Ознака паралельності прямих.

Про матеріал

Мета уроку: вивчення ознаки паралельності прямих, формування умінь застосовувати ознаку паралельності до розв'язування задач.

Перегляд файлу

Тема уроку. Ознака паралельності прямих.

Мета уроку: вивчення ознаки паралельності прямих, формування умінь застосовувати ознаку паралельності до розв'язування задач.

Обладнання: моделі прямокутного паралелепіпеда і куба.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Два учні відтворюють розв'язання задач № 5 (1, 3) та 7 (1, 3).

2. Проведення тесту на визначення істинності математичних тверджень.

Тест

У просторі дано дві різні прямі а і b, які:

варіант 1 — лежать в деякій площині;

варіант 2 — не лежать в одній площині.

Позначте символом «+» правильні твердження, символом «-» — неправильні.

1) Прямі α і b можуть перетинатися.

2) Прямі a і b можуть бути паралельними.

3) Прямі a і b можуть бути мимобіжними.

4) Через пряму a обов'язково можна провести площину, яка перетинає пряму b.

5) Існує деяка пряма с, яка перетинає як пряму а, так і пряму b.

6) Обов'язково існує пряма с, яка перетинає пряму α і паралельна прямій b.

Відповідь. Варіант 1. 1) +; 2) +; 3) -; 4) -; 5) +; 6) -.

Варіант 2. 1) -; 2) -; 3) +; 4) +; 5) +; 6) +.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Ознака паралельності прямих

Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористатися означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають достатні умови паралельності. Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її.

Теорема.

Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.

Доведення теореми можна провести так, як це зроблено в підручнику, причому теорему вчитель спочатку доводить сам, а потім повторює доведення з учнями, звертаючи увагу на такі питання: чому площини β і γ різні? Чому точка В не лежить на прямій с? Чому площина γ; перетинає площину β, а не пристає до β ?

Можна довести теорему 2.2 іншим способом. Наведемо його.

Доведення

Нехай b║a, с║а. Доведемо, що b║с .

Прямі b і с не можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямій а, що суперечило б теоремі 2.1.

Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні (рис. 36). Через паралельні прямі b і а, с і a проведемо площини γ і β, а через пряму b і точку С прямої с — площину α. Нехай площини α і β перетинаються по прямій c₁. Прямі а, с, c₁ лежать в одній площині β , причому с║а. Тому пряма с₁, яка перетинає с, перетинає пряму a в деякій точці А. Прямі c₁ і а лежать відповідно у площинах α і γ , тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній прямій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові.

Отже, прямі b і с не можуть ні перетинатися, ні бути мимобіжними. Таким чином, b║с .

Виконання вправ

1. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Доведіть, що;

а) АА₁ || СС₁; б) АВ || C₁D₁; в) AC || А₁С₁.

2. Чи правильне твердження: якщо прямі b і с не паралельні одній і тій самій прямій а, то b і с не паралельні між собою?

3. ABCDA₁B₁C₁D₁ — паралелепіпед. Доведіть, що площина АСС₁ проходить через точку А,.

4. Прямі а і b паралельні, а прямі b і с не паралельні. Доведіть, що прямі а і с не паралельні.

III. Закріплення та осмислення знань учнів

Розв'язування задач

1. Трикутник АВС і трапеція ABED (АВ — основа) не лежать в одній площині. Точки Μ і N — середини сторін АС і ВС відповідно. Доведіть, що ΜΝ || DE .

2. Задача № 11 із підручника (с. 19).

3. Точки К, L, Μ, Ν — середини ребер АВ, АС, CD, DB тетраедра, всі ребра якого рівні. Знайдіть довжину ребра тетраедра, якщо периметр утвореного чотирикутника KLMN дорівнює 4a (рис. 37).