Презентація до уроку засвоєння нових знань з теми "Неповні квадратні рівняння."

Неповні квадратні рівняння8 клас. Попелівський ЗЗСО I-III рівнів. Батюк О. Л. 1

Епіграф: Вся математика- це власне, одне велике рівняння для інших наук. Новаліс ( німецький математик)Мета: Ввести означення квадратного рівняння, поняття неповного квадратного рівняння. Формувати вміння розв’язувати неповні квадратні рівняння.

У збережених математичних папірусах єгиптян (2 ст. до нашої ери) є не лише задачі, що розв’язуються за допомогою рівнянь першого степеня з одним невідомим, а й такі, що призводять до розв’язування неповних квадратних рівнянь. Ще складніші задачі вміли розв’язувати математики Вавилону, зокрема квадратні і біквадратні рівняння. Вавилоняни , як і єгиптяни, не використовували буквенних позначень.3Історична довідка

4 Завдання, які розв'язувалися за допомогою квадратних рівнянь, зустрічаються в трактаті з астрономії «Аріабхаттіам», написаним індійським астрономом і математиком Аріабхатою І в 499 році нашої ери.  З VI ст. центр математичних досліджень переходить в Індію та країни Близького Сходу і Середньої Азії. Алгебра вже розглядається як самостійна галузь математики, що займається розв’язуванням рівнянь.

Один з перших відомих висновків формули коренів квадратного рівняння належить індійському вченому Брамагупті (близько 598 р.); Брамагупта виклав універсальне правило розв'язування квадратного рівняння. 

У стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь.

7 Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь було сформульовано в Європі у 1544 р. німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Франсуа Вієт розробив у 1591р. символіку, яка дала можливість виражати рівняння загальними формулами. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів . Вчений ввів термін «коефіцієнт». Його символіка дуже відрізнялась від сучасної і була вдосконалена послідовниками Вієта. Лише у VІІ ст. завдяки працям Жирара, Декарта, Ньютона і інших вчених спосіб розв’язування квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд. М. Штифель. Франсуа Вієт. Аьберт Жирар Рене Декарт Ісаак Ньютон

8 Квадратним рівнянням називають рівняння виду 𝒂𝑥2 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎, де 𝒙 – змінна, 𝒂, 𝒃 і c – деякі числа, причому 𝒂≠𝟎. Числа 𝒂, 𝒃 і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння. Число 𝒂 називають першим коефіцієнтом,число 𝒃 – другим коефіцієнтом, число c – вільним членом.  Квадратне рівняння

9 Якщо у квадратному рівнянні 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=𝟎 хоча б один із коефіцієнтів 𝒃 або 𝒄 дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.Існує три види неповних квадратних рівнянь:при 𝒃=𝒄=𝟎 маємо: 𝒂𝒙𝟐 =𝟎. при 𝒄=𝟎 і 𝒃≠𝟎 маємо:𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙=𝟎. при 𝒃=𝟎 і 𝒄≠𝟎 маємо:𝒂𝒙𝟐 +𝒄=𝟎.  Неповне квадратне рівняння

Розв'язування неповних квадратних рівнянь

Завдання 1 Чи є дане рівняння неповним квадратним?x2+4x = 0x2+4 = 02x +2x = 0x2+4x+4= 04x + 42 = 0 11 Завдання 2 Встановіть відповідність між рівнянням і його коефіцієнтами: x2 - 4x+1=03x – x2 – 6 = 0 2x2 – 7х = 0x2 – 8 = 011x2 = 0а) а=1, в=0, с=-8 б) а= -1, в= 3, с= -6 в) а=11, в= 0, с= 0 г) а= 1, в= - 4, с= 1 д) а= 2, в= - 7, с= 0 

Завдання 3 Розв'яжіть рівняння: 𝟒𝒙𝟐 −𝟏𝟎𝟎=𝟎 Розв'язок:1) Перенесемо вільний член з однієї частини рівняння в другу, змінивши його знак на протилежний: 4𝑥2 = 1002) Поділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при 𝑥2 : 𝑥2 = 1004 𝑥2 =253) Обчислимо квадратний корінь: 𝑥 =± 𝟐𝟓    𝑥 =±5 Відповідь: Рівняння 4 𝑥2 −100=0 має два корені: 𝑥 =5 та 𝑥 =−5. 

Завдання 4 Розв'яжіть рівняння: 133x2 −27=03x2= 27x2 = 27: 3x2 = 9𝑥1= 3; 𝑥2=−3 5x2+4x=0x(5x+4) = 0x= 0 або 5x+4 = 0𝑥1= 3; 𝑥2=−0,8 3x2+9=03x2 = -9x2 = -3коренів немає  

Завдання 5 Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток яких на 36 більший за менше з них. Розв'язок: Нехай x – перше натуральне число, тоді x+1 - друге натуральне число. За умовою: х(х + 1) = х +36; x2 + х – х - 36 =0; x2 - 36 =0; x2−62 =0; (х - 6)(х + 6) = 0; 𝑥1 = 6 або 𝑥2 = -6 (-6 – не натуральне число); Відповідь: 6; 7 14

Завдання 6 Розв’язати рівняння x2+6х-7=0 виділенням квадрата двочлена . Розв'язування рівнянь, що зводяться до неповних квадратних рівнянь шляхом застосування властивостей рівносильних перетворень: Завдання 7 Розв’язати рівняння:( х-3)(х-4)= -123х(2х+3)=2х(х+4,5)+23. 18-(х-5)(х-4)=−x2 15

Бліц-опитування. Сформулюйте означення повного квадратного рівняння. Квадратне рівняння називають ще рівнянням другого …Якому числу не може бути рівний коефіцієнт а квадратного рівняння?Як називають квадратне рівняння якщо перший коефіцієнт дорівнює 1. Якщо хоча б один з коефіцієнтів в або с квадратного рівняння дорівнює нулю, то рівняння називають …16