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image076.png 

Перші дві тригонометричні нерівності нашої комбінованої системи розв’язуємо з урахуванням властивостей тригонометричних функцій. Тоді маємо: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image078.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image080.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image082.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image084.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image086.png, оскільки друга серія розв’язків зі знаком «–» не задовольняє нерівність http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image087.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image089.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image090.png.

 

 

 

Приклад 25

Розв’язати рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image102.png.

Розв’язання:

Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image104.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image106.png, то

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image108.png. Знак «=» з урахуванням наведених нерівностей може мати місце тільки у тому випадку, коли

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image110.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image112.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image114.png (оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image116.png).

Відповідь:http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image118.png.

 

 2.10. Розв’язування тригонометричних рівнянь з параметрами та завдань із застосуванням тригонометричних функцій підвищеної складності

 

Приклад 26

Визначити кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image126.png має розв’язки.

Розв’язання:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image128.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image129.png. За властивістю функції http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image131.png  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image106.png, тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image133.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image135.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image137.png. Цілими значеннями, які належать отриманому проміжку, є:

 –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. Їх кількість – 9.

Відповідь: 9.

 

Приклад 27

Розв’яжіть систему рівнянь http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image147.png 

У відповідь запишіть добуток http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image149.png, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image151.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image153.png – розв’язок системи рівнянь.

Розв’язання:

Згідно з властивостями тригонометричних функцій, що http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image155.png та http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image157.png, отримаємо: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image159.pngзвідки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image161.png Дана система нерівностей виконується лише при http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image163.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image164.png.

Тоді добуток http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image166.png.

Відповідь: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image168.png.

 

Приклад 28

 Зазначте кількість розв’язків рівняння

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image189.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image191.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image193.png.

Розв’язання:

ОДЗ: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image194.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image196.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image198.png.

Кожний множник вихідного рівняння прирівняємо до нуля:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image199.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image201.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image203.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image205.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image207.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image209.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image211.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image213.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image215.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image217.png.

Отже загальний розв’язок можна записати у вигляді сукупності

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image218.png А, враховуючи ОДЗ, коренями на проміжку

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image220.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image193.png є http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image222.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image224.png.

Відповідь: 2 розв’язки.

 

Приклад 29

Знайдіть усі дійсні значення параметра а, при яких рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image244.png має розв’язок.

Розв’язання:

Замінимо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image246.png через http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image248.png, тоді http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image250.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image252.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image254.png, звідси http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image256.png.

Отже, рівняння набуває вигляду http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image258.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image260.png. Розв’яжемо квадратне рівняння відносно змінної http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image248.png:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image262.png; http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image264.pnghttp://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image266.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image268.png

Зробимо оцінку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image270.png, для цього розділимо обидві частини рівності http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image271.png на http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image273.png: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image275.png; за допомогою введення допоміжного кута http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image277.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image279.png (І). Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image281.png, то й http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image283.png, тобто http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image285.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image287.png, або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image289.png.

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image291.png не задовольняє наші умови, тому http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image293.png, а оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image289.png, то і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image295.png, і з рівності (І) http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image297.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image299.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image301.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image303.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image009.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image304.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image306.png.

Відповідь: для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image307.png розв’язків немає;

для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image309.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image311.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image312.png.

 

Приклад 30

Зазначте усі дійсні значення параметра а, при яких рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image331.png має розв’язки.

Знайдіть ці розв’язки.

Розв’язання:

Знайдемо ОДЗ:

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image333.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image335.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image336.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image339.png

Оскільки перше й друге значення однакові, то в ОДЗ входять будь-які х, окрім http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image341.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image343.png (І) і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image344.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image346.png (ІІ).

Перетворимо вихідне рівняння за допомогою тригонометричних формул: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image347.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image349.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image351.png.

Врахувавши ОДЗ: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image353.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image355.png

Описание: http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image357.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image359.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image361.png для будь-яких а, то http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image363.png; згідно з формулою пониження степеня

маємо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image365.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image367.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image369.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image371.png. Оскільки http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image373.png, то й http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image375.png або http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image377.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image379.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image381.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image383.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image385.png Крім того, згідно з (І) і (ІІ), отримане рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image371.png має розв’язок, якщо http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image387.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png

 http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image389.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image391.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image393.png

Отже, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image371.png для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image395.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image397.png, http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image399.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image401.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image338.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image403.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image405.png.

Відповідь: для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image406.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image408.png розв’язків немає.

для http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image395.png і http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image397.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image410.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/99_src/99_image405.png.

 

2.11. Тренувальні вправи

 

Завдання 1. Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image001.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image003.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image005.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image007.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image009.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image011.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image013.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image015.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image017.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image019.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image021.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image023.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image025.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image027.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image029.png.

16.  Визначити найменший розв’язок рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image031.png, який належить проміжку (20; 60).

 

Завдання 2. Розв’язати рівняння способом приведення до однієї з функцій.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image033.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image035.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image037.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image039.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image041.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image043.png.

 

Завдання 3. Розв’язати однорідні рівняння і ті, що до них зводяться.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image045.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image047.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image049.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image051.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image053.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image055.png.

Завдання 4. Розв’язати рівняння за допомогою універсальної підстановки.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image057.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image059.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image061.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image063.png.

 

Завдання 5. Розв’язати рівняння методом введення допоміжного аргументу.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image065.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image067.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image069.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image071.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image073.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image075.png.

 

Завдання 6. Розв’язати рівняння, застосовуючи формули пониження степеня.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image077.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image079.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image081.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image083.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image085.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image087.png.

7. Вказати кількість розв’язків рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image089.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image091.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image093.png.

 

Завдання 7. Розв’язати рівняння, використовуючи заміну змінної.

1. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image095.png;

2. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image097.png;

3. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image099.png;

4. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image101.png;

5. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image103.png;

6. http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image105.png.

 

Завдання 8. Розв’язати тригонометричні рівняння, використовуючи різні методи.

1.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image107.png;

2.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image109.png;

3.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image111.png;

4.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image113.png;

5.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image115.png;

6.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image117.png;

7.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image119.png;

8.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image121.png;

9.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image123.png;

10.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image125.png;

11.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image127.png;

12.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image129.png;

13.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image131.png;

14.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image133.png;

15.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image135.png;

16.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image137.png;

17.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image139.png;

18.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image141.png;

19.  Зазначте кількість розв’язків рівняння

http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image143.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image145.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image146.png;

20.  Зазначте кількість розв’язків рівняння http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image147.png на проміжку http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image149.png http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image150.png;

21.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image152.png;

22.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image154.png;

23.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image156.png;

24.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image158.png;

25.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image160.png;

26.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image162.png;

27.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image164.png;

28.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image166.png;

29.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image168.png;

30.  http://posibnyky.vntu.edu.ua/muh_2/911_src/911_image170.png.

 

 

Список використаної літератури

 

  1. Алєксєєв В. М. Математика. Довідковий повторювальний курс : навч. посібник / Алєксєєв В. М., Ушаков Р. П. ; за ред. М. Й. Ядренка. – К. : Вища шк., 1992. – 295 с.
  2. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Дидактичні матеріали з математики (навчальний посібник для студентів ВНЗ І-ІІ р.а.) – К.: Вища школа, 2001.
  3. Бондаренко М. Ф. Математика для вступників до вузів : навч. посібник / М. Ф. Бондаренко, В. А. Дікарєв, О. Ф. Мельников та інші. – Харків : «Компанія СМІТ», 2002. – 1120 с.
  4. Гальперіна А. Р. Математика. Типові тестові завдання : збірник /

А. Р. Гальперіна, О. Я. Михєєва. – Х. : Веста, 2009. – 128 с. + Додат.

(16 с.). – (Серія журналу «Вісник ТІМО»).

  1. Егоров В. К. Сборник задач по математике для поступающих в вузы /В. К. Егоров, В. В. Зайцев, Б. А. Кордомский ; под ред. М. И. Сканави. – М. : Высшая школа, 1992. – 528 с.
  2. Литвиненко В. И. Практикум по элементарной математике / В. И. Литвиненко. – М. : Просвещение, 1991. – 352 с.
  3. Письменный Д. Т. Готовимся к экзамену по математике : домашний репетитор / Письменный Д. Т. – М. : Рольф, 1999. – 288 с.
  4. Роєва Т.Г., Адруг Л.М. Математика. Інтегровний курс. Тематичне оцінювання. 10, 11 кл. – К.: Країна мрій, 2007.
  5. Слєпкань З.І., Грохольська А.В. Збірник задач з алгебри і початків аналізу, 10-11 кл. – К.: Підручники і посібники, 2003.
  6. Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики : навчальний посібник / Титаренко О. М. – Харків : ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005. – 368 с.
  7.  Титаренко О. 5770 задач з математики з відповідями. / Титаренко О. М. – Харків : ТОРСІНГ ПЛЮС, 2005. – 336 с.

 

1

 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Arenhold Alona
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додано
30 вересня 2019
Переглядів
1559
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку