Презентація "Круги Ейлера"

Круги Ейлера. Презентація на тему:

Зміст: Вступ. Розв'яування задач за допомогою кругів Ейлера.а) Прості завдання.б) Складні завдання. Висновок.

Вступ. Один з найвидатніших математиків - петербурзький академік Леонард Ейлер за своє життя (він народився в 1707 р., а помер у 1783 р.) написав понад 850 наукових робіт. В одній з них і з'явилися ці кола. А вперше він їх використовував у листах до німецької принцеси. Ейлер писав тоді, що «кола дуже підходять для того, щоб полегшити наші роздуми». При вирішенні цілого ряду завдань Леонард Ейлер використовував ідею зображення множин за допомогою кіл і вони отримали назву «кола Ейлера».     

Цей метод дає ще більш наочне уявлення про можливий спосіб зображення умов, залежності, відношень у логічних завданнях. Множину всіх дійсних чисел Ейлер зобразив з допомогою цих кіл: N-множину натуральних чисел, Z - множину цілих чисел, Q - множина раціональних чисел, R - множину всіх дійсних чисел.

Ну а як же кола Ейлера допомагають при розв’язанні завдань? Для відповіді візьмемо кілька задач:

Розв'язання задач за допомогою кругів Ейлера.1. Частина жителів нашого міста вміє говорити тільки по-російськи, частина - тільки по-Башкирськи і частина вміє розмовляти обома. Башкирською мовою говорять 85%, російською 75%. Скільки відсотків жителів говорять обома мовами?

Розв'язання. У крузі під літерою «Б» позначимо жителів, що говорять башкирською, під літерою «Р » - російською. У спільній частині кругів позначимо жителів, що говорять обома мовами. Тепер від всіх жителів (100%) віднімемо частину круга «Б» (85%), отримаємо жителів, що говорять тільки російською (15%). А тепер від всіх, що говорять російською (75%), віднімемо ці 15%. Отримаємо тих, які говорять обома мовами (60%).

2. Усі мої подруги вирощують у своїх квартирах які-небудь рослини. Шестеро з них вирощують кактуси, а п'ятеро - фіалки. І тільки у двох є і кактуси і фіалки. Відгадайте, скільки у мене подруг?

Розв'язання. Зобразимо два кола, так як у нас два види квітів. В одному будемо фіксувати власниць кактусів, в іншому - фіалок. Оскільки у деяких подруг є і ті, і інші квіти, то кола намалюємо так, щоб у них була спільна частина. У цій спільній частині ставимо цифру 2, оскільки кактуси і фіалки є у двох. У частині «кактусового» кола ставимо цифру 4 (6 - 2 = 4). У вільній частині «фіалкового» кола ставимо цифру 3 (5 - 2 = 3). А тепер малюнок сам підказує, що у мене 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

3. У футбольній команді «Спартак» 30 гравців, серед них 18 нападників, 11 півзахисників, 17 захисників і воротарі. Відомо, що троє можуть бути нападаючими і захисниками, 10 захисниками і півзахисниками, 6 нападаючими і захисниками, а 1 і нападаючим, і захисником, і півзахисником. Воротарі не замінні. Скільки в команді «Спартак» воротарів?

Розв'язання. (18 + 11 + 17) - (3+10+6) +1 = 28 (гравців) на цій діаграмі. Але в команді всього 30 футболістів. Значить воротарів буде 30-28 = 2. Відповідь: 2 воротарі.

4. У класі 30 учнів. 20 з них щодня користуються метро, 15 - автобусом, 23 - тролейбусом, 10 - і метро, і тролейбусом, 12 - і метро, і автобусом, 9 - і тролейбусом, і автобусом. Скільки учнів щодня користуються всіма трьома видами транспорту?

Розв'язання. 1 спосіб. Для розв’язання знову скористаємося колами Ейлера: Нехай х людей користується всіма трьома видами транспорту. Тоді користуються лише метро і тролейбусом - (10 - х) людей, тільки автобусом і тролейбусом - (9 - х) людей, тільки метро та автобусом - (12 - х) осіб. Знайдемо, скільки осіб користується одним лише метро:20 - (12 - х) - (10 - х) - х = х - 2 Аналогічно отримуємо: x - 6 - тільки автобусом і х + 4 - тільки тролейбусом, тому що всього 30 осіб, складаємо рівняння: Х + (12 - х) + (9 - х) + (10 - х) + (х + 4) + (х - 2) + (х - 6) = 30. звідси х = 3.  2 спосіб. А можна цю задачу розв’язати іншим способом:20 +15 +23-10-12-9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3.

5. У восьмому класі навчається 40 чоловік. Кожен з них вивчає не менше однієї іноземної мови: англійська, німецька, французька. 34 учні вивчають хоча б одну з двох мов: англійська, німецька. 25 осіб - хоча б одну з мов: німецька, французька. 6 людей тільки німецьку. Одночасно дві мови - англійську і німецьку - вивчають на 3 людини більше, ніж французьку і німецьку мови. Скільки учнів вивчає кожну з мов і скільки вивчає одночасно кожну пару мов?

Розв'язання. А + Н = 34 Ф + Н = 25        Н = 6 А + Н = на 3 людини>, ніж Ф + Н = х   34 - х - 3 - 6 - х + х + 3 + 6 + х +25 - х - 6 - х - 3 = 40- 2х = 40 - 34 + 3 - 25- 2х = -10      х = 5 Ф + Н = 5 чоловік. А + Н = 8 осіб. А = 34 - 8 - 6 - 5 = 15 чоловік. Н = 6 осіб. Ф = 25 - 5 - 6 -8 = 6 осіб. Всього 40 чоловік.

4. У магазині побувало 65 осіб. Відомо, що вони купили 35 холодильників, 36 мікрохвильових печей, 37 телевізорів. 20 з них купили і холодильник, і мікрохвильову піч, 19 - і мікрохвильовку, і телевізор, 15-холодильник і телевізор, а всі три покупки здійснили три людини. Чи був серед них відвідувач, який не купив нічого?

Розв'язання. Купили тільки холодильники: 35 - (20-3) - (15-3) -3 = 4. Купили тільки мікрохвильовки: 36 - (20-3) - (19-3) -3 = 0. Купили тільки телевізори: 37 - (15-3) - (19-3) -3 = 6. Тоді всього покупців було: 4 +17 +3 +16 +12 +6 = 58.65-58 = 7 відвідувачів магазину не купили нічого.

Висновок. 1) Всі множини чисел пов'язані між собою так, що кожне наступне, більш об'ємне, включає в себе попередню множину повністю; 2) Будь-яке натуральне число є елементом будь-якої наступної множини. 3) Застосування кіл Ейлера дозволяє легко вирішити завдання, які звичайним шляхом можна розв'язати лише при складанні системи трьох рівнянь з трьома невідомими.

Презентацію виконала учениця 9-Б класу: Осарчук Сніжана. Керівник вчитель-методист Г. М. Дудар. ЗОШ І-ІІІ ст. №19, м. Тернопіль