ТЕМА УРОКУ

 

Похідні показникових та логарифмічних функцій 

МЕТА УРОКУ

 

Дидактична:

 Повторити означення показникових та логарифмічних функцій. Розглянути формули для знаходження похідних показникової та логарифмічної функцій, розглянути типові задачі на використання формул похідних показникової та логарифмічної функцій.

Розвиваюча:

 розвивати аналітичне мислення;

 

ТИП УРОКУ

Урок узагальнення та систематизації знань.

 

ПЛАН УРОКУ

 

1.     Організаційна частина.

2.     Актуалізація опорних знань.

3.     Узагальнення знань студентів з даної теми.

4.     Розв’язування прикладів.

5.     Підсумки. Домашнє завдання.

 

ХІД УРОКУ

 

І. Вітаюся. Відмічаю відсутніх.

ІІ. 1.1 Число e

Існує таке число, більше ніж 2 і менше ніж 3 (число e), що показникова функція у точці O має похідну, яка дорівнює 1.

Тобто .

1.2 Формула похідної показникової функції

Теорема. Функція  диференційовна в  кожній точці області визначення.

 

Доведення.  

. 

Тоді при .

Із означення похідної випливає, що , тобто  при будь-якому x.

Теорема. Показникова функція диференційовна в кожній точці області визначення

.

Тоді

Наслідок. Показникова функція безперервна в кожній точці своєї області визначення.

                Приклад 1.Знайдіть похідну функції: а)      ;  б)      ;  в)        .

Розв’язання. 

а) ;

б)  

в) .

Приклад 2. Дослідіть функцію  на монотонність і екстремум.

Розв’язання. .

x=−1 — критична точка. Оскільки   , то при x (−1;+∞)           і  f(x) зростає, при x(−∞;−1)  і f(x) спадає.

1.3 Приклади знаходження похідної показникової функції

1.                   Знайдіть похідну функції:

                а) ;              б) ;

                          в) ;              г) .

Розв’язання. 

а) ; 

                          б) ;

в) ; 

                          г) .

2.                   Запишіть рівняння дотичної до графіка функції f у точці з абсцисою , якщо: 

а)  

Відповідь: а)  

3.                   Дослідіть на зростання (спадання) і екстремуми функцію:

                а) ;             б) .

Відповідь: а) функція спадає при , зростає при ; екстремум функції ; 

, зростає при ;

 на зростання (спадання) і екстремуми. 

;

.

 

2.1 Формула похідної логарифмічної функції

Вміти досліджувати логарифмічну функцію не менш важливо, ніж досліджувати показникову, а для цього необхідно вміти знаходити похідну логарифмічної функції. Виведемо формулу для знаходження похідної  цієї функції, і ви зможете її застосовувати для дослідження логарифмічних функцій.

Теорема. Функція  диференційовна в кожній точці області визначення

 

Доведення. 

За основною логарифмічною тотожністю  при всіх x>0. Отже,

, тобто . Виведемо

формулу похідної логарифмічної функції. Знайдемо .

.

Отже,  .

Приклад 1.Знайдіть: 

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання. 

а) ;

б) ; 

в)  .

Приклад 2.Дослідіть функцію  на зростання (спадання) і екстремум і побудуйте її графік.

Розв’язання. 

Рисунок 2.1

Оскільки в точці   похідна змінює знак з мінуса на плюс, то  

i . 

Будуємо графік функції (рис. 2.2).

Рисунок 2.2

2.2 Приклади знаходження похідної логарифмічної функції 1. Знайдіть похідну функції:

                а) ;         б) ;

                в) ;             г) ; 

                д) ;                   е) .

Розв’язання. 

а) ; 

б) ;

в)

г)

д)

е) .

2.      Напишіть рівняння дотичної до графіка функції f  у точці з абсцисою , якщо:

а) ; 

                б) ,         .

Розв’язання. 

а) .

б) .

3.      Дослідіть на зростання (спадання) та екстремуми функції:

Рисунок 2.4

4. Знайдіть похідну функції  в точці .  Відповідь: .

3.1 Схема дослідження функції

Побудова графіків функцій та їх дослідження — одне з найважливіших завдань математичного аналізу. Адже графік — чудова ілюстрація поведінки функції. Ми приступаємо до дослідження логарифмічної і показникової функцій та побудови їх графіків.

Схема дослідження функцій:

1)                  Знайдіть область визначення функції.

2)                  Дослідіть функцію на парність та непарність.

3)                  Знайдіть точки перетину з осями координат.

4)                  Знайдіть проміжки знакосталості функції.

5)                  Знайдіть похідну функції.

6)                  Дослідіть функцію на зростання та спадання, екстремуми функції.

7)                  Побудуйте графік функції.

Приклад 1. Дослідіть функцію  та побудуйте її графік.

Розв’язання

1)                .

2)                Функція ні парна, ні непарна; функція неперіодична.

3)                ; (0;0) — точка перетину з осями Ox і Oy.

4)                y < 0 при .

5)                .

.

 — критична точка (рис. 3.1).

 

 

Рисунок 3.1

6)                При  f(x) спадає,  при  зростає.

 ;

 

Рисунок 3.2

7) Будуємо графік функції (рис. 3.2).

Приклад 2.Дослідіть функцію  та побудуйте її графік.

Розв’язання

1)                  .

2)                  Функція ні парна, ні непарна; функція неперіодична.

3)                  Не перетинає вісі Ox і Oy.

4)                  y < 0 при ; y > 0 при .

5)                    

. 

=0

 — критична точка (рис. 3.3).

Рисунок 3.3

 

6)                  Будуємо графік функції (рис. 3.4).

Рисунок 3.4

3.2 Задачі на дослідження та побудову функцій

1.                     Дослідіть функцію   та побудуйте її графік.

2.                     Дослідіть функцію   та побудуйте її графік.

3.                     Побудуйте графік, попередньо дослідивши функцію:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

4.                     Розв’яжіть рівняння графічно:

                а)                                                        б) ;

                в)                         ;                            г)  .

5.                     Дослідіть функцію та побудуйте її графік.

                a) ;          

б)  

5. 6. Розв’яжіть рівняння графічно:

                а) ;                      б) ;

                в) ;                  г)  .

 

IV.  Підсумок уроку.

V.      Домашнє завдання.

Розділ І § 2. Запитання і завдання для повторення № 32-34. Вправи № 4, 5.