Найпростіші тригонометричні рівняння

Про матеріал

План-конспект уроку з алгебри в 10 класі (рівень стандарту) за новою програмою (за під. О. С. Істер) Мета уроку : сформувати поняття про найпростіші тригонометричні рівняння, вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння. закріпити основні тригонометричні поняття; розвивати вміння пошукової діяльності, логічне мислення, пам’ять, вміння аналізувати ситуацію; підвищувати інформаційну культуру, розвивати інтерес до математики; Форми роботи: індивідуальна, групова.

Перегляд файлу

План-конспект уроку з алгебри в 10 класі (рівень стандарту) за новою програмою (за під. О. С. Істер)

Тема уроку: Найпростіші тригонометричні рівняння

Мета уроку: сформувати поняття про найпростіші тригонометричні рівняння, вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння. закріпити основні тригонометричні поняття; розвивати вміння пошукової діяльності, логічне мислення, пам’ять, вміння

аналізувати ситуацію; підвищувати інформаційну культуру, розвивати інтерес до математики;

Форми роботи: індивідуальна, групова.

Тип уроку: засвоєння нових знань, вмінь і навичок.

Обладнання: опорний план-конспект, таблиці «Рівняння cos t = a» , «Рівняння sin t = a» , « Рівняння tg t = a», «Рівняння ctg t = a». Хід уроку

І. Організаційний етап

Перевірка готовності учнів до уроку, перевірка відсутніх.

ІІ. Перевірка домашнього завдання

1. Перевірка завдання, заданого за підручником.

Перевірити наявність домашніх завдань в зошитах учнів і відповісти на запитання, які виникли в процесі їх виконання.

ІІІ. Формулювання теми і мети уроку

Краса і багатство тригонометрії – це її формули. Всі вони використовуються при розв’язуванні рівнянь.

Тригонометричні функції застосовуються в науці та техніці, а розв’язання тригонометричних рівнянь є невід’ємною складовою багатьох процесів, які відбуваються навколо нас, тому питання про розв’язування тригонометричних рівнянь досить актуальне . У математиці розглядають рівняння, у яких невідоме (змінна) входить під знак тригонометричних функцій, наприклад:

соs(2х + π/5) = 1; сos² х/6 - sin² х/6 = 1 ; cos х = 1, cos х + sin х = 0. Ці рівняння

називаються тригонометричними рівняннями. Як правило, розв'язування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розв'язування найпростіших рівнянь: sin t = a, cos t = a, tg t = a, ctg t = a.

Отже, сьогодні наше завдання — вивести формули для розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь і навчитися застосовувати їх до розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

ІV. Актуалізація опорних знань

На сьогоднішньому уроці ми розглянемо рівняння sin t = a , cos t = a, tgx = t , ctg x = t. З одним із них ви познайомилися дома, коли готувалися до сьогоднішнього уроку. Вам потрібно було розв’язати задачу:

Сторони трикутника дорівнюють 12см і 16см. Знайдіть кут між ними, якщо площа трикутника 48см².

(Колективне розв’язування задачі)

Розв’язання

де а і в – сторони трикутника, α – кут між ними.

Маємо рівняння: ½ ·12·16 ·sin x = 48;

Звідси: 96 sin x = 48,

sinsin x = ¹₂

Синус кута дорівнює ½, коли кут має або 30˚, або 150˚. У розглянутому випадку кути не можуть бути від’ємними або більшими за 180˚. А взагалі

рівняння має безліч розв’язків : та . Але записують розв’язок такого рівняння інакше, давайте визначимо чому? V. Засвоєння знань

Тригонометричне рівняння – рівняння, що містить невідоме під знаком тригонометричної функції.

Рівняння виду sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a називаються найпростішими тригонометричними рівняннями.

1. Рівняння cos x = a

Якщо |a|>1 , то рівняння cosx=a не має коренів.

Наприклад, рівняння cos x = −1,5 не має коренів.

Якщо |a|≤1, то корені рівняння виражаються формулою x = ±arccosa+2πk,kZ

Що ж таке arccos a? Арккосинус в перекладі з латинської означає дуга і ∈ косинус. Це зворотна функція.

Якщо |a|≤1, то arccos a (арккосинус а) - це таке число з відрізка [0;π], косинус якого дорівнює а.

Кажучи інакше: аrccos a = x cos x = a,|a|≤1,x[0;π]

Приклад: ⇒ ∈

Знайти arccos 2√2

Вираз показує, що косинус кута x дорівнює (cos x

Далі просто знаходимо точку цього косинуса на числовому колі, що і є відповіддю:

число, що є значенням осі x, відповідає точці ₄^π на числовому колі.

Отже, arccos

Зверни увагу!

якщо cos = , то =

2. Рівняння sin x = a

Якщо |a|>1, то рівняння sinx=a не має коренів.

Наприклад, рівняння sin x = 2 не має коренів.

Якщо |a|≤1, токорені рівняння виражаються формулою x=(−1)karcsina+πk,kZ

Що ж таке arcsin a? Арксинус в перекладі з латинської означає дуга і синус.∈

Це зворотна функція.

Якщо |a|≤1, то arcsina (арксинус a) - це таке число з відрізка [−π/2;π/2], синус якого дорівнює a. Інакше кажучи:

аrcsina = xsinx=a,|a|≤1,x[−π/2;π/2] Розглянемо цю теорію на прикладі.⇒ ∈

Приклад:

Знайти arcsin ¹₂

Вираз arcsin ¹₂ показує, що синус кута x дорівнює ¹₂ , тобто sinx = ¹₂ . Далі просто знаходимо точку цього синуса на числовому колі, що і є відповіддю:

Точка ¹₂ , що знаходиться на осі y, відповідає точці π/6 на числовому колі. Отже, arcsin ¹₂ =π/6

Зверни увагу!

Якщо sinπ/6=1/2, то arcsin1/2=π/6

У першому випадку по точці на числовому колі знаходимо значення синуса, а в другому - навпаки,

за значенням синуса знаходимо точку на числовому

колі. Рух у зворотний бік. Це і є арксинус. Теорема. Для будь-якого a[−1;1] справедлива формула arcsin(−a)=−arcsina

∈

Окремі випадки:

1. sinx=0x=πk,kZ

2. sinx=1⇒x=π/2+2πk,k∈^∈∈Z

3.sinx=−1⇒⇒x=−π/2+2πk,kZ

3. Рівняння tgx = a

Рівняння tgx = a має розв’язок x = arctga+πk,k∈Z

Що ж таке arctga?

Арктангенс в перекладі з латинської означає дуга і тангенс. Це зворотна функція. arctga (арктангенс a) - це таке число з відрізка (−π2;π2), тангенс якого

дорівнює a.

Інакше кажучи:

arctga=x⇒tgx=a,x∈(−π2;π2)

Теорема. arctg(−a)=−arctga.

4. Рівняння ctgx = a

Рівняння ctgx = a має розв’язок x = arcctga+πk, k∈Z

Що ж таке arcctga?

arcctga (арккотангенс a) - це таке число з відрізка (0;π), котангенс якого

дорівнює a. Інакше кажучи: аrcctga = x