Планіметричні задачі з практичним змістом

Зміст

Вимірювання відрізків

Вимірювання кутів

Рівність трикутників

Паралельні прямі

Сума кутів трикутника

Прямокутний трикутник

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат

Теорема Фалеса

Трапеція

Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника

Теорема Піфагора

Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

Подібність фігур

Вектори

Теореми косинусів і синусів

Ламана. Многокутник

Правильні многокутники. Вписані та описані правильні многокутники

Довжина кола та його частин

Площі многокутників

Площа круга

Використана література

Вимірювання відрізків

1.   Робітники по одній стороні залізничної колії встановлюють стовпи через кожні 50 м. Скільки потрібно стовпів, щоб встановити їх на ділянці довжиною 8 км? (Перший та останній стовпи встановлені на кінцях ділянки шляху).
2.   По обидві сторони алеї на відстані 3 м один від одного потрібно посадити дерева. Скільки дерев необхідно для посадки, якщо довжина алеї дорівнює 210 м?
3.   Після проведення маневрів космічний корабель, продовжуючи політ  навколоземною орбітою, мав наступні параметри: найбільша відстань корабля від поверхні Землі – 347,9 км, найменша – 332,9 км. Знайти більшу піввісь орбіти корабля, якщо радіус Землі вважати 6371 км.
4.   Коник-стрибунець скаче по прямій великими і малими стрибками. Великий стрибок має довжину 12 см, я малий – 7 см. Як йому потрапити з точки О у точку А , яка знаходиться від точки О на відстані 3см?
5.   Скількома способами із стержнів довжиною 7 см і 12 см можна скласти стержень довжиною 1 м?
6.   Довжина дороги від А до F (мал. 1) дорівнює 53 км. Відстань від А до В більша, ніж відстань від В до С, а відстань від В до С більша, ніж відстань від С до D, і так далі (кожна попередня ділянка більша, ніж наступна). Знайти довжину кожної з п’яти  ділянок шляху, якщо кожна з них містить цілу кількість кілометрів і відстань від А до В у два рази більша, ніж відстань від Е до F.
7.   У парку всі дерева мають висоту більшу 10 м і меншу 50 м, а відстань між кожними двома деревами не більша за різницю їх висот. Доведіть, що цей парк можна обгородити загорожею довжиною 80 м.

Мал. 1

Вимірювання кутів

8.   Який кут утворюють годинна і хвилинна стрілки годинника, якщо вони показують 13 год? 18 год? 12 год?
9.   Знайдіть кут між стрілками годинника, якщо він показує 15 год; 18 год 15 хв; 9 год; 9 год 15 хв.
10.                У результаті підвищення тиску на 10⁵ Па стрілка манометра відхиляється вправо на кут 6^° (відхилення стрілки прямо пропорційне зміні тиску). На який кут відхилиться стрілка манометра при збільшенні тиску на 8·10⁵ Па?

Рівність трикутників

11.                Столяру потрібно зробити отвір трикутної форми. Скільки розмірів і яких він повинен зняти, щоб виготовити латку? Що він повинен виміряти, якщо отвір має форму: а) прямокутного трикутника; б) рівностороннього трикутника?
12.                З пункту А, що розташований на березі, до пункту В, що розташований на острові, треба провести телефонний кабельний зв’язок. Як, не перепливаючи на острів, визначити необхідну довжину кабелю ? Яку ознаку рівності трикутників тут можна використати? (Пункти А і В розташовані на березі, а кабель прокладається по дну річки, тобто умовно шукаємо довжину відрізка АВ (мал. 2).

Мал. 2                                                                              Мал. 3

13.                Якщо між точками А і В є перепона, то відстань АВ можна знайти наступним чином (мал.3).  Вибрати точку С, з якої видно точки А і В, і провести прямі АС і ВС. Відкласти СА1 = СА, СВ1 =СВ. Відстань А1В1 буде дорівнювати шуканій відстані АВ. Доведіть це.
14.                Для визначення відстані від точки В до недосяжної точки А провішують довільний відрізок ВС, вимірюють і і, відкладаючи їх по іншу сторону від відрізка ВС, провішують відрізки ВD і СD (мал.4). Доведіть, що відстань  ВD дорівнює шуканій відстані АВ.
15.                У шкільній майстерні зробили з дроту чотири стержні довжинами 4 см, 7 см, 10 см і 13 см. З’єднуючи кінці трьох стержнів із чотирьох , встановіть, з яких трьох стержнів можна утворити трикутник, а з яких не можна. Поясніть ваші висновки.
16.                Три села В, С і D розташовані так, що С знаходиться на відстані 7 км у напрямку на південний захід від села В, а село D – на 4 км на схід від села В. Три інших села А, К і М розташовані так, що село М знаходиться на відстані 4 км на південь від К, а село А – на 7 км у напрямку на південний схід від М. Зробіть рисунок і доведіть, що відстань між пунктами С і D така ж, як і між пунктами К і А.

Мал. 4

Паралельні прямі

17.               На плані селища (мал.5) вулиці АВ і DС паралельні, а вулиці АВ і ЕF утворюють кут , а вулиці ЕF і АD ─ кут. Знайдіть кути, які утворюють вулиці АD і АВ, АD і DС.

Мал. 5

Сума кутів трикутника

18.                Для з’єднання двох дерев дерев’яних брусків в одному з них випиляли фігурний паз АВСDЕ, у який вставляється відповідним чином випиляний кінець іншого бруска (мал.6). Знайдіть , якщо , а .

Мал. 6

19.                Знайдіть кути і  у заготовці, яка зображена на малюнку 7.

Мал. 7                                                                          Мал. 8

20.                Вантажі Р1 і Р2 підвішені на кінцях нитки, яка перекинута через блоки А і В. На тій же нитці в точці С підвішений вантаж Р, який урівноважує вантажі Р1 і Р2.  Доведіть, що .  (мал.8)
21.                Кут між стропильними ногами даху дорівнює 90° . Обчисліть висоту даху, якщо відстань між кінцями стропильних ніг дорівнює  12 м. (мал.9)

Мал. 9

Прямокутний трикутник

22.                Кут між стропильними ногами залізного даху зазвичай дорівнює 120° . Знайдіть довжину стропила, якщо його верхній кінець знаходиться на відстані 2,5 м від основи. (мал.10)
23.                Під час розвідки бурінням по рудній жилі пройдено 1,5 м. Знайдіть потужність цієї жили, якщо кут її падіння 60°. (Потужністю жили називають товщину пласта). (мал.11)

Мал. 10                                                           Мал. 11

24.                Ширина приміщення АС дорівнює 10 м (мал.12), розкоси DF і ЕF і довжину балки підтримують стропильні ноги АВ і ВС та ті, які перпендикулярні до них. Знайдіть довжину розкосів DF і ЕF і довжину балки DЕ, якщо відомо, що кут нахилу стропильних ніг до горизонту дорівнює 30° і АF=FС.
25.                Дві точки земної кулі А і В лежать на одному меридіані, (О – центр земної кулі), треба з’єднати прямолінійним тунелем. Обчисліть найбільшу глибину залягання цього тунелю  під поверхнею землі. (Радіус Землі вважати 6400 км). (мал.13)

Мал. 12                                                          Мал. 13

26.                Залізний прут довжиною зігнуто у двох точках, які ділять його на три рівні частини під кутами 120° (згинання здійснювалось в одній площині і в одну сторону). Знайдіть відстань між кінцями скоби, яка утворилась. (мал.14)
27.                Із металевого стержня потрібно виготовити скобу, що має три рівні ланки, які утворюють на згинах кут 120°. Якої довжини має бути стержень, якщо відстань між кінцями скоби дорівнює  m?

Мал. 14                                                      Мал. 15

28.                Штурман корабля помітив маяк, що знаходився на північному сході. Коли корабель проплив 10 км на північ, маяк виявився на південному сході. (мал.15) Знайдіть відстань від корабля до маяка на початку і в кінці шляху. Якою була найменша відстань від корабля до маяка?
29.                На вершині В вертикальної вежі закріпили вертикальну жердину ВС. Троси, які з’єднують В і С з деякою точкою, що лежить у площині основи башти, утворюють з цією площиною кути 30° і 60°. Знайдіть відношення жердини до висоти башти. (мал.16)
30.                Як знайти висоту дерева, маючи прямокутний трикутник з кутом 30°. (мал.17)

Мал. 16                                                   Мал. 17

Паралелограм, прямокутник, ромб, квадрат

31.                Шкільна майстерня виготовила партію пластин чотирикутної форми. Як перевірити, чи буде пластина прямокутної форми, маючи тільки лінійку з поділками.
32.                Учню доручили виготовити щит, який повинен закрити яму прямокутної форми. Скільки розмірів і яких він повинен зняти, щоб виготовити цей щит?
33.                Фруктовий сад фермера має форму прямокутника, сторони якого відносяться як 16:11, причому його ширина менша, ніж довжина на 250 м. За скільки часу сторож може обійти вздовж огорожі всю ділянку, рухаючись зі швидкістю 4 км/год?
34.                Є 4 палички довжиною 1 см, 4 палички довжиною 2 см, 7 паличок довжиною 3 см, 5 паличок довжиною 4 см. Чи можна з усіх цих паличок скласти прямокутник?
35.                Зі сталевого листа вирізали чотирикутник з рівними сторонами. Як переконатися, не вимірюючи кутів, чи буде цей чотирикутник квадратом?
36.                Паркетник, перевіряючи, чи буде випиляний чотирикутник форму квадрата, переконується, що діагоналі рівні і перетинаються під прямим кутом. Чи достатньо такої перевірки?
37.                Столяру потрібно виготовити підставку у формі чотирикутника. Скільки і які розміри він повинен мати для виконання замовлення? Що повинен виміряти столяр, якщо підставка має форму: а) паралелограма; б) прямокутника; в) ромба; г) квадрата; Ґ) рівностороннього трикутника?

Теорема Фалеса

38. Як, використовуючи властивість середньої лінії трикутника, знайти відстань між двома точками А і В, до кожної з яких підійти можна, але з однієї побачити іншу не можна? (мал.18)
39.                Одна з вершин земельної ділянки трикутної форми недоступна. Як виміряти периметр цієї ділянки, використовуючи властивості середньої лінії трикутника? (мал.19)

Мал. 18                                                     Мал. 19

Трапеція

40.                Між двома стовпами на одній з ними прямій і на однаковій відстані від розташований третій стовп. На якій відстані від прямої дороги знаходиться цей стовп, якщо два крайніх стовпи віддалені від дороги на 32 м і 58 м? (мал.20)
41.                Як заготовку, що має форму рівнобедреного трикутника АВС (АВ=АС), перекроїти у паралелограм?
42.                Цеп зубчастої передачі має форму прямокутної трапеції АВСD з кутом D, що дорівнює 60° (мал.21). Скільки ланок цепу знаходиться на проміжку АD, якщо їх по 8 на проміжках ВС і СD? (На малюнку 21 не зображені ланки на ділянках АВ і АD).

Мал. 20                                Мал. 21                              Мал. 22

43.                Під сад відведено земельну ділянку, що має форму рівнобедреної трапеції, одна з основ якої на 50 м більша за кожну з  решти сторін, а середня лінія дорівнює 90 м. Навколо саду проходить алея шириною 2 м. По двох сторонах алеї треба посадити дерева на відстані 3 м один від одного. Скільки потрібно для цього дерев?
44.                Ділянка, яку використали під фруктовий сад, має форму трапеції. Дерева розташовані вздовж п’яти паралельних прямих, однаково віддалених одна від одної. У всіх рядах відстань між сусідніми деревами однакова. В одному крайньому ряду 18 дерев, а в іншому – 26. Скільки дерев в кожному з решти рядів?

Синус, косинус і тангенс гострого кута прямокутного трикутника

45.                На прямолінійній ділянці шляху залізничного шляху, що йде вгору, знаходяться два пункти А і В, відстань між якими 470 м. Пункт В розташований на 8 м вище, ніж пункт А. Знайти кут підйому шляху на ділянці АВ.
46.                Механічна пожежна драбина була висунута на 50,5 з максимальним кутом підйому 72° . Якої висоти досягне верхній кінець драбини, якщо нижній кінець знаходиться на відстані 1 м від поверхні землі. (мал.22)
47.                На вершині гори здійснили вибух. Звук вибуху почули у підніжжя гори в точці К через 4 с після вибуху. Знайдіть висоту гори, якщо з точки К її вершину видно під кутом 29° 30', а швидкість звуку331 м/с. (мал.23)

Мал. 23                                                   Мал. 24

48. Фотографуючи вулицю довжиною 730 м, що рівномірно піднімалась, було встановлено, що її вертикальне підвищення дорівнює 37 м. Знайти кут підйому, і горизонтальну проекцію вулиці.
49.                Людина, що йде по вулиці, практично не відчуває підйому, що менший того шляху, який подолала людина.  Який у цьому випадку кут підйому?
50.                Кут підйому дороги дорівнює 15° 30'. На яку висоту підніметься пішохід, якщо він пройде 200 м?
51.                На малюнку 24 зображено вантажний кран, стріла якого ВС дорівнює
52.  9 м і має максимальне відхилення від вертикальної колони АВ на кут 64°. Знайдіть радіус дії крану (відстань від вантажу до вертикальної колони).
53.                Лісник слідкує за пожежею зі спостережної вежі, яка побудована на високому підвищенні. Висота підвищення 726 м, а висота самої вежі 24 м. На якій відстані від пункту спостереження виникла пожежа, якщо лісничий спостерігає вогонь під кутом 7° до горизонту? (мал.25)
54.                З пункту А вийшов військовий корабель зі швидкістю 36 км/год. Через  2 год кораблю було наказано змінити курс на 90° вліво у напрямку руху і одночасно з пункту А для зустрічі з військовим кораблем вийшов катер зі швидкістю 54 км/год. Під яким кутом до початкового курсу повинен рухатись катер, щоб у найкоротший термін зустрітися із кораблем? (мал.26)

Мал. 25                                                         Мал. 26

55.                У той момент, коли штучний супутник Землі знаходиться на висоті 328 км над пунктом В, з пункту D супутник видно на горизонті. Яка градусна міра дуги ВD? (мал.27)
56.                Якої довжини треба взяти металеві балки для монтажу драбини, щоб відстань між площадками дорівнювала 1,78 м, а кут нахилу балки до горизонту дорівнював 28° 24' ?
57.                Літак вилетів з пункту А у північно-східному напрямку, утворюючи з лінією південь – північ кут 15° . Швидкість літака 320 км/год. На скільки кілометрів північніше пункту А буде знаходитись літак через 3 год польоту?
58.                Тіло масою m=30 кг лежить на похилій площині, яка утворює з горизонтом кут . Знайдіть силу ковзання і силу тиску тіла на площину . (мал.28)

Мал. 27                                                          Мал. 28

59.                Яку силу потрібно прикласти до вагону масою 8 т так, щоб утримати його у рівновазі на рельсовому шляху, який нахилений до горизонту під кутом 0° 28'. (мал.29)
60.                Знайдіть відстань між центрами шківів діаметрами D і d при перехресній передачі, якщо D=320 мм, d=150 мм, . ( ─ кут між ременем і лінією, що з’єднує центри шківів). (мал.30)

Мал. 29                                                                    Мал. 30

61.                Вершину радіовежі видно з відстані 300 м від її основи під кутом 10°. Яка висота радіовежі?
62.                На відстані 800 м від місця підйому літака прямо по курсу видно дерева висотою до 20 м. Під яким кутом повинен підніматися літак, щоб не зачепити дерева?
63.                При висоті сонця  48° довжина тіні телевежі дорівнює 76 м. Знайдіть висоту телевежі.
64.                Під яким кутом видно  стовп , що має висоту 8 м і знаходиться від спостерігача на відстані 230 м? (Зростом спостерігача можна знехтувати.) 
65.                Із вікна одного будинку, що знаходиться на висоті 12,8 м над поверхнею землі, під кутом зниження видно нижній край іншого будинку, що стоїть навпроти першого. Знайдіть ширину вулиці, якщо будинки стоять на її протилежних сторонах. (мал.31)

Мал.31                                                             Мал. 32

66.                Для визначення висоти хмари над поверхнею Землі у нічний час використовується «стельовий прожектор», промені якого направляються по вертикалі і утворюють білу пляму на хмарі. Знайдіть висоту хмари, якщо кут між напрямком на освітлену частину хмари і напрямком на прожектор дорівнює , а відстань від спостерігача до прожектора дорівнює а. (мал.32)
67.                Довжина балки, на яку спираються стропила даху, дорівнює 18 м. Обчисліть висоту даху, знаючи, що стропила утворюють з цією балкою кут 24° 24'. (мал.33)
68.                Стовп висотою 14 м знаходиться на березі річки. Верхній кінець стовпа видно з іншого берега під кутом 22° до горизонту. Знайдіть ширину річки.
69.                Прожектор, що розташований на відстані 1200 м від аеропорту, виявив вертикальним променем літак, а спостерігач із аеропорту у той же момент часу побачив цей літак під кутом 25° 17'. На якій висоті і на якій відстані від аеропорту знаходився літак у цей момент?
70.                Літак наближається до аеропорту на висоті 7000 км. Пілот повинен здійснювати зниження для посадки під постійним кутом 6° . На якій відстані (з точністю до 1 км) від посадкової полоси він має почати зниження? (мал.34)

Мал. 33                                                          Мал. 34

Теорема Піфагора

71.                Драбина довжиною 12,5 м приставлена до стіни так, що відстань нижнього кінця драбини від стіни дорівнює 3,5 м. На якій висоті від землі спирається у стіну верхній кінець драбини?
72.                Вертикальна щогла підтримується чотирма канатами, прикріпленими до неї на відстані 16 м від землі і до землі на відстані 12 м від основи вежі. Скільки метрів канату потрібно для закріплення щогли, якщо на вузли пішло 10 м?
73.                12 квітня 1961 року Ю. О. Гагарін на космічному кораблі «Восток» був піднятий над землею на максимальну висоту 327 км. На якій відстані від корабля знаходились у цей момент найбільш віддалені від нього ділянки поверхні Землі, які бачив космонавт? (Радіус Землі вважати  6400 км)
74.                Для встановлення щогли телевізійної антени виготовлено троси довжиною l =20,2 см. Троси кріпляться до цієї щогли на висоті h =18,62 м. На якій відстані від основи щогли треба прикріпити кінці троса?
75.                Висоти двох вертикальних стовпів дорівнюють 5 м і 12,5 м. Відстань між ними 10 м. Знайдіть найменшу довжину троса, яким можна з’єднати верхні кінці стовпів.
76.                Від пристані одночасно відплили два човни: один на південь зі швидкістю 16 морських миль за годину, а другий на захід зі швидкістю 12 морських миль. Яка відстань буде між ними через 2,5 год  (1 морська миля = 1,85 км) ?
77.                Знайдіть довжину газопроводу АВСDЕ, зображеного на малюнку 35.
78.                На пластинці є три отвори А, В і С, відстані між якими відомі (мал.36). Знайдіть відстань h між верхнім отвором С і прямою, що з’єднує два нижніх отвори А і В.Знайдіть також проекцію АС на АВ.

Мал. 35                                                      Мал. 36

79.                Знайдіть радіус малого круга у конструкції рами вікна (мал.37), зовнішня частина якого має форму півкруга радіусом R.

Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника

80.                Спостерігач, знаходячись на висоті 18 м, побачив під кутом зниження, що дорівнює 6° 18' , автомобіль. Обчисліть відстань (по горизонталі) від спостерігача до автомобіля.
81.                Із спостережного пункту помічають під кутом 63° 30' літак, що пролітає над баштою, висота якої 79,5 м. Вершину вежі видно з того ж спостережного пункту під кутом20° 45' . На якій висоті знаходиться літак? (мал.38)

Мал. 37                                                                     Мал. 38

82.  Висока радіощогла закріплюється довгими тросами (АВ ─ один з тросів на малюнку 39). Яку довжину має трос, якщо точка А знаходиться на відстані 75 м від основи щогли і ? На якій відстані від землі трос прикріплений до щогли?   Яка висота щогли, якщо ?

Мал. 39                               Мал. 40                                        мал. 41

83.                Плечі прямолінійного важеля мають довжини 59 м і 159 см. На скільки підніметься по вертикалі кожний кінець при повороті важеля на: а) 40°; б) 60° від горизонтального положення. (мал.40)
84.                Літак летить з постійною швидкістю у горизонтальному напрямку. Знайдіть висоту польоту, якщо у положенні О1 при спостереженні з нього за деяким нерухомим предметом кут між променем зору і вертикаллю дорівнює , а через деякий час t с у положенні  О2 аналогічний кут дорівнює . (мал.41)

Подібність фігур

85.                Відстань між Черніговом і Києвом по автостраді дорівнює приблизно 140 км. Який масштаб треба взяти, щоб зображення автостради вмістилось на аркуші  см?
86.                Тінь від дерева збігається з тінню від палиці, яка має висоту 1,8 м. Яку висоту має дерево, якщо довжини тіней відносяться, як 5:2?
87.                Знайдіть висоту дерева, скориставшись даними малюнка 42.
88.                Знайдіть відстань АВ за даними малюнка 43.

Мал. 42                                                              Мал. 43

89.                Між пунктами А і В знаходиться болото. Щоб знайти відстань між А і В, відмітили поза болотом довільну точку С, виміряли відстань АС=600 м і ВС=400 м, а також . Накресліть план у масштабі 1: 10000 і знайдіть по ньому відстань між пунктами А і В.
90.                Для визначення ширини озера взяли три точки А, С і D, що лежать на одній прямій (мал.44), і через точку С провісили пряму СЕ так, що. Як знайти ширину озера?
91.                Відкрита ділянка дороги знаходиться у полосі шириною АВ = 50 м. Спостережний пункт знаходиться на дзвіниці висотою МN = 22 м. Якої висоти треба зробити вертикальну маску КВ на відстані 550 м від дзвіниці, щоб закрити дорогу від спостерігача? (мал.45)

Мал. 44                                                            Мал. 45

92.                Тенісний м’яч був поданий з висоти 2 м 10 см і пролетів над самою сіткою, висота якої 90 см. На якій відстані від сітки м’яч вдарився об землю, якщо його подали від лінії, що знаходиться на відстані 12 м від сітки, і летів він по прямій?
93.                Тінь, яка падає від стовпа на поверхню землі, дорівнює 9 м, у той же час вертикальна жердина висотою 2 м утворює тінь 2,4 м. Знайдіть висоту стовпа.
94.                Коротке плече шлагбаума має довжину 0,75 м, а довге плече ─ 3,75 м. На яку висоту підніметься кінець довгого плеча, якщо кінець короткого опускається на 0,5 м?
95.                Знайдіть довжини трьох стержнів А1В1, А2В2 і А3В3 , які паралельні до основи АВ металоконструкції, знаючи, що точки А1,  А2,  А3 ділять відрізок АС на чотири рівні частини, а основа АВ = 6 м. (мал.46)
96.                Від Ейфелевої вежі і від вертикальної жердини, що освітлюється сонцем, падає тінь (мал.47). Визначити висоту Ейфелевої вежі.

Мал. 46                                                                 Мал. 47

Вектори

97.                На одну точку діють три сили F1 =10 Н, F2 =10 Н, F3 =20 Н. Ці сили розташовані в одній площині, причому кожні дві сусідні сили утворюють кут 120°. Знайдіть напрям і величину рівнодійної цих сил.
98.                Корабель був направлений рульовим по лінії АВ від точки А зі швидкістю 10 км/год. Через 1 год перевірка показала, що корабель знесло течією зі свого шляху у напрямку АD, що дорівнює 10 км (АD утворює з АВ кут 30°). Знайдіть величину і напрям швидкості течії. (мал.48)
99.                Рівнодійна двох взаємно перпендикулярних сил, що прикладені до однієї точки, утворює з однією з них ,яка дорівнює 8 Н, кут 35°. Знайдіть другу з прикладених сил
100.                               Сили 7,25 Н і 10,3 Н діють на одну й ту ж точку тіла під прямим кутом одна до одної. Знайдіть рівнодійну цих сил і кути, які утворює рівнодійна з кожною з цих сил.
101.                 Яку силу можна прикласти під кутом 31°  до напрямку руху, щоб на шляху 100 м вона виконала роботу 1400 Дж?
102.                 Під яким кутом до напрямку руху треба прикласти силу, що дорівнює 19,6 Н, щоб на шляху 13  м вона виконала роботу 196 Дж?

Мал. 48

Теореми косинусів і синусів

103.                 Електричну лампу вагою 20 Н підвісили  до стелі за допомогою кабелю АВ і відтягнули до стіни шнуром ВС. Визначити натяги ТА кабелю АВ і Тс шнура ВС, якщо відомо, що ,а . (мал.49)
104.                 Швидкість течії річки . Швидкість човна відносно води . Кут між напрямами швидкостей . Знайдіть швидкість човна відносно берега. (мал.50)

Мал. 49                                                                Мал. 50

105.                 З двох точок А і В, відстань між якими 50 м, вершину вишки видно під кутами і , (мал.51). Знайти висоту вишки, якщо зріст людини h = 1,64 м.
106.                 Знайти швидкість руху автомобіля, якщо кути, під якими видно предмет О1 О висотою Н = 30 м, з точок А і В відповідно дорівнюють і . Час руху автомобіля від А до В становить 3 с. (мал.52)
107.                 Два теплоходи починають свій рух одночасно з одного і того ж пункту і рухаються рівномірно по прямих, які перетинаються під кутом . Швидкість одного теплохода a км/год, а другого ─ в км/год. Знайти, на якій відстані один від одного будуть знаходитись теплоходи через t год.
108.                 Сила є рівнодійною двох сил і . Під яким кутом діють сили і ?
109.                 У 7 год ранку пасажирський літак вилетів із міста А. Після півгодинної зупинки у місті В у 8 год 10 хв літак зробив поворот на 35°  вправо і у 9 год здійснив посадку у місті С. Знайдіть відстань між містами А і С, якщо середня швидкість літака на кожній ділянці польоту дорівнювала 320 км/год.

Мал. 51                                                                          Мал. 52

110.                 З пунктів А і В вирушають одночасно два поїзди відповідно у напрямках АD і ВЕ, які перетинаються у точці С під кутом 60°  . Обидва поїзди рухаються рівномірно зі швидкостями  20 км/год і 30 км/год відповідно. Через скільки годин з моменту їх відправлення відстань DЕ між ними буде дорівнювати початковій, якщо АС = 50 км, ВС = 40 км?
111.                 Для визначення висоти терикона шахти СD (мал.53) вибрали базис АВ = 100 м і за допомогою кутовимірювального інструмента,  висота якого АА1 = ВВ1 = 1,4 м, виміряли кути і . Використовуючи результати вимірювання, знайдіть висоту терикона.
112.                 Зі спостережного пункту помічають під кутом 63° 30' літак, який пролітає над вежею, висота якої 79,5 м . Пряма, яка з’єднує спостережний пункт з вершиною вежі, утворює з горизонтальною площиною кут 20° 45'. На якій висоті знаходиться літак?
113.                 Дві сили 36 Н і 83 Н діють на матеріальну точку під кутом . Знайдіть їх рівнодійну і кут, який її напрямок утворює з напрямком більшої сили.
114.                 З вертольота, що знаходиться над дорогою, була помічена колона машин, яка по ній рухалася. Початок колони видно під кутом зниження 75 °,  а кінець під кутом 70 ° . Знайдіть довжину колони, якщо вертоліт знаходиться на висоті 1650 м.
115.                 Вершину гори видно з точки А під кутом 38° 42', а при наближенні до гори на 200 м вершину стало видно під кутом 42° . Знайдіть висоту гори.

Мал. 53

Ламана. Многокутник

116.                 Скільки чотирикутників можна виділити на малюнку 54 мостової ферми?
117.                 Скільки п’ятикутників можна виділити на малюнку 55 мостової ферми?
118.                 Села А і В знаходяться на однаковій відстані від міста М. На прямій, яка проходить через М і В, розташовані ще два села С і D так, як це зображено на малюнку 56. До якого з перших двох сіл А і В ближче розташоване: а) село С; б) село D?

Мал. 54                                     Мал. 55                           Мал. 56

Правильні многокутники. Вписані та описані правильні многокутники

119.                 Із валка діаметром 19,63 мм виготовлений болт із шестигранною головкою. Якого розміру h для нього підійде гайковий ключ? (мал.57)
120.                 Кінець валка діаметром 50 мм обпиляли у вигляді квадрата (мал.58). Яку найбільшу довжину може мати сторона квадрата?
121.                 Щоб обпиляти круглий валик для наступного виготовлення з нього деталі квадратного перерізу зі стороною а, токар повинен знати найменший діаметр деталі, яку потрібно обпиляти. Знайдіть формулу для обчислення діаметра d валика.
122.                 Кути квадратного залізного листа зі стороною а зрізано так, щоб утворилася заготовка, що має форму правильного восьмикутника. Знайдіть сторону восьмикутника.

Мал. 57                                                               Мал. 58

Довжина кола та його частин

123.                 З валу зняли шар стружки завтовшки 1 см. Визначити довжину кола вала до обробки, якщо довжину кола вала після обробки дорівнює 20 м.
124.                 Щоб знайти товщину дерева (діаметр), можна виміряти його обхват (довжину кола). Обчислити товщину дерева, обхват якого дорівнює 3,14 м.
125.                 Хвилинна стрілка годинника на башті має довжину 3,6 м. Знайти довжину дуги, яку описує кінець стрілки протягом 1 години.
126.                 Відстань між серединами зубців зубчастого колеса, яку виміряли по дузі кола, дорівнює 47,1 мм. Діаметр колеса 60 см. Скільки зубців має колесо?
127.                 Якої довжини потрібний плоский лист для виготовлення м хвильового заліза, профіль якого зображено на малюнку 59?
128.                 Піднімаючи воду з криниці вал робить 18 обертів. Обчислити глибину криниці, якщо діаметр вала 20 см.
129.                 Шків має діаметр 1,4 м і робить 80 об/хв. Знайти швидкість точки, що лежить на колі шківа.
130.                 Два однакових шківа сполучені приводним ременем. Знайти довжину цього ременя при прямій передачі, якщо діаметр кожного шківа 300 мм, а відстань між центрами шківів = 2 м (провисання ременя не брати до уваги).
131.                 Внутрішня сторона бігової доріжки стадіону має форму, яка зображена на малюнку 60 (прямокутник з півколами замість менших сторін). Довжина кожної з прямолінійних частин доріжки 100м. Довжина всієї доріжки стадіону дорівнює 400 м. Знайдіть ширину поля стадіону.

Мал. 59                                                               Мал. 60

132.                 Шматок проволоки зігнули у вигляді кола радіусом 2 см. Розрізавши цей шматок в одному місці, його розігнули в дугу радіусом 5 см. Знайдіть центральний кут отриманої дуги.
133.                 Як обчислити радіус Землі, широти пунктів А і В, в яких виконано вимірювання, дорівнюють, відповідно, і , а довжина дуги меридіана між ними дорівнює S? (мал.61)
134.                 Діаметри коліс воза дорівнюють 75 см і 90 см. Який шлях проїде віз, якщо на цьому шляху переднє колесо зробить на 230 обертів більше, ніж заднє?
135.                 Довжина орбіти автоматичної станції дорівнює 41500 км. Вважаючи орбіту станції круговою, обчислити радіус орбіти.
136.                 Скільки спиць у колесі, якщо кожний з кутів, який розташований між сусідніми спицями, дорівнює 18° ?
137.                 Скільки градусів містить дуга, яку описує точка колеса за 1 с, якщо колесо робить 45 об/хв?
138.                 Знайдіть у градусах центральні кути, які відповідають кроку зубчастого колеса, що має 20, 30, 45, 80 і 120 зубців.
139.                 Зубчасте колесо, що має 60 зубців, зчепилося з іншим, що має 75 зубців. На який кут повернеться друге зубчасте колесо при повному оберті першого?
140.                 На який кут повернеться Земля навколо своєї осі за 8 год? На який кут за цей час повернеться годинна стрілка годинника?
141.                 Як зміниться кут між годинною і хвилинною стрілками годинника за 1, 12, 46 хв?

Мал. 61

Площі многокутників

142.                 Знайти площу поля в гектарах, якщо воно має форму прямокутника зі сторонами 500 м і 1 км.
143.                 Знайти площу поперечного профілю залізничного насипу за даними розмірами в метрах. Нахил укосу насипу 1:1,5 (мал.62). (Вказівка. Укіс – відношення АВ:АС = 1:1,5).
144.                 Площа кухні 9 м2. Скільки плиток кахлю , що мають форму квадрата зі стороною 3 дм, потрібно для покриття підлоги в кухні?
145.                 Кімната має довжину 5 м, ширину – 4 м і висоту – 3 м. Двері і вікно прямокутної форми і мають відповідно розміри і . Скільки потрібно рулонів для обклеювання кімнати, якщо у кожному рулоні 12,5 м, а ширина шпалер 0,5 м?
146.                 Многокутник АВСDЕ – план земельної ділянки, виготовлений у масштабі 1:1000 (мал.63). Яка площа цієї земельної ділянки на місцевості?

Мал. 62                                                        Мал. 63

147.                 Скільки тонн сіна зібрали із заливного луку, який має форму ромба (одна діагональ його дорівнює 4 км, а друга вдвоє коротша), якщо з одного гектара зібрали в середньому по 50 ц сіна?
148.                 Основа постаменту пам’ятника має форму квадрата зі стороною 6 м. Навколо пам’ятника проходить алея шириною 2м . Знайдіть площу алеї.
149.                 Обштукатурена стіна довжиною8,25 м і висотою4,32 м має три вікна розміром   кожна. Знайти площу тієї поверхні стіни, яка покрита штукатуркою.
150.                 Фруктовий садок має форму прямокутника із сторонами 580 м і 376 м. Скільки в ньому яблунь, якщо на кожну яблуню припадає в середньому по 16 м2 ? Яку виручку дав садок після продажу яблук, якщо з 1 га зібрано по 35 т яблук і кожну тонну продали у середньому по 4500 грн?
151.                 Підлога шкільної зали має прямокутну форму розміром . Потрібно її застелити кахлем квадратної форми розміром кожна. Скільки потрібно таких плиток, якщо на обрізку і підгонку витрачається 3% від загальної площі усіх плиток?
152.                 Потрібно встановити мотор вагою 4,25 т на фундамент прямокутної форми розміром . Обчислити тиск, який припадає на 1 см2 площі фундаменту.
153.                 Площі двох аеропортів, кожний з яких має форму квадрата, відносяться як 16:9. Сторона першого аеропорту на 60 м більша, ніж сторона другого. Знайдіть сторону другого аеропорту.
154.                 Кожну з двох рівновеликих ділянок потрібно обгородити загорожею. Одна ділянка має форму квадрата зі стороною 80 м, а друга – має форму прямокутника, одна із сторін якого дорівнює 50 м. На яку загорожу потрібно більше матеріалу і на скільки, якщо на кожні 12 м загорожі потрібно 1 м 3 пиломатеріалів?
155.                 Бункер комбайна вміщує близько 15 ц зерна, ширина робочого захвату близько 5 м, робоча швидкість агрегату близько 5 км/год, урожайність на ділянці в середньому 25 ц з 1 га. Чому дорівнює відстань між пунктами загрузки комбайна і за який час бункер заповнюється зерном?
156.                 Поле має форму паралелограма, основа якого 500 м, а висота 180 м. Через поле під прямим кутом до основи проходить дорога шириною 12 м. Знайти площу поля, відведену під посіви.
157.                 Повітря тисне із силою 10,3 Н на кожний квадратний сантиметр. Знайти силу, з якою повітря тисне на трикутну ділянку, основа якої 0,13 м, а висота 0,18 м.
158.                 З прямокутного листа заліза довжиною 40 см і шириною 35 см вирізали для лійки частину, що має форму трапеції з основами, що дорівнюють 40 см і 12 см, і висотою 20 см. Знайдіть площу частини, яка залишилась.
159.                 Діагоналі чотирикутної ділянки взаємно перпендикулярні, і дорівнюють відповідно 3,2 м і 4,5 м. Знайдіть площу цієї ділянки.

Площа круга

160.                 Дерево має 1,88 м в обхваті. Чому дорівнює площа поперечного перерізу, що має (наближено) форму круга?
161.                 Вода тече по двох трубах з однаковою швидкістю. Перша труба має діаметр d1 = 20 см, а друга ─ d2 = 15 см. У скільки разів подача води у першій трубі більша, ніж у другій?
162.                 Токар повинен обточити вал діаметром 142 мм так, щоб площа його поперечного перерізу зменшилась у 1,5 разів. На скільки зменшиться діаметр?
163.                 Чому дорівнює сила, з якою пара тисне на поршень діаметром d = 120 мм, якщо середній тиск пари 3·105 Па?
164.                 Сталева проволока діаметром 5 мм має межу міцності 85 кг/мм2 . При якій масі вантажу проволока може розірватися?
165.                 На кожний квадратний сантиметр площі поршня парової машини пар тисне і з силою 85 Н. Знайти силу, з якою пар тисне на весь поршень діаметром 420 мм.
166.                 Потрібно замінити трубу, площа перерізу якої 78,5 см2 на чотири труби однакового діаметра так, щоб сума площ чотирьох труб меншого діаметра дорівнювала площі перерізу труби більшого діаметра. Знайдіть діаметр менших труб.
167.                 Дві труби, внутрішні діаметри яких дорівнюють 15 мм і 25 мм потрібно замінити однією, не змінюючи їх пропускної здатності. Яким повинен бути внутрішній діаметр нової труби?
168.                 Якої товщини шар потрібно зняти з круглої проволоки, що має площу перерізу 1256 мм2, щоб вона проходила крізь отвір діаметром 38,5 мм?
169.                 З листа заліза, що має форму прямокутної трапеції, основи якої дорівнюють 30 см і 20 см, а висота 20 см, вирізали круг найбільшого діаметра. Який відсоток площі листа складають обрізки?
170.                 З квадратного листа заліза зі стороною 20 см вирізали круг найбільшого діаметра. Який відсоток площі листа заліза складає площа обрізків?
171.                 Поперечний переріз башти, який зображений на листі паперу у масштабі 1:100, є круг, площа якого дорівнює 50,24 см2. Обчислити довжину кола поперечного перерізу башти.
172.                 Зовнішнє коло основи заводської труби має довжину 12,56 м, товщина труби 50 см. Який тиск здійснює труба на основу, якщо її маса 350 т?
173.                 Обчислити площу поперечного перерізу шестигранної гайки, ширина якої дорівнює 3,6 см, а діаметр отвору 1,5 см.
174.                 Знайти площу вікна у вигляді прямокутника, що вгорі має форму сегмента , міра якого 60°. Висота вікна, яка вимірюється від середини дуги сегмента до основи, дорівнює 2,4 м, а його ширина 1,6 м.

Використана література

1. С. С. Варданян Задачи по планиметрии с практическим содержанием – М., 1989. – 143 с.

2. І. С. Матюшко, Л. І. Нестеренко, М. С. Собко Завдання з геометрії для 9 класу – Київ, 1993. – 112 с.