Некоторые секреты быстрого счёта

 

Материал данной статьи предусматривает цель показать результативность использования различных видов и приёмов быстрого устного счёта для повышения познавательного интереса к изучению математики, что положительно повлияет на прохождение итоговой аттестации.  Устный  счет  на  уроках  математики  способствует развитию и формированию прочных вычислительных навыков и умений.  Приёмы быстрого счёта  могут быть использованы на практике,  как учениками, так и преподавателями школ.

 

 Некоторые секреты быстрого счёта

 В какой бы области человеческая жизнь не стремилась к необходимому совершенствованию, неизменно то, что всюду в основании верных выводов должны лежать  «счёт и мера», то есть число в той или иной форме.

Понятно,  что в основании сознательной жизни человека лежит счет и мера. Ясно, что если вы хотите правильно судить об окружающем вас пространстве; знать, что такое время, то прежде всего вы должны усвоить счет и меру, а следовательно, научиться свободно обращаться с числом. Истинное  развитие знания и сознательности может идти только рядом с развитием вашего понимания о счете, мере, порядке и числе.

     Вот почему не стоит  пренебрегать малейшим случаем, чтобы поупражняться в счете, мере, порядке и числе. Нельзя отделять арифметику, или математику вообще, от жизни. Нельзя этого делать, потому что человечество только тогда вступило на путь истинного знания, когда во все свои рассуждения ввело понятие о счете, мере и порядке, то есть понятие о числе. Необходимо учиться считать, мерить и вносить порядок в свою жизнь, начиная с первых ваших шагов. Все остальное  человечеству дается легко. А учиться счету, порядку и мере удобно как в игре или забаве, так и в деле. Стоит только этого захотеть и к этому постоянно направлять свой ум, разбираясь во всяком окружающем нас явлении. Поэтому в своей работе я попыталась показать некоторые приемы и методы быстрого устного счета, основным условием выбора которых является   простота, оригинальность и доступность для современных школьников.

Работа состоит из трёх частей;                                                                                                  I.Учащимся начальной школы предложены следующие приёмы: 1-4классы:  

  Вычислить: а) 13 · 64 ; б) 24 · 17

а)  произведение 13 · 64 не изменится, если первый множитель умножишь на 2, а второй разделишь на 2, т. е. 13 · 64 = 26 · 32 = 52 · 16 и так далее, пока не получим 832 · 1 = 832

б) 24 · 17 = 12 · 34 = 6 ·68 = 3 ·136 = 408

      Лучше так:    24 · 17 = 24 · 16 + 24;

      24 ·16 = 48 · 8 = 96 · 4 = 192 · 2 = 384 · 1 = 384, тогда 24 ·17 = 384 + 24 = 408

Вычислить устно ( с записью в строчку )

1) 34 · 48 + 18 · 2 + 23 · 24 = 34 · 2 · 24 + 9 · 2 · 12 + 23 · 24 =

         68 · 24 + 23 · 24 + 9 · 24 = 24 · ( 68 + 23 + 9 ) = 24 · 100 = 2400

2) 195 · 6 = ( 200 – 5 ) · 6 = 1200 – 30 = 1170

3) 195 · 38 = ( 200 – 5 ) · 38 = 7600 – 380 : 2 = 7600 – 190 = 7410.

4) 42 · 99 = 42 · (100-1) = 4200 – 42 = 4158

5) 32 · 197 = 32 · (200-3) = 6400 – 96 = 6304

6) 63 + 29 = ( 63 – 1 ) + (29+1) = 62+30 = 92

7) 594 + 267 = (594 + 6) + (267 – 6) = 600 + 261 = 861

8) 158 – 82 = (150 +8) – (90 – 8) = 150 + 8 – 90 + 8 = 150 – 90 + 16 = 60 + 16 = 76

 Умножение на 5 (50)

Чтобы умножить число на 5 ( 50 ), надо разделить его на 2 и умножить на 10 ( 100 ).

Примеры:

446 · 5 = 446 : 2 · 10 = 2230

638 · 5 = 638 : 2 · 10 = 3190

4672 · 50 = 4672 : 2 · 100 = 233600

832 · 50 = 832 : 2 · 100 = 41600

 Умножение на 25 (250)

Чтобы умножить число на 25 ( 250 ), надо умножить его на 100 ( 1000 ) и разделить на 4.

88 · 25 = 8800 : 4 = 2200

248 · 25 = 24800 : 4 = 6200

1256 · 25 =125600 : 4 = 31400

24 · 280 = 24000 : 4 =6000

484 · 280 = 484000 : 4 = 121000

6404 · 250 = 6404000 : 4 = 1601000

  Умножение на 9

254 ·  ( 10 – 1 ) = 254 · 10 – 254 ·  1 = 2540 – 254 = 2286

38 478 ·  ( 10 – 1 ) = 38478 · 10 – 38478 · 1 = 384780 – 38478 = 346302

Таким образом, для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число.

Например: 254 ·  9 = 2540 – 254 = 2286

                   38478 · 9 = 384780 – 38478 = 346302

  Деление на 4, 8, 16

  Чтобы разделить число   на 4,8,16, удобнее несколько раз повторить деление на 2.

148 : 4 = 148 : 2 : 2 = 74 : 2 = 37

320 : 16 = 320 : 4 : 4 = 80 : 4 = 20

816 : 16 = 816 : 2 : 2 : 2 : 2

        Деление на 5 ( 50 ), 25 ( 250 )

Эти приемы основываются на том, что:

а : 5 = а · 2  ; 

10

а : 50 = а · 2  ; 

                 100  

а : 25 = а · 4   ;

                 100

а : 250 = а  ·   4   .

                     1000  

Таким образом, чтобы разделить данное число на 5 (50) его надо умножить на 2 и разделить на 10 (100), а для того чтобы на 25 (250), его надо умножить на 4 и разделить на 100 (1000).

235 : 5 = 235 · 2 : 10 = 47

825 : 5 = 825 · 2 : 10 = 165

430 : 5 = 430 · 2 : 10 = 86

86020 : 5 = 86020 · 2 : 10 = 17204

1225 : 25 = 1225 · 4 : 100 = 4900 : 100 = 49

725 : 25 = 725 · 4 : 100 = 2900 : 100 = 29

562 : 250 = 562 · 4 : 1000 = 2248 : 1000 = 2,248

            456 : 250 = 456 · 4 : 1000 = 1824 : 1000 = 1,824

  Деление на 5, 50, 25

     Чтобы быстро разделить число на 5, 50, 25; надо заметить: 50 = 5 · 10

                                                                                                           25 = 5 · 5 = 50 : 2

              675 : 25 = 675 : 5 : 5

              1050 : 50 = 1050 : 10 : 5 = 105 : 5 = 21.

II. 5 – 9 классы

Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5

              15 · 15 = 225 ( 1 умножаем на 2 и приписываем 25 )

               75 · 75 = 5625 ( 7 умножаем на 8 и приписываем 25 )

               9005 · 9005 = 81090025 ( 900 умножаем на 901 и приписываем 25 ).

 

 

 Возведение в квадрат трехзначных чисел, оканчивающихся на 25

     Для получения квадрата трехзначного числа ( например, 325 ):

1. пишем в конце 625;
2. число сотен ( 3 ) умножаем на 5, у полученного числа ( 15 ) последнюю цифру ( 5 ) пишем впереди числа 625, а первую цифру ( 1 ) запоминаем;
3.  число сотен данного числа ( 3 ) возводим в квадрат ( 3 · 3 = 9 ) и прибавляем ту цифру, которую только что заполнили ( 9 + 1 ), а полученный результат                    ( 10 ) пишем впереди написанных нами чисел: 105625.

125 · 125 =  (625; 1 · 5 = 5; 0; 5625; 1 · 1 = 1; 1 + 0) = 15625

725 · 725 = (625; 7 · 5 = 35 ; 3; 5625; 7 · 7 = 49; 49 + 3 = 52) 525625

525 · 525 = (625; 5 · 5 = 25; 2; 5625; 5 · 5 = 25;  25 + 2 =27) 275625

625 · 625 = (625; 6 · 5 = 30; 3; 0625; 6 · 6 = 36; 36 + 3 = 39) 390625

225 · 225 = (625; 2 · 5 = 10; 1; 0625; 2 · 2 = 4 ; 4 + 1 = 5) 50625

        Возведение в квадрат чисел 5 и 6 десятков

      Чтобы возвести в квадрат число пятого десятка (41, 42, …. 49) надо к числу единице     прибавить 15, затем к полученной сумме приписать квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат – однозначное число, то перед ним приписывается 0.

43 ² = (15+3) · 100 + 7²= 1849

46²= (15+6) · 100 + 4² = 2116

48²= (15+8) · 100 + 2² = 2304

49²= (15+9) · 100 + 1² =2401

Еще проще возвести в квадрат число шестого десятка ( 51, 52, … 59). Для этого надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.

54²= ( 25+4 ) · 100 + 4² = 2916

57²= ( 25+7 ) · 100 + 7² = 3249

59²= ( 25+9 ) · 100 + 9² = 3481

Умножение на 99, на 999

Умножение на 99, на 999 осуществляется тем же способом, что и на 9.

   В этих случаях приписывают два, три нуля и вычитают множимое число.

324 ·  99 = 32400 – 324 = 32076

546 ·  999 = 546000 – 546 = 545454

Умножение на 111

1294 · 111 = 143 634

Чтобы найти это произведение, поступают так ( согласно приведенной записи ); слева от последней цифры множимого записывают последнюю цифру суммы его единиц и десятков ( 9 + 4, т. е. 3 ), затем последовательно приписывают суммы цифр, взятых по три: ( 2 + 9 + 4 ) + 1 ( от 13 ) = 16, т. е. 6; ( 1 + 2 + 9 ) + 1 ( от 16 ) = 13, т.е. 3; затем – сумму последних двух цифр ( 1 + 2 ) + 1 ( от 13 ) = 4; первую цифру множимого ( 1 ) приписывают слева к полученному результату.

      241 · 111 = 26 751

      52628 ·  111 = 5 841 708

      175 654 · 111 = 19 497 594

Мгновенное умножение

Можно облегчить вычислительную деятельность, прибегая к несложным алгебраическим преобразованиям.

988 · 988 = ( 988 + 12 ) ( 988 – 12 ) + 12² = 1000 · 976 + 144 = 976 144

a² = а² - b² + b² = ( а – b ) ( а + b ) + b²

Можно с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок:

27² = ( 27 – 3 ) ( 27 + 3 ) + 3² = 24 · 30 + 9 = 729

63² = ( 63 – 3 ) ( 63 + 3 ) + 3² = 60 · 66 + 9 = 3969

48² = ( 48 – 2 ) ( 48 + 2 ) + 2² = 46 · 50 + 4 = 2304.

Умножение на 50, 25 , 125.

17 · 50 = 17 · 100 : 2                                                                50 = 100: 2                                              

122 · 50 = 122 : 2 · 100 = 6100                                                25 = 100 : 4 

28 · 25 = 28 : 4 ·  100 = 700                                                     125 = 1000 : 8

208 · 25 = 208 : 4 · 100 = 52 · 100 = 5200

192 · 125 = 192 : 8 · 1000 = 24 · 1000 = 24000

Быстрота и правильность

44 · 25 = 4 · 11 · 25 = 1100

33 · 5 = 11 · 3 · 5 = 15 · 11 = 165

45 · 4 = 45 · 2 · 2 = 180

25 · 8 = 25 · 4 · 2 = 200

Интересный способ умножения

1) 13 · 64 = 13 · 2 · 64 : 2 = 26 · 32 = 52 · 16 = 104  8 = 208 · 4 = 416 · 2 = 832

Прием умножения

2)  15 · 15 = 225 (1 · 2  и приписываем 25)

      25 · 25 = 625 (2 · 3  -/-)

      35 · 35 = 1225 (3 · 4 -/-)

      45 · 45 = 2025 (4 · 5 -/-)

      395 · 395 = 156025                                 695 · 695 = 483025

      39 · 40 = 1560                                            69 ·  70 = 4830

 

Умножение на 155 и 175

А · 155 = А  · 100 + А · 50 + А · 5 = А · 100 + А : 2 · 100 + А : 4 · 100

А · 175 = А · 100 + А · 50 + А · 25 = А · 100 + А : 2 · 100 + А : 4 · 100

348 · 155 = 34800 + 348 : 2 · 100 + 348 : 2 · 10 = 34800 + 17400 + 1740 = 53940

84 · 175 = 8400 + 84 : 2 · 100 + 84 : 4 · 100 = 8400 + 4200 + 2100 = 14700.

Умножение двухзначных чисел, близких к 100

Пример 1.            Вычислить 95 · 89 .

Решение: чтобы получить две последние цифры ответа ( единицы и десятки ), необходимо:    100 – 95 = 5;              100 – 89 = 11

И результаты перемножить:   5 · 11 = 55

Чтобы получить первые две цифры (тысячи и сотни), надо:   95 – 11 = 84

В результате имеем: 95 · 89 = 8455

Пример 2:          Вычислить 93 · 87

Решение: 1) 100 – 93 = 7          2) 100 – 87 = 13

                 3) 7 · 13 = 91 – последние две цифры;

                 4) 93 – 13 = 80 – первые две цифры;

Таким образом, 93 · 87 = 8091.

Пример 3:         Вычислить 98 · 87

Решение: 1) 100 – 98 = 2       2) 100 – 87 = 13

                 3) 2 · 13 = 26 – последние две цифры;

                 4) 98 – 13 = 85 – первые две цифры;

Таким образом, 98 · 87 = 8526.

Пример 4. вычислить 82 · 94

1. 100 – 82 = 18   2) 100 – 94 = 6
2. 18 · 6 = 108; 08 – последние две цифры;
3. 82 – 6 = 76;  76 + 1 =77 – первые две цифры.                                                        Таким образом, 82 · 94 = 7708.       

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и сумма цифр, стоящих на четных местах, делятся на 11.

 

9 876 543 210 : 11, т.к. 97531 – 86420 = 11 111

                                           15   -     20    =       5

Поменяем 8 и 5:                  9  8  7  6  5  4  3  2  1  0

                                             9  5  7  6  8  4  3  2  1  0

                                             0 + 2 + 4 + 6 + 5                1 + 3 + 8 + 7 + 9

                                                               17                           28

                                                                       28 – 17 = 11  

Если сумме цифр данного числа через одну равна сумме остальных цифр через одну или разность этих сумм делится на 11, то и данное число делится на 11.

Округление часто используется при устных вычислениях

Сначала выполняется округление до круглых чисел, действие производится над круглыми числами, а затем вносится поправка.

362 + 197 = 360 + 2 + 200 – 3 = 560 – 1 = 559

373 + 48;     558 – 82;    485 + 98

                                   Секрет виртуозного извлечения корней

Секретом такого «искусства» овладеть нетрудно. Надо лишь знать таблицу степеней всех однозначных чисел и связь, существующую между последней цифрой основания степени и последней цифрой результата возведения в степень.

 а) Для извлечения кубического корня: 

Кубы чисел от 1 до 10

1³ = 1          6³ = 216

2³ = 8          7³ = 343

3³ = 27         8³ = 512

4³ = 64         9³ = 729

    5³ = 125      10³ = 1000

Пример. Вычислить .      Так как последняя цифра подкоренного числа 6, то и последняя цифра искомого числа 6. Отбрасывая последние три цифры заданного числа, получим  636; это число располагается в таблице кубов между кубами чисел 12 и 13. Меньшее из этих чисел (12) даёт первые две цифры искомого результата. Итак, = 86.

                            = 73,           = 99.

Подмечаем свойство: все цифры, на которые могут оканчиваться кубы чисел,  различны.

Последняя цифра куба числа совпадает с числом, возведённым в куб, для оснований степени 1, 4, 5, 6. 9 и равна разности числа 10 и числа, возведённого в куб, для остальных оснований: 2, 3. 7. 8.

 б) Для извлечения корня пятой степени:

Пятые степени чисел от 1 до 10

1⁵ = 1           6⁵ =    7776

2⁵ = 32         7⁵ =  16807

3⁵ = 243        8⁵ =  32768

4⁵ = 1024       9⁵ = 59049

   5⁵ = 3125      10⁵ = 100000

Подмечаем свойство: последняя цифра пятой степени числа совпадает с основанием степени.

Пример. Вычислить . Последняя цифра результата 5. Отбрасываем последние пять цифр, остаётся число 97, которое располагается между пятыми степенями чисел 2 и 3. Значит, = 25.

= 19,     = 50,     = 108

  III. Факультативные занятия

Интересные свойства чисел

Рассмотрим ряд примеров умножения на 9 с любопытными результатами.

Присмотритесь к отдельным столбцам чисел и цифр.

1 · 9 =09               90 = 9 · 10

2 · 9 = 18              81 = 9 · 9

3 · 9 = 27              72 = 9 · 8

4 · 9 = 36              63 = 9 · 7

5 · 9 = 45              54 = 9 · 6

6 · 9 = 54              45 = 9 ·  5 

7 · 9 = 63              36 = 9 ·  4

8 · 9 = 72              27 = 9 · 3

9 · 9 = 81              18 = 9 · 2 

9 · 10 = 90            09 = 9 · 1

                                                Еще любопытные закономерности

9² = 81

99² = 9801

999² = 998001

9999² = 99980 001

99999² = 9999 800 001

9 · 7 = 63

99 · 77 = 7623

999 · 777 = 776223

9999 ·7777 = 77762223                                                                                                             99999 ·  77777 = 7777622223

Удивительные примеры.

12 345 679 · 9 = 1 111 111 111

12 345 679 · 18 = 2 222 222 222

12 345 679 · 27 = 3 333 333 333

12 345 679 · 36 = 4 444 444 444

12 345 679 · 45 = 5 555 555 555

12 345 679 · 54 = 6 666 666 666

12 345 679 · 63 = 7 777 777 777

12 345 679 · 72 = 8 888 888 888

12 345 679 · 81 = 9 999 999 999

Занимательное умножение.

 2) а)  11 · 11 = 121

          111 · 111 = 12321

          1111 · 1111 = 1234321

          11111 · 11111 = 123454321

          111111 · 111111 = 12345654321

          1111111 · 1111111 = 123567654321

          11111111 · 11111111 = 12356787654321

          111111111 · 111111111 = 12345678987654321

б) 1 · 9 + 2 = 11

    12 · 9 + 3 = 111

    123 · 9 + 4 = 1111

    1234 · 9 + 5 = 11111

    12345 · 9 + 6 = 111111

    123456 · 9 + 7 = 1111111

    1234567 · 9 + 8 = 11111111

    12345678 · 9 + 9 = 111111111

в) 9 · 9 + 7 = 88

    98 · 9 + 6 = 888

    987 · 9 + 5 = 8888

    9876 · 9 + 4 = 88888

    98765 · 9 + 3 = 888888

    987654 · 9 + 2 = 8888888

    9876543 · 9 + 1 = 88888888

    98765432 · 9 + 0 = 888888888

Любопытное свойство натуральных чисел:

1³ + 2³ + 2³ + 4³ = ( 1 + 2 + 2 + 4)² = 81

1³ + 2³ + 2³ + 3³ + 4³ + 6³ = (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 6)² = 324

 

Список используемой литературы.

1) Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П. Забавная арифметика. Москва  «Наука» 1991г.

2) Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию   интереса к   математике. //Математика в школе. 1990 – с.39-44

3) Бурлыга А.Я. Интересные приёмы устного счёта. //Н.Ш. 1985г.  №5

4) Бурлакова Устный счёт на уроках математики. //Н.Ш. 1969 №10

5) Волошина М.И. Активизация познавательной деятельности  школьников на уроках математики. //Н.Ш. 1992 №9 с15

6) Гебос А.И. Психология познавательной активности учащихся. Издательство “Штиинца” Кишинёв 1975г

7) Депман И.Я., Виленкин Н.Я.За страницами учебника математики.Москва«Просвещение» 1989г.

8) Зайцева О.П. Роль устного счёта в формировании вычислительных навыков и   в развитии личности ребёнка //Н.Ш. 2001г. №1

9) Зимовец К.А., Пащенко В.А. Интересные приемы устных вычислений. //Н.Ш.   1990 №6 с.44-46

10) Зимина С.В. Как развивается интерес к математике? /Н.Ш. 1999 №8

11) Иванова Т. Устный счёт. //Н.ш.1999г. с.11-14

12) Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. Москва «Просвещение»             1986г.

13) Кузнецов Б.Н. Воспитание интереса к уроку математики в школе. Иркутск 1989г.

14) Куличкова О.П., Уланова К. Формирование вычислительных навыков в процессе игры. //Н.Ш. 1987 с31

15) Липатникова Н.Г. Роль устных упражнений на уроках математики. //Н.Ш. 1998 №2 с.34-38 

16) Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь. Из – во «Педагогика» Москва     1987г.

17) Мишенева Т.С. Приемы организации устного счета. Из опыта. //Н.Ш. 1987№2 с30-32

18) Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. Москва «Просвещение»    1988г.

19) СЭМ Лойд Математическая мозаика Москва РИПОЛ 1995г.

20) Успенский В.А. Популярные лекции по математике. Машина поста. Москва   «Наука» 1979г.

21) Фридман Л.М. Учись учиться математике. Москва «Просвещение» 1985г.

22) Шейнина О.С., Соловьёва Г.М. Занятия школьного кружка. Москва   «Издательство НЦ ЭНАС» 2005г.

23) Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. М.: Просвещение 1979 - 167с.

24) Щукина Г.И. Пути формирования познавательных интересов учащихся на уроке в процессе сообщения новых знаний. “Учёные записи ЛГПИ им.    Герцена”, том 106 55ч. «Просвещение» 1989г