Презентація"Елементи Комбінаторики"

Презентація. На тему “Елементи комбінаторики. Перестановки. Розміщення. Комбінації.”Автор-розробник: Викладач математики. Ригоц Уляна Миколаївна. Дрогобицький музичний фаховий коледжім. Василя Барвінського

КОМБІНАТОРИКАТермін «комбінаторика» був введений в математичний ужиток Лейбніцем, який в 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво». Готфрід Вільгельм Лейбніц (Gottfried Wilhelm von Leibniz)  - німецький філософ, математик, механік, юрист, дипломат.

Комбінаторика – важливий розділ математики, знання якого необхідно представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодам та ін. Комбінаторні методи лежать в основі рішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосувань. На практиці часто доводиться відповідати на запитання: скількома способами можна виконати певне завдання? Наприклад, скласти розклад п'яти уроків на день із десяти різних навчальних предметів; позначити різні зв'язки між атомами і молекулами певної речовини; записати діагоналі опуклого десятикутника; знайти різні шляхи доставки виробів із заводу в магазини і визначити, який з них найбільш вигідний. Методи розв'язування таких задач вивчають у розділі математики, який називається комбінаторикою, а самі задачі — комбінаторними. Розв'язуючи комбінаторні задачі, розглядають скінченні множини, утворені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються скінченні множини, у яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або і те і те одночасно. Такі скінченні множини (сполуки) мають певну назву.

Вибір формули. Чи враховується порядок розміщення елементів?такніЧи всі елементи входять в сполуку. КомбінаціїтакніПереставновки. Рn = n!Розміщення

Факторіал. Означення 1. Факторіал — це добуток послідовних натуральних чисел. n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n. Наприклад : 1! = 1; 2! = 1 ∙ 2 = 2; 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6; 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 3! ∙ 4 = 24. Приймають, що 0! = 1. Термін «факторіал» походить від англійського слова «фактор» — множник.

ПЕРШИЙ ВИД СПОЛУК

ДРУГИЙ ВИД СПОЛУК

ТРЕТІЙ ВИД СПОЛУК

ПОВТОРЕННЯ Множина може містити будь-яку кількість елементів. Якщо множина містить скінчене число елементів, то вона називається скінченною множиною. Якщо ж число елементів множини нескінчене, то і множина називається нескінченною. Якщо множина не містить жодного елемента, то таку множину називають порожньою і позначається Ø . Якщо множини складаються з одних і тих же елементів, то такі множини називаються рівними. Наприклад: {12; 13; 14; 15} = {15; 14; 13; 12}.

Приклади. Приклад 1: У групі 9 дівчаток і 11 хлопців. Скількома способами можна вибрати 1 студента для роботи біля дошки?Розв'язання: Для роботи біля дошки ми можемо вибрати дівчинку 9 способами або хлопця 11 способами.     Загальна кількість способів дорівнює 9 + 11 = 20. Приклад 2: На вершину гори ведуть 5 доріг. Скількома способами можна піднятися на гору і спуститися з неї?Розв'язання : Для кожного варіанту підйому на гору існує 5 варіантів спуску з гори. Значить всіх способів піднятися на гору і спуститися з неї 5 ∙ 5 = 25.

Вправина закріплення формули комбінації елементів1) 7 книг різних авторів і трьохтомник одного автора розташо­вані на книжковій полиці. Скількома способами можна роз­ставити ці 10 книжок на полиці так, щоб книги автора трьохтомника стояли поруч? Розв'язання2) Збори з 30 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів редакційної комісії. Скількома способами це можна зробити? Розв'язання3) У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами мож­на виділити наряд, який складається із трьох солдат і одно­го офіцера? Розв'язання

Розв'язання7 книг різних авторів і трьохтомник одного автора розташо­вані на книжковій полиці. Скількома способами можна роз­ставити ці 10 книжок на полиці так, щоб книги автора трьохтомника стояли поруч?

Розв'язання. Збори з 30 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів редакційної комісії. Скількома способами це можна зробити?

Розв'язання. У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами мож­на виділити наряд, який складається із трьох солдат і одно­го офіцера?

Підсумок ДОПОВІДІ На сьогоднішньому засіданні ми пригадали:1) Що це за наука комбінаторика? Які задачі називають комбінаторними?Дедалі частіше в житті приходиться розв'язувати задачі, головним питанням у яких є: «Скількома способами це можна зробити?»Наприклад:• Скільки прямих можна провести через 7 точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій? • Скількома способами можуть бути присуджені золота, срібна або бронзова медалі трьом учасникам з 10?• Скількома способами можна розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях? У цих задачах задано елементи для комбінування і вимагається знайти кількість можливих комбінацій.І саме такі задачі отримали назву: комбінаторні задачі. А розділ математики, в якому розглядаються подібні задачі, називають комбінаторикою?