Презентація "Арифметичні та геометричні прогресії. Збірник задач прикладного змісту"

Збірник задач прикладного змісту. Автори – учні 9 класу та вчитель математики Прокопенко О. А. Арифметичні та геометричні прогресії

Прогресії в давниніЗавдання на прогресії, що дійшли до нас із давніх давен, були пов'язані із запитами господарського життя: розподіл продуктів, ділення спадку і др.

Найдавнішою задачею на прогресії є задача про розподіл хліба, записана в єгипетському папірусі Рінда, яка відноситься, можливо, до ІІІ ст. до н.е. Зміст її приблизно такий : «Сто мір хліба слід розділити між п’ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий – більше від третього і п’ятий – більше від четвертого. Крім того, двоє перших повинні одержати в 7 раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?» 

Задача з вавилонських клинописних текстів ХVІІІ ст.. до н.е. «10 братів, 1 2/3 міни срібла, брат над братом піднімається, на скільки піднімається, я не знаю. Частка восьмого – 6 шекелів. На скільки брат над братом піднімається? ( 1 2/3 міни = 100 шекелів )

Давній Єгипет. Формула, якою користувалися єгиптяни: Завдання з єгипетського папірусу Ахмеса: «Хай тобі сказано: розділити 10 мір ячменю між 10 чоловіками, різниця ж між кожною людиною і його сусідом рівна мірі»

 Арифметика Магницкого. Багато задач на прогресії можна знайти в першій російській математчній енциклопедії "Арифметика" написаної Леонтієм Магніцьким.

Винагорода воїна ( задача з російського підручника , 1795 р. ) Воїну , що служив , дано винагороду : за першу рану – 1 копійка , за другу – 2 , за третю = 4 і т.д. Виявилося , що воїн одержав винагороду 655 руб. 35 коп . Запитується , яка кількість його ран .

Прогресії в житті та побуті Для вирішення деяких завдань по фізиці, геометрії, біології, хімії, економіці, будівельній справі використовуються формули арифметичної і геометричної прогресій.

Перерва Один з учнів, викликаний до дошки, повинен йти від столу вчителя до дверей по прямій. Перший крок він робить довжиною 1 м., другий 1/2м, третій 1/4 м і так далі так, що довжина наступного кроку в два рази менше довжини попереднього. Чи дійде учень до дверей, якщо відстань від столу до дверей по прямій 3 м?style.colorfillcolorfill.type

Розв'язок Складемо послідовність чисел Знаючи формулу. Значить Висновок: не дійде!Откуда style.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

БАКТЕРІЇУ сприятливих умовах бактерії розмножуються так, що впродовж однієї хвилини одна з них ділиться на дві. Вказати кількість бактерій, народжених однією бактерією за 7 хвилин.style.colorfillcolorfill.type

Розв'язок Знаючи формулу. Дана послідовність є геометричною прогресією із знаменником q =2, n = 7. Отримуємо м

І знову бактерії… Бактерія, потрапивши в організм людини, за 20 хв ділиться на дві, тоді кожна з утворених бактерій знову ділиться на дві і т. д. Скільки бактерій стане в організмі людини за проміжок часу з 8 до 12 години?  

СПАДОК Джентльмен отримав спадок. Перший місяць він витратив 100$, а кожен наступний місяць він витрачав на 50$ більше, ніж в попередній. Скільки $ він витратив за другий місяць? За третій? За десятий? Який розмір спадку, якщо грошей вистачило на рік такого безбідного життя?

Розв'язок Застосувавши формулу,отримуємо: Застосувавши формулу

Поширення чуток До міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранку прибув мешканець столиці і привіз свіжу новину. У будинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьом жителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина була відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям. Довідавшись новину, кожний із трьох громадян розповів про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщо чутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скільки пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?

Дама сдавала в багаж…

Хоробрий Кравчик та Змій - Горинич. Хоробрий Кравчик шиє новорічний костюм для Змія – Горинича, який коштує 2002 грн. А чи не можна трохи дешевше? – запитує Змій – Горинич. Гаразд, - відповідає Хоробрий Кравчик, - нехай ти платимеш мені лише за ґудзики : за перший ґудзик – 1 копійку, за другий – 2 копійки, за третій – 4 копійки, за четвертий – 8 копійок і т.д. Твій костюм має 18 ґудзиків. Чи згоден ти?Змій – Горинич із задоволенням погодився, але чи прогадав він?

Побудова теплиціПотрібно виготовити вертикальні стержні для теплиці з дроту так, щоб найменший мав довжину 5 м, а кожний наступний був на 2 М довший ( до 7-ого стержня). Обчисліть довжину дроту, необхідну для виготовлення стержнів. ( 137 м ) 

У пробірці міститься 5 клітин, які розмножуються поділом навпіл. Скільки клітин утвориться після першого поділу, четвертого поділу?

Сто років тому…Було це майже 100 років тому. Селянин продавав 20 овець за 200 крб. Коли один з покупців став надто довго торгуватися, селянин запропонував: «Дай за першу вівцю одну копійку, за другу — 2 к., за третю — 4 к. і далі за кожну вівцю вдвічі більше копійок, ніж за попередню». Покупець погодився. Скільки він заплатив за тих 20 овець?

Задача про скнару. Мешканець маленького містечка був відомий своєю скнарістю. Коли у нього були справи в місті, розташованому в 25 км від цього містечка, він звичайно шукав сусідів, які б підвезли його. Одного разу скнара крутився на площі, шукаючи того, хто підвіз би його «за спасибі» додому. Але цього разу нікого не було і він змушений був шукати платного візника. Скнара обійшов їх усіх, торгуючись з ними і порівнюючи ціни. Один росив 250 руб., другий – 200 руб., а третій – 150 руб. Усі ціни здавалися йому занадто високими. Нарешті він помітив візника з убогим візком і жалюгідною шкапою. Коли скнара запитав його, скільки він візьме за дорогу, той подивився на землю. Почухав потилицю і відповів:«За 1-й кілометр заплатите мені 1 к., за 2-й – 2, за 3-й – 4, за 4-й – 8 і так до кінця шляху».«От дурний, - подумав скнара, ледве стримуючи сміх, - лічить на копійки.» Поспіхом він заліз у візок і гукнув:«Згодний! Поїхали!»Скільки грошей він повинен заплатити за дорогу?